巧用一元一次方程 解答數學應用題

摘 要：一元一次方程是初中數學教學的重要內容.在解決數學應用題的過程中，一元一次方程是常用的解題工具.為了幫助學生掌握應用題解題方法，提升解題能力，文章結合不同類型的應用題，深度分析具有針對性的解題方法.

關鍵詞：初中數學；應用題；一元一次方程

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0012-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：高鵬（1978.11—），男，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

在初中數學教學中，一元一次方程應用題的類型比較多，如配套問題、工程問題、盈虧問題等.在解題過程中，列一元一次方程的關鍵是明確等量關系.作為教師，應當結合實際問題，將抽象問題具體化，幫助學生理解和找出等量關系，提高學生應用一元一次方程解決實際問題的能力.

1 配套問題

配套問題是初中數學中常見的題型，在題目情境中描述了整體與局部之間的關系.在解決這類問題時，可以從時間、參與人口總量等方面切入，找出其中的等量關系［1］.

例1 某服裝廠為學校制作一批校服，3 米長的布料，可以制作2 件上衣或3 條褲子，一套校服包含1 條褲子和1 件上衣，現在計劃采購600米布料用于校服制作.想要制作出整套校服，上衣和褲子分別需要多少布料？

解析 設制作上衣需要布料x 米，則制作褲子需要布料（600-x）米，此時制作的校服為整套.根據題意得2x=3（600-x），解得x=360，則600-x=240，所以共加工校服360÷3×2=240（套）.由此可知，制作上衣使用布料360米，制作褲子使用布料240米，制作的校服才能配套，共制作240套校服.

例2 某個車間有100 名工人，如果只加工螺栓，每人每天平均加工18個.如果只加工螺母，每天每天平均加工24個.1個螺栓和2個螺母為一套，想要每天加工出成套的螺栓螺母，加工螺栓和螺母分別需要多少人？

解析 設分配x個人加工螺栓，則加工螺母的工人為（100-x）.根據題意得2×18x=24（100-x），解得x=40，所以加工螺母的人數為60 人.由此可知分配10 人加工螺栓，分配60 人加工螺母.

2 工程問題

在解決工程問題的過程中，其難點是分析每天工作量與工作時間之間的關系.不少學生對于將總工程量看作“1”很不理解.為了幫助學生突破解題難點，教師可以結合學生熟悉的生活情境，對工作效率作出解釋，即將總的工程量看作“1”，每天完成的工作量可以用總的工程量除以總的工作時間表示.以此作為基礎，結合例題，幫助學生掌握解題方法，提高學生分析問題和解決問題的能力.

例3 某城市地鐵1號線某段工程施工中，甲工程隊單獨完成需要150天，在甲工程隊施工30天之后，增加乙工程隊，兩個工程隊又共同施工15天，總共完成了總工程的三分之一.

（1）求乙工程隊單獨施工需要多少天完成？

（2）為了加快工程進度，甲、乙工程隊各自提高工作效率，提高后乙隊的工作效率是1a，甲隊的工作效率是乙隊的m（1≤m≤2）倍，如果兩隊合作40天完成余下的工程，寫出a關于m的方程式，求乙隊的最大工作效率是原來的幾倍？

解析 （1）設乙工程隊單獨完成工程為x天，根據題意可得1150×（30+15）+1x×15=13，解得x=450.經檢驗x=450是方程的根，即乙工程隊單獨施工需要450天才能完成該項工程.

（2）易得（1a+ma）×40=23，所以a=60 m+60.因為60＞0，所以a隨著m的增大而增大，故當m=1時，1a最大，所以1a=160，所以160÷1450=7.5，即乙工程隊的最大工作效率是原來的7.5倍.

3 盈虧問題

盈虧問題與現實生活密切相關，大多數應用題的問題情境源自生活實際.利用一元一次方程解答此類應用題，需要明確成本、售價、利潤以及折扣數之間的關系，特別是利用百分比與成本表示售價時，需要對其進行準確表示，要求學生明白打折就是按照對應價格的百分比進行銷售［2］.

例4 某個班級計劃購買乒乓球和球拍，甲、乙兩個商店出售的乒乓球與球拍的品牌相同，一幅球拍定價30元，乒乓球每盒5元.經過商談，兩個商店給出優惠政策，甲商店購買一幅球拍贈送一盒球，乙商店的球拍和球按原價的九折出售，該班級需要5幅球拍，乒乓球不低于5盒.

（1）購買的乒乓球為多少時，兩個商店的優惠方式付款相同？

（2）當購買15盒、30盒乒乓球時，你會選擇哪家商店購買，說明理由.

解析 （1）設購買x盒乒乓球時，兩種優惠方式付款相同，根據題意得30×5+（x-5）×5=（30×5+5x）×0.9，解得x=20，所以購買20盒乒乓球時，兩種優惠方式的付款相同.

（2）購買15盒時，在甲商店購買需要付款30×5+（15-5）×5=200（元），在乙商店購買需要付款（30×5+15×5）×0.9=202.5（元），因為200＜202.5，所以在甲商店購買合算.購買30盒時，在甲商店購買需要付款30×5+（30-5）×5=275（元），在乙商店購買需要付款（30×5+30×5）×0.9=270（元），因為275＞270，故在乙商店購買合算.

4 方案問題

對于方案問題，通常是給出多個方案，要求學生從中選出最佳方案.在解題時，需要深入分析題意，找出參數之間的對應關系，這是解決這類問題的關鍵.為了提高解題效率，教師可引導學生對題目中的關鍵詞進行分類，并找出其中的等量關系［3］，然后通過列方程解決問題.

例5 某個農機租賃公司有50 臺收割機，其中有20 臺甲型收割機，30 臺乙型收割機，想在將這50 臺收割機派往A、B兩個地區收割小麥，每天的租賃租金價格如表格1所示.

（1）如果A地區派往x 臺乙型收割機，50 臺收割機一天的租金為y元，求y與x的函數關系，寫出x的取值范圍.

（2）如果50 臺聯合收割機一天的租金金額不低于79 600 元，有多少種分派方案？請你設計出分派方案.

（3）為使50臺收割機每天獲得的租金最高，請你給公司提出一條合理的建議.

解析 （1）設x臺乙型收割機派往A地，（30-x）臺乙型收割機派往B地，則派往A、B地區的甲型收割機分別為（30-x）臺和（x-10）臺，所以y=1 600x+1 200（30-x）+1 800（30-x）+1 600（x-10）=200x+74 000（10≤x≤30）.

（2）根據題意得200x+74 000≥79 600，解得x≥28，所以28≤x≤30.因為x為整數，所以x的值為28，29，30.因此，有三種分類方案，即

方案一：A地區派往甲型收割機2臺，乙型收割機28臺，其余派往B地區；

方案二：A地區派往甲型收割機1臺，乙型收割機29臺，其余派往B地區；

方案三：A地區派往甲型收割機0臺，乙型收割機30臺，其余派往B地區；

（3）A地區派往30臺乙型收割機，B地區派往20臺甲型收割機，可使租賃公司每天獲得的租金最高.因為y=200x+74 000，y隨著x增加而增大，所以當x=30時，y=80 000.即A地區派往甲型收割機0臺，乙型收割機30臺，其余派往B地區可以使得50臺收割機每天的租金最高.

5 行程問題

行程問題是初中數學中一類具有趣味性和實際性的應用問題，有些題目中通過圖象設問，考查學生的讀圖分析能力.此類問題解答的關鍵是透徹分析圖象，理解縱軸和橫軸的含義，明確變化點的含義.在問題解決過程中，學生需充分運用數形結合思想，以形解數，才能正確解答問題.

例6 甲、乙兩人相約騎行，沿著同一條線路從A地騎行到B地，甲、乙分別以不同的速度勻速騎行，乙比甲早出發5分鐘，乙騎行25分鐘后，甲以甲原速度的85騎行，經過一段時間后，甲先到達B地，乙保持原速繼續騎行，此過程中，甲、乙兩人相距的路程為y（米）與乙騎行的時間x（分鐘）的關系如圖1所示，則乙比甲晚到達B地多少分鐘？

解析 根據題意得出乙的速度為1 500÷5=300（米/分），設甲的速度是m米/分，則7 500-20 m=2 500，解得m=250，所以25分鐘后，甲的速度為250×85=400（米/分）.根據題意，總里程為250×20+61×400=29 400（米），86分鐘乙的路程是86×300=25 800（米），所以（29 400-25 800）÷300=12（分鐘），即乙比甲晚12分鐘到達B地.

6 溶液配比問題

在初中數學學習中，溶液配比是一元一次方程中的常見問題.在解題過程中，需分析溶液中不同成分所含的百分比，并結合其中的數量關系，列出一元一次方程，最終通過求解一元一次方程解決問題.

例7 兩種氯化鈉溶液的濃度分別是10%、20%，想要配置100升濃度為14%的氯化鈉溶液，需要各取出10%、20%的溶液多少升？

解析 設需要10%的溶液x升，根據題意得0.1x+0.2×（100-x）=100×0.14，解得x=60，即需要10%的氯化鈉溶液60升，20%的氯化鈉溶液40升，才能配置100升濃度為14%的氯化鈉溶液.

7 結束語

在初中數學教學中，為有效利用一元一次方程解決與之有關的應用問題，教師需引導學生對應用題的類型進行分類總結，針對不同類型的題目，探究相應的解題方法，從而提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升其數學核心素養.

參考文獻：

［1］ 陶敏.初中數學一元一次方程應用題的解題教學［J］.百科論壇電子雜志， 2020（11）：101.

［2］ 馬先龍.如何列一元一次方程解應用題［J］.數理天地（初中版）， 2019（3）：1.

［3］ 譚崢嶸.巧用一元一次方程解應用題的策略［J］.試題與研究（教學論壇）， 2019（1）：1.

［4］ 徐小紅.列一元一次方程解應用題的教學淺議［J］.中華志愿者， 2020（11）：126.

［責任編輯：李 璟］