基本模型在復習教學中的應用與思考

復習課是數學教學的重要課型之一，其是鞏固知識、強化技能、完善認知結構的重要途徑.在復習教學中，教師應結合教學內容選擇不同的教學方法，以此通過教學方法的多樣化來激活課堂，提高課堂教學收益.而利用“基本模型”進行綜合性復習，其有利于加深知識的理解，幫助學生建構清晰的知識網絡，促進學生解決能力和數學素養的提升，是幾何學習的一種重要方法.在復習“圖形的相似”時，筆者以“A字”“Z字”“反A字”“反Z字”模型為依托，開設專題復習，取得了較好的教學效果.現將教學設計呈現給大家.

1 教學設計

1.1 認識模型

1.1.1 提煉基本模型

例1 如圖1，已知DE∥BC，求證：△ADE∽△ABC.

例1較為簡單，學生可以輕松地完成證明.證明后，教師引導學生進行歸納總結，由此得到如下結論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，則所截三角形與原三角形相似.

設計意圖：例1是根據教材內容改編的，其目的是引導學生回歸教材，回顧相似中“A字”“Z字”兩大基本模型，揭示本課研究的主題.

1.1.2 變式探索

問題1 簡述例1證明過程.

問題2 圖形變換的類型有哪幾種？將圖1進行怎么的變換也會得到∠1=∠2？變換后（如圖2），是否會出現相似三角形呢？若相似，請給出證明過程.

設計意圖：在原有基本模型的基礎上變一變，引申出“反A字”“反Z字”模型，豐富學生的認知，為應用基本模型解決問題打下堅實的基礎.在此活動中，充分體現“源于教材，高于教材”的用心，激活了學生的數學思維.

1.2 例題解析

例2 在△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖中虛線剪開，則剪開的三角形與原三角形不相似的是（" ）.

例3 如圖3，AB，CD相交于點O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF=2，求AC的長.

設計意圖：例2是一道基礎題，其所考查的是學生對基本模型的掌握情況.同時通過思考與辨析可以提高學生的識圖能力，幫助學生認清基本模型的特點，從而為后續研究復雜的圖形問題創造條件.例3是一道典型練習，具有一定的綜合性，其從平行線出發，融合了“A字”和“Z字”兩種模型.通過以上問題的解決，學生能夠感悟基本模型在解題中的重要性，為應用模型解決問題提供一定的方法和思路，促進基本模型的深化和解決問題能力的提升.

1.3 鞏固練習

練習1 如圖4，在銳角三角形ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF=∠GAC.求證：△ADE∽△ABC.

練習2 如圖5，在△ABC中，AC=8 cm，BC=16 cm，點P從點A出發，以1 cm/s的速度沿AC邊向點C運動，點Q從點C出發，以2 cm/s的速度沿CB邊向點B運動.假如P與Q同時出發，t（單位：s）表示移動時間（0≤t≤8），問當t為何值時，△PQC與ABC相似？

教師讓學生獨立求解，對個別學生進行單獨的指導.練習2是一道動點試題，部分學生在面對動點問題時容易出現畏難情緒，進而在解題時望而卻步.教師鼓勵學生以小組合作的方式來完成，讓學生相互啟發、相互補充，以此通過合作學習突破動點這一難點問題，提高學生解題信心.

設計意圖：練習設計遵循由淺入深、由易到難的設計原則，符合學生的認知發展規律.解題過程中，教師可以根據學生的實際情況提出不同的要求，以此保護學生學習的積極性，提升學生解題信心.

以上三例題和道練習比較典型，覆蓋面廣，既涉及基本定理的闡述，又研究了“A字”“Z字”等基本模型，同時又有動點問題引起的分類討論，可以很好地考查學生的綜合應用能力.從學生練習反饋來看，雖然處理動點問題時，個別學生還存在一定的困難，但是絕大多數學生能夠根據基本模型快速地找到解題的突破口.可見，學生對以上基本模型已經有了深刻的認識，為復雜相似問題的解決創造了條件.

1.4 拓展提升

例4 已知AD是△ABC的角平分線，圓O經過A，B，D三點.過點B作BE∥AD，交圓O于點E，連接ED，如圖6.

（1）求證：ED∥AC；

（2）若BD=2CD，設△EBD的面積為S1，△ADC的面積為S2，且S21-16S2+4=0，求△ABC的面積.

設計意圖：此題涉及圓、三角形相似等知識，具有一定難度.從題設信息來看，似乎很難發現相似的身影，所以學生可能很難聯想到基本模型，進而陷入迷茫.其實圖7中隱含著“Z字”基本模型，若學生能夠抽象出“Z字”基本模型，那么在求面積時就可以利用相似來尋找解決問題的突破口，從而輕松地解決問題.

2 教學反思

2.1 精挑細選，緊扣主題

在本課教學中，教師將“A字”“Z字”等基本模型相融合形成專題，所選題目緊扣基本模型，讓學生通過經歷觀察、抽象、應用等活動找到其共同特點和解決辦法，提高學生數學應用能力.另外，“A字”“Z字”在相似中的應用是中考的重要考點，若學生能夠理解和掌握，并將其應用在解題中，將有利于解題效率和數學成績的提升.

2.2 聚焦典型問題，體現模型本質

周知，專題復習不需要做到面面俱到，因此復習課的例題選擇不用全面寬泛，應做到重點突出，揭示本質.例1和例2比較基礎，但是其針對性強，充分體現模型本質.要知道，只有抓住問題的本質，掌握問題的核心，才能擁有以不變應萬變的能力，才能提高數學應用水平.例2雖然難度不大，但是非常典型，通過問題的解決可以提高學生的舉一反三能力，提高復習效率.

2.3 抓住問題主線，揭示內在聯系

復習教學中，部分教師常常為了追求難而設計一些綜合性較強的問題，以期借助綜合性練習打通知識間的邏輯聯系，提高學生的解題能力.不過，對于一些基礎較弱的學生來講，大量的綜合練習可能會讓他們產生畏難情緒，進而影響學習信心.因此，在復習教學中，教師不妨從考查單一知識的問題入手，通過一些“小而精”的練習將零散的知識串在一起，這樣既不會給學生造成心理負擔，又能揭示問題之間的內在邏輯關系，形成清晰的認知體系.例如，在鞏固練習階段，教師設計的題目難度較小，考查知識點比較單一，不過問題之中都存在基本模型，這樣以基本模型為主線，幫助學生找到了同類問題的解決方法，實現了知識的融會貫通.

2.4 貫徹以生為主，成就精彩生成

在復習課堂上，教師應貫徹以生為主的教學理念，將課堂還給學生，并預留充足的時間讓學生回顧、思考、探索、梳理，以此逐步優化個體的認知結構，提高學生解決問題的能力.在本課教學中，教師根據教學實際精心挑選練習，并預留充足的時間讓學生提煉方法、總結經驗，逐步發現解決此類問題的一般思想方法，以此讓學生深刻理解和掌握知識，從而成就精彩生成.

總之，“基本模型”其結構簡潔且有深度，復習教學對鍛煉學生數學思維，以及幫助學生建構知識體系大有裨益，因此教學中應合理引入，以此來提升課堂效率和學習效率.