數學史融入高中數學的教學設計探索與實踐

摘 要：本文以普通高中教科書數學必修第二冊（人教A版）的“數系的擴充與復數的概念”一課中“數系的擴充”為例，創設教學情境，將數學史融入數學課堂，進行教學設計探索與實踐.

關鍵詞：數系的擴充；智力激勵法；復數的概念；創設情境

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0024-03

最新頒布實施的《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出“高中數學課程應注重數學史的滲透，使學生認識到數學在人類發展史中的作用，從而幫助學生形成正確的數學觀”[1].在新課程改革背景下，通過引入數學發展史傳播數學知識的教育理念，打破了傳統的灌輸式教學方式，使數學課堂不僅僅注重知識，還關注數學文化的傳授，提高了學生在數學課堂的積極性與主動性.

本文主要以普通高中數學新教材人教版必修第二冊的“數系的擴充與復數的概念”一課中“數系的擴充”為例進行教學設計.在教學實踐的過程中，對于這節課的設計本文有一些創新性的想法，將數學史的內容融入這節課中，并且采用新的教學方式，引入頭腦風暴的教學情境，充分調動學生的積極性，激發學習興趣，使其全程參與，培養數學思維.

1 教學過程的設計

課前設計：教師需要將全班的同學分為4個組，

每組選出1個組長，組長負責匯總本組同學收集的資料，以及維持課堂上的秩序與紀律.要求第一組、第二組、第三組、第四組分別收集自然數、整數、有理數、實數是如何產生的，還可以收集關于數的發展史的小故事等.

1.1 新課導入

環節1 創設智力激勵法情境，導入新課

問題1 利用多媒體展示本節課題目“數系的擴充”，教師提出“為什么要擴充數系”和“數系是如何擴充”的疑問，引領同學們走進數的世界.

設計意圖：教師直接拋出問題，激發學生的學習興趣，提高課堂的活躍度.

教師請第一組的同學匯報在課后收集的資料.

預設1：在原始社會初，人類在捕魚、狩獵和采摘果實等生產勞動中產生了計數的需要，形成了數的朦朧概念.起初人們是用手指繩結、刻痕或木棒等實物來記數，比如一些人要出去狩獵，那么他們出去一天就在繩子上打一個結，用繩結個數來表示外出的天數.經過較長的時間，隨著生產和交換的不斷增加以及語言的發展，漸漸地把數從具體的事物中抽象出來，且有了數目1以后，就需要1的后面的一個數2（1的后繼記為2），逐次需要后繼，就得到了2、3、4、……，從而便在這樣自然的生產勞動中形成了自然數.

預設2：古時候其實也提出了有關記數的說法，《易·系辭》說：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契.”比喻古人普遍用結繩、骨管、刻木來記數[2].

教師總結：從第一組同學討論的結果可以總結得出，自然數是我們的祖先為了生活的實踐和記數的需要而形成的.

設計意圖：問題提出后對學生進行第一次創設情境激勵，教師不僅有效地將數學史融入課堂中，還提高了學生學習的主動性，使學生理解自然數的形成.

1.2 新知探索

環節2 再次創設智力激勵法情境，探索新知

問題2 引導第二組的同學們來闡述，對于整數是如何形成的這一問題進行匯報.

預設1：在古代，假如只有正整數的話，我們的祖先仍然無法處理日常生活中的各種問題，為什么呢？例如，古代人們在商場買賣的時候，記賬中有余、有虧，又或者是在古代使用糧倉儲存米的時候，有時會記存糧倉也有記出糧倉，這些都是古人使用之前的數字無法處理的.因此，人們考慮了與之產生相反含義的數字來表達，所以才產生了負數，于是將數由自然數的集合擴展到了整數集合.

預設2：以前的地質學家們去探索地球的時候，發現有高于海平面的高山，也有低于海平面的盆地，為了區分這種高低程度，提出了以海平面為分界點，高于海平面記作“正”，低于海平面記作“負”，所以產生了負數.自然數集，增加了負數后變成整數集[3].

教師總結：教師展示從自然數集到整數集的流程圖（圖1），通過第二組學生的情境激勵可知，整數是由于自然數不夠用了，于是祖先們引入了與之具有相反意義的量，不僅解決了當時的疑問，同時還適應了當時時代的發展.

自然數集負數整數集

圖1 自然數集擴充到整數集

設計意圖：學生不僅知道了整數是如何形成的，同時也提高了數學思維，教師在教學過程中亦達到事半功倍的效果.

環節3 持續創設智力激勵法情境，引導探索

問題3 我們的數還可以繼續擴充嗎？

預設1：埃及的莎草紙中記載了一個故事，是關于如何讓10個人平分9塊面包的問題.對于這個問題也給出了具體的回答，就是將其中的5塊面包平分成2份，這樣可以分成10份.每人拿到1份后還有4塊面包，每塊平均分為3份，一共12份，每人拿到1份后還有2份，再平均分成5份，正好每人1份，這樣每個人分到的面包不僅大小相同，塊數都是一樣的，如此就正好將這9塊面包平均分給了10個人.這個故事的解決方案引入了分數，于是就產生了分數，這樣就將整數集擴充到了有理數集.

預設2：在瑞士數學家歐拉200年前的著作《通用算術》中，他認為想要將一根長度為7米的繩子平均分成三等份是不可能的，這是因為無法找到一個合適的整數來精確表示每份的長度，而分數的引入正好可以解決這個問題.根據歐拉的觀點，如果我們嘗試將這根繩子分成三等份，每份的長度將會產生一個新的數，這個數就是分數.有了分數，數就從整數集擴充到了有理數集[4].

教師總結：教師展示從自然數集到整數集的流程圖（圖2），第三組同學分享的故事告訴我們分數實際上是由于社會的發展，在分物的時候，人數和物品不能進行一一匹配，所以古人引入了分數，將整數集擴充到有理數集.

自然數集負數整數集分數有理數集

圖2 整數集擴充到有理數集

設計意圖：根據第三組學生的回答，教師進行了總結，并結束了第三次頭腦風暴活動.采用頭腦風暴教學方式不僅能夠凸顯學生的主體地位，還能夠培養學生的發散性數學思維.

環節4 第四次創設智力激勵法情境，得出結論

問題4 教師提出問題：數擴充到有理數后是否還能繼續擴充？引發了第四組同學的討論.這是一個很有意義的問題，讓我們一起探討一下.

預設1：大約在公元前五世紀，古希臘數學非常發達，當時畢達哥拉斯倡導“惟數論”，也就是認為萬物皆數.但是，當時有個人提出了一個疑問，就是邊長為1的正方形，對角線的長怎么表示？這個問題在當時掀起了一場巨大風暴，產生了第一次數學危機.當時因為人們崇尚畢達哥拉斯學派，于是將提出

這個問題的人用石頭捆綁后沉入大海.這個“新”數的出現，給當時數學帶來了前所未有的困難，為了解決這個問題產生了無理數，數從有理數擴充到了實數[5].

教師總結：展示數系擴充的流程圖（圖3）.

無理數的產生的確是由第一次數學危機而產生的，我們的數就從有理數擴充到了實數.這里教師還需要補充，提出這個疑問的人是著名數學家畢達哥拉斯的學生希帕索斯，他因為提出這個人們從未見過的“數”，被殺害了.

自然數集負數整數集分數有理數集無理數實數

1.3 鞏固知識

（1）自然數的個數是有限的還是無限的？最小的自然數是什么？有沒有最大的自然數？

（2）整數可以分為（" ）.

A．正整數、負整數

B．正整數、自然數

C．負整數、自然數

（3）下列選項中正確的是（" ）【多選】

A．每一個有理數都可以用數軸上的點來表示

B．數軸上的任何一個點都表示一個有理數

C．任何有理數的絕對值都不可能是負數

D．每一個有理數都有相反數

（4）下列選項中正確的是（" ）.

A．無理數都是帶根號的數

B．0是絕對值最小的實數

C．數軸上的每一個點都表示一個有理數

D．兩個無理數的和還是無理數

1.4 歸納小結

四個組在匯報后總結出最終的結果，結束頭腦風暴.學生認識到數系擴充是有一定的發展過程的，并且曲折又久遠.學生們分組匯報自己收集的數的發展史，他們對于“數”的發展有了一定的理解，最后，教師從解方程的角度引發學生思考，為下一節課的學習作鋪墊.

2 結束語

從教學過程能夠發現，融入數學史能夠使數學課堂更加有趣，加深學生對概念的理解，有效提高課堂效率，培養學生的數學思維.在課堂上主要是以學生講為主，創造頭腦風暴的教學方式.課前，教師需要提前布置任務；課中，教師先明確提出問題，循序漸進地引導四個組的同學分別對問題提出自己的看法；最后，教師再對同學們給出的結果進行歸納、總結.進行頭腦風暴模式需要注意的幾個原則：（1）明確問題；（2）禁止評論；（3）追求數量.在學習過程中，學生都是獨立的個體，無論觀點對錯，只要學生能夠在課后下功夫，認真完成老師布置的任務，他們就是在進步的.作為新時代的教師，要不斷進行教學創新與教學改進，為我國教育事業作出貢獻.

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準 （2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：75.

［2］ 趙勇，詹睿，黃國利.“頭腦風暴法”在波譜解析課堂教學中的探索與實踐[J].廣東化工，2021，48（17）：197-198.

［3］ 王奇.數系的擴充和復數的概念教學設計[J].中學數學教學參考，2018（22）：20-22.

［4］ 劉江男.數學史融入“數系的擴充與復數的引入”的教學研究[D].西安：西北大學，2018.

［5］ 張今杰，陳華.第一次數學危機及其意義探析[J].寧波大學學報（人文科學版），2011，24（06）：7-12.

［責任編輯：李 璟］