初中數學中概率綜合問題的解題策略

摘 要：概率是初中數學的重要內容，現實生活中的許多問題與概率有關，概率問題對培養學生的數學思維和解決問題能力具有重要意義.基于此，文章以概率問題的特點為切入點，討論其解題策略，并

舉例分析概率與其他數學知識的綜合問題，以拓寬學生視野，提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學習效率.

關鍵詞：初中數學；概率；綜合問題；解題策略

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0039-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：孫立群（1990.3—），女，河南省信陽人，碩士，中學二級教師，從事初中數學教學研究.

概率是數學的重要組成部分，它涉及隨機事件的發生概率、條件概率、獨立性等概念.在初中階段，學生開始接觸較為復雜的概率問題，這些問題不僅要求學生掌握概率的基本概念，還要求學生能夠靈活運用概率知識解決實際問題，特別是與概率有關的綜合問題.因此，探討初中數學中概率綜合問題的解題策略具有重要意義.

1 概率綜合問題的基本特點

概率綜合問題往往涉及代數、幾何、統計等多個領域的數學知識，其綜合性較強，對學生而言具有一定的難度.因此，解決這類問題需要學生具備綜合運用知識的能力.概率問題往往與現實生活密切相關，如抽獎、投票、抽樣調查等.學生需要將所學知識應用于實際問題中，對其解決問題的能力要求較高.概率問題需要學生從不同角度思考問題，尋找最優解決方案，這需要學生具備創新思維和發散性思維［1］.

2 概率綜合問題的解題策略

2.1 強化基礎知識

與概率相關的數學綜合問題一般難度都較大，解決這類綜合性問題，要求學生熟練掌握概率的基本概念和公式，如條件概率、獨立性等.只有掌握好基礎知識，才能更好地解決概率綜合問題［2］.

2.2 總結解題技巧

學生需要掌握常見的概率解題方法，如列舉法、列表法、公式法等.但概率綜合問題往往不是一個單純的概率問題，而是將概率與其他數學知識相結合的綜合性問題，如幾何問題、函數問題和不等式問題等.所以，學生需要通過練習，不斷總結這類綜合問題的解題技巧，以提高其解題能力.

2.3 注重實踐應用

概率問題不是一個簡單的計算問題，而是將概率問題賦予一定的情境，這就需要學生將所學知識應用于實際問題中，通過實踐加深對概率知識的理解.教師可以通過設計實際問題情境，引導學生運用所學知識解決實際問題.

2.4 從不同角度思考問題

概率的綜合性問題命題方向較多，教師可結合生活實際，命制不同的概率綜合問題，讓學生從不同角度思考問題，尋找最優解決方案，培養學生的創新思維和發散性思維.

3 常見的概率綜合問題

3.1 概率與幾何的綜合問題

例1 閱讀下列材料，回答問題：

任務1 估計不規則封閉圖形的面積.

如圖1所示，地面上有一個不規則的封閉圖形，為求得它的面積，小明在此封閉圖形內畫出一個邊長為0.5米的正方形后，在附近閉上眼睛向封閉圖形內丟擲綠豆（可把綠豆近似看成點），并記錄數據（有效丟擲綠豆落在該封閉圖形內，含邊界），如表1.

（1）當m=1 000時，綠豆落在正方形內（含正方形邊上）的次數n最可能是______.

A.105"" B.249"" C.518"" D.815

（2）請根據表格中的數據估計，如果你隨機丟擲一顆綠豆（落在該封閉圖形內，含邊界），那么該綠豆恰好落在正方形內（含正方形的邊）的概率約為______（精確到0.01）.

（3）請你利用（2）中所得概率，估計該不規則封閉圖形的面積.

任務2 估計圓周率π的大小.

關于圓周率π，數學發展史上出現過許多有創意的求法，請借鑒任務1的探究思路，設計一個估算圓周率π的實驗，寫出相應的步驟，以及需要記錄的數量（具體數值）或數據（用字母a，b，c，…，表示），畫出示意圖，并寫出π的計算公式.

解析 任務1：（1）觀察表格可得，隨著投擲次數的增大，綠豆落在正方形內（含正方形邊上）的頻率值穩定在0.25，所以如果擲一次綠豆，那么綠豆落在正方形內（含正方形邊上）的概率約為0.25；當擲綠豆所落的總次數m=1 000時，綠豆落在正方形內（含正方形邊上）的次數n最可能為1 000×0.25=250，只有249比較接近，故選B.

（2）由（1）可知如果擲一次綠豆，那么綠豆落在正方形內（含正方形邊上）的概率約為0.25.

（3）設封閉圖形的面積為a，根據題意得0.52a=0.25，解得a=1.從而可估計整個不規則封閉圖形的面積約為1平方米.

任務2：如圖2所示，地面上有一個邊長為2米的正方形，在此正方形內畫出一個半徑為1米的圓.

在正方形外閉上眼睛向正方形內擲綠豆（可把綠豆近似看成點），大量重復實驗記錄如表2.

當a很大時，綠豆落在圓內（含圓的邊上）的頻率值穩定在ba，所以如果擲一次綠豆，那么綠豆落在圓內（含圓的邊上）的概率約為ba，則ba=π4，即π=4ba.

點評 本題是一道幾何與概率的綜合問題.隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率.通過觀察數據，可利用頻率的穩定值估計概率，再利用“用正方形面積﹕封閉圖形的面積=概率”建立方程，通過解方程即可得出結果.

3.2 概率與方程、不等式的綜合問題

例2 某公交公司有一棟4層的立體停車場，第一層供車輛進出使用，第二至四層停車.每層的層高為6 m，橫向排列30個車位，每個車位寬為3 m，各車位有相應號碼，如201表示二層第1個車位.第二至四層每層各有一個升降臺，分別在211，316，421，為便于升降臺垂直升降，升降臺正下方各層對應的車位都留空.每個升降臺前方有可在軌道上滑行的轉運板（以第三層為例，如圖3所示）.該系統取車的工作流程如下（以取停在311的車子為例）；

①轉運板接收指令，從升降臺316前空載滑行至311前；

②轉運板進311，托起車，載車出311；

③轉運板載車滑行至316前；

④轉運板進316，放車，空載出316，停在316前；

⑤升降臺垂直送車至一層，系統完成取車.

如圖停車場第三層平面示意圖，升降臺升與降的速度相同，轉運板空載時的滑行速度為1 m/s，載車時的滑行速度是升降臺升降速度的2倍.

（1）若第四層升降臺送車下降的同時，轉運板接收指令從421前往401取車，升降臺回到第四層40 s后轉運板恰好載著401的車滑行至升降臺前，求轉運板載車時的滑行速度；（說明：送至一層的車駛離升降臺的時間、轉運板進出車位所用的時間均忽略不計）

（2）在（1）的條件下，若該系統顯示目前第三層沒有車輛，現該系統將某輛車隨機停放在第三層的停車位上，取該車時，升降臺已在316待命，求系統按上述工作流程在1分鐘內完成取該車的概率.

解析 （1）設轉運板載車時滑行速度為x m/s，則升降臺升降速度為0.5x m/s，依據題意可知，車位421與401相距20×3=60 m，且每層的層高為6 m，可列方程2×3×60.5x+40=601+60x，解得x=0.6，經檢驗，原分式方程的解為x＝0.6，且符合題意.所以轉運板載車時的滑行速度為0.6 m/s.

（2）設系統將車輛隨機停放在316旁的第a個車位，要使得系統按上述工作流程在1分鐘內完成取該車，則3a+3a0.6+2×60.3＜60，解得a ＜2.5.因為a是正整數，所以a≤2.

因此，要使得系統按上述工作流程在1分鐘內完成取該車，該車只能停放在316左右兩旁一共4個車位上，也即該系統將某輛車隨機停放在第三層的停車位上共有28種可能性相等的結果，而停放在滿足條件“系統按上述工作流程在1分鐘內完成取該車”的停車位上的結果有4種，所以P（系統按上述工作流程在1分鐘內完成取該車）=428=17.

點評 本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用和列舉法求概率，利用列方程或不等式解決實際問題和掌握概率公式是解題的關鍵.在第（1）問中，設轉運板載車時的滑行速度為x m/s，則升降臺升降速度為0.5x m/s，由“升降臺回到第四層40 s后轉運板恰好載著401的車滑行至升降臺前”列出方程即可求解；在第（2）問中，根據（1）的結論，設系統將車輛隨機停放在316旁的第a個車位，由“系統按上述工作流程在1分鐘內完成取該車”列出不等式求出a，再根據概率公式即可求解.

4 結束語

在初中數學概率綜合問題教學中，教師要注重培養學生綜合運用知識的能力、解題技巧和創新思維，引導學生將所學知識相互融合，不斷提高分析問題和解決問題的能力.有助于培養學生的數學思維和創新能力，拓展學生的解題思路，提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］" 馬輝.初中數學隨機事件與概率教學研究［J］.數學學習與研究，2023（27）：14-16.

［2］ 張明媚.基于發展核心素養的初中數學教學策略探究：以“簡單事件的概率”教學為例［J］.數理天地（初中版），2024（5）：59-61.

［責任編輯：李 璟］