圓周角定理及其推論的應用例析

摘要：圓周角定理和它的兩個推論，是“圓”這一章中非常重要的理論知識，也是初中幾何部分非常重要的內容，在圓與其他知識相結合的綜合題中，常能見到它的“身影”.本文中以例題分析的形式探討圓周角定理及其推論的作用，為教師教學提供更多素材，同時間接作用于學生，幫助他們梳理知識、解決問題.

關鍵詞：圓周角；定理；推論；作用；轉化思想

在初中幾何部分，有許多重要且經典的定理，它們不僅是中考命題的熱點，也在知識網絡中發揮著極其重要的基礎作用.本文中嘗試探討圓周角定理及其推論的作用，并以例題分析的形式深入剖析、說明，旨在一方面幫助教師拓展知識范圍，另一方面間接幫助學生不斷鞏固新知.

1 圓周角定理及其推論

既然是探究圓周角定理及其推論在初中幾何部分發揮的作用，那么首先就要清楚圓周角定理及其推論的內容.

1.1 圓周角定理

圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半[1].需注意的是，此定理中的圓周角和圓心角是同一段弧所對的角.另外，是圓周角等于圓心角的一半，不是圓心角等于圓周角的一半，要準確理解二者之間的關系.最后，不能把“它所對弧上的”去掉，而簡單說成“圓周角的度數等于圓心角度數的一半”.運用此定理的前提是圓周角與圓心角所對的弧一定要相同.

1.2 圓周角定理的推論

圓周角定理的推論一共有兩個，分別是：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.

推論2：直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

需注意的是，推論1一定要在同圓或等圓中，而且推論中的“等弧”是指在同圓或等圓中能夠互相重合的弧.如果將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，則結論不成立，因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，它們相等或互補.

推論2應用非常廣泛，一般地，如果題中有直徑，往往作出直徑所對的圓周角——直角，推論2也是證明弦是直徑的常用方法.

2 圓周角定理及其推論的應用

2.1 求角度

圓周角定理及其推論都與角度有關，所以它可以用來求角度.事實上，在很多有關的問題中，求角度尤為常見.

例1 如圖1，A，D是⊙O上的兩點，BC是直徑.若∠D=34°，則∠OAC等于（" ）.

A.68°"""" B.58°

C.72°D.56°

分析：∠B和∠D都

是AC所對的圓周角.

所以，根據推論1可求得∠B的度數.再根據△AOB是等腰三角形，可求得∠BAO的度數，根據推論2求得∠OAC的度數.

解：由BC是⊙O的直徑，得∠CAB=90°.

∵∠D=∠B=34°，OB=OA，

∴∠B=∠BAO=34°.

∴∠CAO=56°.

故選答案：D.

2.2 求銳角三角函數值

由于根據推論2可證得一個角是直角，也就意味著可證明一個三角形是直角三角形.而銳角三角函數是與直角三角形有關的知識，所以可用圓周角定理及其推論求銳角三角函數值.

例2 如圖2，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在

格點上，以AB為直徑的圓

經過點C，D，則sin∠ADC的值為（" ）.

A.21313

B.31313

C.23

D.32

解析：如圖3，連接AC，BC，則AC=2，BC=3.

∵∠ADC和∠ABC所對的弧都是AC，

∴∠ABC=∠ADC.

∵AB是圓的直徑，

∴∠ACB=90°.

在Rt△ACB中，根據勾股定理可以得到

AB=22+32=13，

∴sin∠ABC=ACAB=213=21313.

∴sin∠ADC=21313.

故選答案：A.

2.3 求線段長

由于利用推論2可證得三角形為直角三角形，而直角三角形和勾股定理聯系非常緊密，所以可用圓周角定理及其推論求線段的長[2].

例3 如圖4，四邊形ABCD內接于⊙O，∠ABC=∠ADC，BD平分∠ABC.若AB=3，BC=4，求BD的長.

解析：如圖5，連接AC，過點C作CH⊥BD于點H.先根據

推論2證得∠ABC=∠ADC=90°，然后根據勾股定理計算AC的長為5，再證得△ADC是等腰直角三角形，并求出DA，DC的長為522.同理證得△BHC是等腰直角三角形，并求得BH，CH的長為22，進而得BD=722.

2.4 進行證明或說理

學以致用是學習知識的目的.所以，學習圓周角定理及其推論后，可用它們進行證明或說理，甚至可解決一些難度較大的綜合題.

例4 如圖6，BC是半圓的直徑，圓心為O，P是半圓弧的中點，A是BP的中點，AD⊥BC于點D，連接AB，PB，AC，BP分別與AD，AC相交于點E，F.

（1）求證：AE=BE；

（2）小李通過操作發現CF=2AB，小李的發現是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關系.

分析：（1）根據圓周角定理推論可求出∠BAC=90°=∠ADC.

易得出∠BAD=∠ACB，再結合點A為弧BP的中點F，即可證得AE=BE.（2）根據全等三角形的性質和判定求出BG=CF，AB=AG，即可證得CF=2AB.

（1）證明：

∵BC是直徑，AD⊥BC，

∴∠BAC=∠ADC=90°.

∴∠BAD=∠ACB.

∵A為弧BP中點，

∴∠ABP=∠ACB.

∴∠BAD=∠ABP.

∴BE=AE.

（2）解：小李的發現是正確的，理由如下：如圖7，延長BA，CP，交于點G.

∵P為半圓弧的中點，BC為直徑，

∴∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC.

∵∠PCF=∠PBG，

∴△PCF≌△PBG.

∴CF=BG.

∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°.

∵A為弧BP的中點，

∴∠GCA=∠BCA.

∵AC=AC，

∠CAB=∠CAG=90°，

∴△BAC≌△GAC.

∴AG=AB=12BG.

∴CF=2AB.

3 結語

綜上所述，圓周角定理及其推論作為初中數學幾何部分非常重要的理論知識，學好它至關重要，對提升學生解決問題的能力很有幫助.同時，它的應用體現在多個方面，教學中應呈現不同類型的問題，讓學生多參與思考，多探究其解法.如此一來，對培養學生的思維靈活性具有積極作用.

參考文獻：

[1]王海燕.圓周角定理及其推論中一類典型問題的延伸[J].中學課程輔導（教師教育），2019（18）：67，69.

[2]華心昀.圓周角定理及其推論的證明和應用[J].新高考（升學考試），2017（10）：47-49.