【摘 要】平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)概念的核心，教學(xué)平均數(shù)時要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于問題情境的創(chuàng)設(shè)。好的問題情境要有現(xiàn)實(shí)背景的支持，并能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。把平均數(shù)的概念學(xué)習(xí)置于問題解決的背景中，能幫助學(xué)生建立正確的統(tǒng)計概念，有利于引導(dǎo)學(xué)生理解概念的產(chǎn)生與目的，體會數(shù)據(jù)分析的作用與意義，感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性與分析推斷的多樣性。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù) 問題情境 數(shù)據(jù)分析

平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)的核心概念，在一定程度上可以說，統(tǒng)計方法就是用數(shù)學(xué)工具去處理種種形態(tài)下的平均值問題。如果我們從理論的角度走一點(diǎn)極端，則可以說，一部數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的歷史，就是從縱橫兩個方向?qū)λ阈g(shù)平均數(shù)進(jìn)行不斷深入研究的歷史。

可以從三個角度理解平均數(shù)—算法理解、概念理解和統(tǒng)計理解，這也可以看作平均數(shù)概念理解的三個不同層次。從統(tǒng)計學(xué)的特點(diǎn)與本質(zhì)上看，對于平均數(shù)概念的學(xué)習(xí)而言，重點(diǎn)是概念理解，難點(diǎn)是統(tǒng)計理解。教學(xué)時要設(shè)計合適的問題情境，讓學(xué)生體會統(tǒng)計活動的必要性和概念產(chǎn)生的必然性，并在運(yùn)用概念解決問題的過程中，滲透正確的統(tǒng)計觀念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

一、創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，體會統(tǒng)計活動的必要性和概念產(chǎn)生的必然性

情境與問題是聯(lián)系在一起的，一個情境是否合適并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出問題是否能夠揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從這里不難看出，合適的問題情境有兩個要義：一是要有現(xiàn)實(shí)背景的支持，二是要能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。

什么樣的問題情境適合用于教學(xué)平均數(shù)概念？下面以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例展開討論。教材中的情境設(shè)計如圖1。

圖1

“淘氣能記住幾個數(shù)字？”就是一個現(xiàn)實(shí)生活中合理存在的問題，并且這樣的問題也是學(xué)生樂意思考的。怎么才能知道這個問題的答案？解決這個問題的思路是什么？

具備數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的人，能利用統(tǒng)計活動解決這樣的問題。他們會考慮先調(diào)查，收集數(shù)據(jù)，再通過分析數(shù)據(jù)作出判斷，即通過數(shù)據(jù)來分析與解決問題。

可是，每3秒呈現(xiàn)10個數(shù)字，從5次調(diào)查中收集到的數(shù)據(jù)并不相同，也就是說數(shù)據(jù)是隨機(jī)的。到底用哪個數(shù)據(jù)作為代表？這就需要進(jìn)一步分析收集到的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生經(jīng)歷尋找這個“合適的數(shù)作為代表”的過程，就是理解平均數(shù)意義的過程。

統(tǒng)計學(xué)的基本思路是根據(jù)所關(guān)心的問題尋求好的方法，分析和判斷數(shù)據(jù)，得到必要的信息去解釋實(shí)際背景。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中以問題解決的思路來設(shè)計平均數(shù)概念的學(xué)習(xí)，正是體現(xiàn)了這個基本思路。

一般來說，統(tǒng)計教學(xué)中的問題情境創(chuàng)設(shè)要注意兩個方面：一是問題情境本身要有統(tǒng)計意義。也就是說，統(tǒng)計活動的最終目的是解決具體的問題，因此，問題最好來源于現(xiàn)實(shí)。二是數(shù)據(jù)要有隨機(jī)性。只有隨機(jī)的數(shù)據(jù)才能真正體現(xiàn)統(tǒng)計思維的特點(diǎn)，即一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同；另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。我國杰出的數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家和教育家陳希孺院士指出，只有那些受偶然性因素影響的數(shù)據(jù)，才是統(tǒng)計學(xué)處理的對象。否則，學(xué)生應(yīng)用的是算術(shù)中的平均數(shù)，是代數(shù)概念而非統(tǒng)計概念，由此形成的理解只是算法理解而非統(tǒng)計理解。

二、展開數(shù)據(jù)的分析過程，感悟數(shù)據(jù)產(chǎn)生的隨機(jī)性和統(tǒng)計推斷的多樣性

數(shù)據(jù)是統(tǒng)計工作中不可或缺的基本材料，數(shù)據(jù)的分析過程包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論。平均數(shù)概念的教學(xué)，核心的環(huán)節(jié)是數(shù)據(jù)分析中的提取信息與進(jìn)行推斷，前者是概念的理解，是教學(xué)的重點(diǎn)，后者是概念的應(yīng)用，是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。

下面以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的問題情境為例，介紹平均數(shù)概念教學(xué)的主要環(huán)節(jié)，以數(shù)據(jù)分析過程作為教學(xué)展開的過程。

1.收集數(shù)據(jù)

師：有一個考查短時記憶的小游戲，這個游戲叫作“3秒鐘能記住幾個數(shù)字”。游戲規(guī)則是屏幕上會出現(xiàn)一連串沒有規(guī)律的10個數(shù)字，保留3秒鐘，之后隱去這些數(shù)字，把你記住的數(shù)字按屏幕上的順序記在紙上。你估計自己能記住幾個？

（學(xué)生估計）

師：大家估得不一樣，要想知道自己能記住幾個，你們有什么建議？

生：可以玩一玩、試一試。

師：我們先測試一次，看看能記住幾個。請大家準(zhǔn)備好。

（屏幕上呈現(xiàn)10個數(shù)字，3秒鐘之后隱去，學(xué)生記錄自己記住的數(shù)字）

師：現(xiàn)在10個數(shù)字重新呈現(xiàn)在屏幕上了，請你們自己核對。要按照這個順序記錄才能算對，如果沒有按這個順序，或者中間有漏掉的，都不算數(shù)。來，統(tǒng)計一下你們記住了幾個。

學(xué)生有的說4個，有的說6個，有的說7個……

師：大家記住的個數(shù)有多有少。如果就以剛才匯報的個數(shù)作為這些同學(xué)玩這個游戲的成績，你們同意嗎？

生：不行，再來一次。我剛才沒有發(fā)揮好。

師：好，我們再來一次。

……

師：這次記住的個數(shù)比上一次多了還是少了？

（有的學(xué)生說多了，有的學(xué)生說少了）

師：如果再玩一次，你們能記住幾個呢？先猜一猜，再試一試。

2.整理數(shù)據(jù)

師：如果現(xiàn)在讓你們匯報成績，你們準(zhǔn)備匯報哪一次的成績？

生：第二次的，第二次比第一次多。

生：我想可以再試幾次，慢慢熟練了就能記住更多。

師：如果測試的次數(shù)多了，我們就能收集到更多的數(shù)據(jù)。淘氣小朋友也玩了這個游戲，這是他5次測試的成績，我們把它記錄在表格中，請看：

淘氣5次記住數(shù)字的情況統(tǒng)計表

次數(shù) 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

記住數(shù)字的個數(shù) 4 5 5 7 9

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的觀念，最有效的方法是讓他們參與數(shù)據(jù)分析的全過程，包括數(shù)據(jù)的收集與運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷并得到結(jié)論的過程。玩游戲的過程其實(shí)就是通過調(diào)查活動收集數(shù)據(jù)的過程，學(xué)生親歷這個過程，既可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，也可以體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。但是，有時收集的數(shù)據(jù)并不適合在教學(xué)中討論分析，甚至?xí)霈F(xiàn)用平均數(shù)刻畫集中趨勢并不合適的情況。因此，教學(xué)可以在學(xué)生經(jīng)歷調(diào)查與收集數(shù)據(jù)的過程后，直接根據(jù)教材提供的數(shù)據(jù)展開討論。

3.提取信息

師：觀察這些數(shù)據(jù)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：從第1次到第5次個數(shù)是增加的，第3次跟第2次是一樣的。

師：先描述數(shù)據(jù)的整體，再關(guān)注個別的數(shù)據(jù)，這種分析數(shù)據(jù)的方法真好。

師：還有不一樣的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：數(shù)據(jù)有時變大，有時不變。

師：也就是說，每次測試的成績不太穩(wěn)定。

師：如果淘氣向老師匯報他的成績，他應(yīng)該報幾個？

生：我認(rèn)為是5個，因?yàn)榈诙慰赡軙炀氁恍?/p>

生：我也認(rèn)為是5個，因?yàn)?個出現(xiàn)了兩次。

生：我認(rèn)為是5個，因?yàn)閺男〉酱笈帕惺?、5、5、7、9，這些數(shù)中5處于最中間。

生：我認(rèn)為是7個，從小到大排起來，中間是5個，可是后面的個數(shù)比前面多，所以應(yīng)該匯報是7個。

生：我認(rèn)為是6個，把所有的數(shù)加起來是30，再除以5就等于6個。

師：你們的意見集中在5個、6個、7個上，為什么不選4個或9個？

生：4個太少了，9個太多了。

4.構(gòu)建模型

師：那么5個、6個、7個，用哪個數(shù)據(jù)作為代表，或者說淘氣到底匯報幾個更合適呢？

生：6個。因?yàn)樗怯?次的總和除以次數(shù)得到的。

師：你肯定知道這個數(shù)叫什么吧？

生：平均數(shù)。

師：對。用總個數(shù)除以次數(shù)[板書：（4+5+5+7+9）÷ 5=6（個）]。這里的6個，數(shù)學(xué)上有個專門的名稱，叫作“平均數(shù)”。

（板書：平均數(shù)）

師：用統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)算一算，可以得到它們的平均數(shù)。在這個統(tǒng)計圖中（呈現(xiàn)象形統(tǒng)計圖，圖略），你能把這個平均數(shù)找出來嗎？

生：能。

師：動手之前，先告訴大家你打算怎么做。

生：把多的移給少的。（學(xué)生操作，如圖2）

圖2

師：通過“移多補(bǔ)少”也可以找到平均數(shù)。

師：現(xiàn)在你們是怎么理解平均數(shù)的？

生：平均數(shù)是不大不小的數(shù)。

生：平均數(shù)就是把所有的數(shù)加起來，除以總個數(shù)。

師：有比較才有鑒別。現(xiàn)在你們能給出更充分的理由來解釋為什么不選5個或7個了嗎？

（學(xué)生討論，略）

平均數(shù)通俗易懂的含義就是“均貧富”，即原本有多多少少的若干量，經(jīng)過平均以后，它們最終變得一樣多，這個最終的量就是原本那些量的平均數(shù)。用算法化與直觀化兩種方法求得平均數(shù)，都不是最重要的。運(yùn)算與操作都是為了理解平均數(shù)的意義，具體到問題情境中，就是要能分析比較，解釋為什么選擇“6個”作為這組數(shù)據(jù)的代表是更合理的。平均數(shù)的概念是在描述和分析數(shù)據(jù)中自然產(chǎn)生的，學(xué)生可以感悟到創(chuàng)造數(shù)學(xué)概念的必要性。至此，平均數(shù)成為在解決一個現(xiàn)實(shí)問題過程中構(gòu)建的模型。

5.進(jìn)行推斷

師：觀察淘氣前面5次記住的個數(shù)，我也已經(jīng)知道這5次的平均數(shù)是6個。請大家猜一猜，如果淘氣再試一次，第6次的個數(shù)會是幾個呢？說說你們的理由。

生：10個。因?yàn)槊看味荚谶M(jìn)步。

師：10個，有可能嗎？

生：有可能。

師：一定是10個嗎？

生：不一定。

生：也可能是8個。因?yàn)橛袝r發(fā)揮不穩(wěn)定，會退步的。

師：你覺得有道理嗎？

生：有道理。

師：有人說，在6個左右的可能性比較大，你們怎么想？

生：我想也是有道理的，因?yàn)槠骄鶖?shù)是6個，說明他的水平就是6個左右。如果試的次數(shù)多了，練熟了，有可能會比6個多一些。

師：剛才你們有不同的猜想，并且都給出了自己的理由，有10個的，有8個的，還有6個的，一切皆有可能。但是相比較而言，在平均數(shù)上下的可能性會更大一些。平均數(shù)可以幫助我們推斷。

統(tǒng)計推斷的挑戰(zhàn)在于結(jié)論的不確定性。讓學(xué)生猜想下一次可能記住幾個，不僅是運(yùn)用平均數(shù)的概念進(jìn)行統(tǒng)計推斷，而且也是為了感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。在這個統(tǒng)計推斷活動中，數(shù)據(jù)的隨機(jī)性與規(guī)律是對立統(tǒng)一的兩面：一方面，現(xiàn)象的發(fā)生具有不確定性和不可預(yù)見性；另一方面，又表現(xiàn)出非偶然的規(guī)律性，即穩(wěn)定在平均數(shù)上下。

6.獲得結(jié)論

師：現(xiàn)在，前面的問題有答案了嗎？淘氣3秒鐘能記住幾個數(shù)字？

生：6個。

生：不對，更合理的說法是6個左右。

生：說平均數(shù)是6個更準(zhǔn)確一些。

師：如果你想知道自己3秒鐘能記住幾個數(shù)字，你打算怎么做？

生：估計跟淘氣差不多。

生：可以試幾次，把數(shù)據(jù)記錄下來，再求出平均數(shù)。

以上教學(xué)，把平均數(shù)的概念學(xué)習(xí)設(shè)計在問題解決的情境中，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷了數(shù)據(jù)分析的全過程，其核心還是問題情境的創(chuàng)設(shè)。在教學(xué)中，問題情境的設(shè)計要考慮如何將各個因素結(jié)合起來，以實(shí)現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo)。在以上的問題情境中，討論的核心問題是用幾個作為這組數(shù)據(jù)的代表，由此引發(fā)一系列的思考：為什么要有平均數(shù)的概念？如何得到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)？平均數(shù)能幫助人們做什么？這些問題，不僅聯(lián)系了平均數(shù)概念的意義理解與實(shí)際運(yùn)用，而且也讓學(xué)生經(jīng)歷了運(yùn)用數(shù)據(jù)統(tǒng)計推斷的過程，感悟了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和規(guī)律性，培養(yǎng)了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

三、把握知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出核心概念的重要性和知識理解的完備性

平均數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中是一個非常重要的概念，因?yàn)樵诩俣l件下，樣本平均數(shù)是真實(shí)數(shù)據(jù)的一個好的估計。如果僅就數(shù)學(xué)計算而言，平均數(shù)只是一個包含了加法和除法的算式，對數(shù)學(xué)計算來說實(shí)在是無足輕重，但平均數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的統(tǒng)計概念，平均數(shù)的教學(xué)要讓學(xué)生體驗(yàn)和感悟數(shù)據(jù)分析的要義，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。特別地，對平均數(shù)的學(xué)習(xí)要達(dá)到統(tǒng)計理解的層次水平，需要以數(shù)據(jù)隨機(jī)性的理解作為基礎(chǔ)，體現(xiàn)統(tǒng)計學(xué)的教育價值。

平均數(shù)有許多重要的性質(zhì)，較重要的是“零的原理”，即所有數(shù)據(jù)與均值的偏差之和為零。對于學(xué)生來說，他們還需要知道平均數(shù)位于最大值和最小值之間，會受到不等于平均數(shù)的數(shù)據(jù)值的影響，不需要與參與相加的數(shù)據(jù)中某一個相等，可以是一個在現(xiàn)實(shí)中沒有實(shí)際意義的分?jǐn)?shù)或小數(shù)等，以獲得對平均數(shù)概念更加深刻的理解。

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都可以作為一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。使用什么指標(biāo)作為一組數(shù)據(jù)中心的代表，取決于這組數(shù)據(jù)的含義以及數(shù)據(jù)分布本身。平均數(shù)的作用往往被過分渲染而沒有注意它的適用范圍。其實(shí)，平均數(shù)最適合用于數(shù)據(jù)呈對稱分布狀態(tài)，尤其是正態(tài)分布的情況。數(shù)據(jù)呈偏態(tài)分布，當(dāng)有極差值以及有些數(shù)據(jù)不夠準(zhǔn)確時，選用平均數(shù)都是不合適的。此外，平均數(shù)區(qū)別于其他數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量，最大的優(yōu)勢在于可用于對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析與處理，如計算方差解釋離散程度。

平均數(shù)這節(jié)課的教學(xué)不好設(shè)計，主要是聯(lián)系的背景知識太復(fù)雜，教學(xué)不容易做到“深入淺出”。或許，這就是一種學(xué)無止境的體驗(yàn)吧。

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