觀察方程結構 活化步驟求解

摘要：解一元一次方程是代數方程中最基礎的內容，也是代數計算的核心.我們既要會嚴格按步驟求解，又要會靈活根據數字特點與結構靈活求解.前者是通法，后者是技巧；前者是基礎，后者是機智.只有真正掌握了一般步驟，才能真正“熟能生巧”.

關鍵詞：一元一次方程；解法；創新

解一元一次方程時，一般按以下五個步驟進行：（1）去分母;（2）去括號;（3）移項;（4）合并同類項;（5）系數化為1.有些方程若能抓住其特殊結構，靈活運用步驟，就能使解方程的過程變得簡潔明快.

1 用等式的性質或分配律去多重括號

含多重括號的一元一次方程的常規解法是從內到外去括號.對于特殊的含多重括號的一元一次方程，可從外到內逐層去括號.

例1 解方程：1334x-32+4+6=5.

分析一：括號外與括號內都有分數，從里面去括號，比較繁瑣.可等式兩邊同時乘一個數，從外到內逐層去括號.

方法一：用等式的性質去括號.

解：方程兩邊同乘3，得

34x－32＋4＋6＝15，即34x－32＋4＝9.

兩邊同乘43，得x－32＋4＝12，解得x＝19.

分析二：中括號外的分數與中括號內的分數可以約分，運用分配律使它們的積變得更簡單.

方法二：用分配律去括號

解：由分配律，得

13×34x－32＋4＋13×6＝5，

即14x－32＋4＝3.

再由分配律，得

14×x－32＋14×4＝3，解得x＝19.

變式 解下列方程：

（1）x－3223x4－1－2=－2；

（2）433415x－2－6＝1;

（3）121314（1.2x－1）－6+4=1.

2 整體法

當方程中重復出現相同的多項式，就可以把這個多項式看成一個整體進行移項、合并同類項，進而求得方程的解.

例2 解方程：12x－12（x－1）=23（x－1）.

分析：方程中（x－1）重復出現，可以將（x－1）看成一個整體進行移項、合并同類項.

解：（整體去括號）原方程可化為

12（x－1）+1－12（x－1）=23（x－1）.

去中括號，得

12（x－1）+12－14（x－1）=23（x－1）.

整體合并，得－512（x－1）=－12，解得x=115.

例3 解方程：

5（2x＋1）－3（22x＋11）＝120＋4（6x＋3）.

分析：表面上看方程中沒有相同的項，但將后面兩個括號內的項化簡，就會發現（2x＋1）重復出現.

解：（變形后再整體合并）

原方程可化為

5（2x＋1）－33（2x＋1）＝120＋12（2x＋1）.

移項、合并同類項，得－40（2x＋1）＝120.

解得x＝－2.

變式 解下列方程：

（1）5（2x＋3）－34（x－2）＝2（x－2）－12（2x＋3）;

（2）111（2x－3）+119（3－2x）+213x=313;

（3）78（x-3）-63（6-2x）=88（7x-21）.

3 拆項法

根據“b＋ca＝ba＋ca”將分子是和的形式的分數拆成兩部分，然后求解.

例4 解方程：z+z+24+6－7z4=5－2z3－2z－56.

分析：方程中出現三個分母，且3與6成倍數關系，將含有分母的項拆分，化整為零，化簡后再合并同類項，使未知數的系數變得簡單.

解：把方程兩邊拆分，得

z+z4+24+64－7z4=53－2z3－2z6+56.

移項，合并同類項，得12z=12.

解得z=1.

例5 解方程：y5－y－12＝1－y＋25.

分析：方程中出現三個分母，且有兩個分母相同，將含有分母的項拆分，再移項、合并同類項，這樣運算比較簡潔、順暢.

解：拆項，得y5－y2－12＝1－y5＋25.

去括號、移項，得y5－y2＋y5＝1－25－12.

合并同類項，系數化為1，得y＝－1.

變式 解下列方程：

（1）4x－23＋5－2x6＝2x＋17；

（2）y－3－6y9=2y－13；

（3）x1×2+x2×3+……+x2 009×2 010=2 009.

4 先通分，后去分母

方程中出現多個含分母的多項式時，可將同分母的項合并，或將利于通分的項先通分.

例6 解方程：

8－6x15－1－x6＝－2x－15＋2x＋118.

分析：方程中出現四個含分母的項，其中15與5，6與18分別是倍數關系，將它們移項到一起，再分別通分成同分母的多項式，并合并同類項.

解：移項，得8－6x15＋2x－15＝1－x6＋2x＋118.

左右兩邊分別通分，得

（8－6x）＋3（2x－1）15＝3（1－x）＋（2x＋1）18.

化簡，得13＝4－x18，解得x＝－2.

例7 解方程：

12x－1021＋7x－920＝2－x15＋8x－914.

分析：觀察四個分母發現，21與14有最大公因數7，20與15有最大公因數5，移項后應將它們組合在一起，便于通分.

解：移項，得12x－1021－8x－914=2－x15－7x－920.

兩邊分別通分，合并得

2（12x－10）－3（8x－9）42=4（2－x）－3（7x－9）60.

化簡，得742=35－25x60，解得x＝1.

變式 解下列方程：

（1）3x+12－2=3x－210－2x+35；

（2）23－x－12＝x－x+23.

5 運用分數基本性質，將小數系數化成整數

當方程的分子、分母中有小數時，將分子、分母同時乘一個適當的數，把小數化為整數.

例8 解方程：0.5x+20.03－x=0.3（0.5x+2）0.2－101112.

分析：將左邊第一個式子的分子、分母同乘100，將右邊第一個式子的分子、分母同乘20.

解：原方程可化為

50x+2003－x=3（x+4）4－13112.

再按一般步驟進行，解得x=-5.

例9 解方程：4x－1.50.5－5x－0.80.2=1.2－x0.1.

分析：將三個式子的分子與分母都同乘10.

解：原方程可化為

40x－155－50x－82=12－10x1.

再按一般步驟進行，得x=－117.

變式 解下列方程：

（1）0.9x－2.40.6－0.9x－0.60.3=0.05－0.01x0.01；

（2）10.7x－10.03（0.17－0.2x）=1.

綜觀以上幾例，一些一元一次方程看似復雜，若根據方程的數字結構特點，多分析思考，并合理變形，優化算法，可快速解決.這樣可以培養學生的創新意識和探究精神，提高學生分析問題、解決問題的能力，切實提升學生的數學核心素養.

計算素養是初中數學重要的數學素養，在平時的教學中，廣大師生往往不夠重視.本文中以解一元一次方程為依托，通過分析方程的數字特點與結構信息，有效溝通通法與創新思維，從五個方面結合具體實例進行分析，實現解題方法的提煉與運用.