三法并存 解題有道

摘 要：立體幾何解題有綜合法、（向量）基底法和（向量）坐標法三種并存的方法，解題時如何選擇？是選用綜合法，還是選用（向量）基底法或（向量）坐標法解答呢？文章通過一道高考立體幾何試題三種方法解答的評析，體會三種方法的特點和選擇技巧.

關(guān)鍵詞：立體幾何；三種解法；特點；選擇

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A" "文章編號：1008-0333（2024）19-0057-04

以2023年高考全國乙卷理科第19題第（3）小題的解法為例［1］，和大家探究綜合法、（向量）基底法和（向量）坐標法三種方法的特點和選擇技巧.

1 試題呈現(xiàn)

題目 如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=5DO，點F在AC上，BF⊥AO.

（1）證明：EF∥平面ADO；

（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

2 試題解答

2.1 第（1）問解析

分析 根據(jù)題設條件，運用綜合法并結(jié)合（向量）基底法，利用向量線性運算和數(shù)量積運算證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理推理作答［2］.

解析 連接DE，OF，設AF=tAC，則

BF=BA+AF

=BA+tAC

=BA+t（BC-BA）

=（1-t）BA+tBC，

AO=BO-BA=-BA+12BC.

因為BF⊥AO，AB⊥BC，

則BF·AO=［（1-t）BA+tBC］·（-BA+12BC）

=（t-1）BA2+12tBC2

=4（t-1）+4t=0，

解得t=12.

則F為AC的中點.

由D，E，O，F(xiàn)分別為PB，PA，BC，AC的中點，于是DE∥AB，DE=12AB，OF∥AB，OF=12AB.

即DE∥OF，DE=OF.

則四邊形ODEF為平行四邊形.

所以EF∥DO，EF=DO.

又EF平面ADO，DO平面ADO，

所以EF∥平面ADO［3］.

2.2 第（2）問解析

分析 根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

解析 由（1）可知EF∥OD，則AO=6，DO=62.

所以AD=5DO=302.

因此OD2+AO2=AD2=152.

則OD⊥AO.

所以EF⊥AO.

又AO⊥BF，BF∩EF=F，BF平面BEF，EF平面BEF，則有AO⊥平面BEF.

又AO平面ADO，

所以平面ADO⊥平面BEF.

2.3 第（3）問解析

分析1 由（2）的結(jié)論，作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

解法1 （綜合法）如圖2，過點O作OH∥BF交AC于點H，設AD∩BE=G，由AO⊥BF，得HO⊥AO，且FH=13AH.

又由（2）知，OD⊥AO.

則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角.

因為D，E分別為PB，PA的中點，

因此G為△PAB的重心.

即有DG=13AD，GE=13BE.

又FH=13AH，即有DH=32GF，

cos∠ABD=4+3/2-15/22×2×6/2=4+6-PA22×2×6，

解得PA=14.

同理得BE=62.

于是BE2+EF2=BF2=3.

即有BE⊥EF.

則GF2=（13×62）2+（62）2=53.

從而GF=153，DH=32×153=152.

在△DOH中，OH=12BF=32，OD=62，DH=152，

于是cos∠DOH=6/4+3/4-15/42×（6/2）×（3/2）=-22，

sin∠DOH=1-（-22）2=22.

所以二面角D-AO-C的正弦值為22.圖2 解法1示意圖

分析2 取空間的一個基底，利用向量基底法求解.

解法2 （基底法）設BF∩AO=M，則M為△ABC的重心.

取{OA，OB，OD}為空間的一個基底，所以

BF=32BM=32（BO+OM）=32（BO+13OA）.

設二面角D-AO-C的平面角為θ，則由（1）（2）可知

cosθ=cos〈OD，BF﹥

=OD·BFOD|BF|

=OD·BF

（6/2）×3

=23OD·BF

=23OD·32（BO+13OA）

=22OD·（BO+13OA）

=22OD·BO+26OD·OA

=22OD·BO.

在△DOB中，因為DB=DO=62，BO=2，

所以cos∠DOB=2/26/2=13.

所以cos〈OD，BO〉=-13.

所以OD·BO=ODBOcos〈OD，BO〉=

62×2×（-13）=-1.

于是cosθ=22×（-1）=-22.

所以θ=3π4.

所以sinθ=22.

故二面角D-AO-C的正弦值為22.

分析3 建立空間直角坐標系，運用向量坐標運算求解［3］.

解法3 （坐標法）如圖3，以點B為坐標原點，BA，BC所在的直線分別為x軸和y軸建立空間直角坐標系B-xyz，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，22，0），設P（m，2，n），D（m2，22，n2）.

由已知和（2）可知PB=6，AD=302.

所以m2+（-2）2+n2=6，（2-m2）2+（22）2+（n2）2=302.

所以m2+2+n2=6，（2-m2）2+12+n24=152，

解得m=-1，n=3.

所以P（-1，2，3），D（-12，22，32），E（12，22，32），F(xiàn)（1，2，0），O（0，2，0）.

則OA=（2，-2，0），OD=（-12，-22，32）.

設平面ADO的法向量為n1=（λ，μ，ν），則

n1·OA=2λ-2μ=0，n1·OD=-12λ-22μ+32ν=0［4］.

令ν=1，解得λ=13，μ=23.

所以n1=（13，23，1）.

又設平面ACO的法向量為n2=（0，0，1），設二面角D-AO-C的平面角為θ，則

cosθ=n1·n2n1n2

=（1/3，2/3，1）·（0，0，1）（1/3，2/3，1）0，0，1

=22.

所以sinθ=22.

3 解法評析

解法1運用的是綜合法.綜合法是從已知條件入手，根據(jù)有關(guān)定義，作出空間輔助線和輔助面，運用幾何推理解答立體幾何問題的方法.綜合法可謂是解答立體幾何問題的“萬能”之法，它適用于每一道立體幾何題，尤其是對于一些較為簡單的空間線、面平行或垂直的判定，以及一些容易化歸到平面圖形中的空間角或距離的計算問題，更適合運用綜合法.綜合法的不足是抽象程度高，推理計算過程往往頭緒繁多、錯綜復雜，令人不容易駕馭［5］.

解法2運用的是（向量）基底法.基底法通過選用空間的基底，應用向量的概念和運算解決問題.基底法把幾何問題代數(shù)化，思路單一，易于接受.比如，空間共線、共面的判斷，以及一些不方便通過添加輔助線、輔助面來推理又不具備垂直關(guān)系，無法用坐標法求解的空間角、空間兩點間距離的計算等問題.基底法的不足：一是對計算要求較高，二是向量關(guān)系不易尋找.

解法3運用的是（向量）坐標法.坐標法根據(jù)空間幾何體具有或構(gòu)造“三維”垂直的特點，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，表示或計算出有關(guān)點與向量的坐標，通過坐標運算，使立體幾何問題代數(shù)化處理，把定性問題化歸為定量問題來解決.坐標法的優(yōu)點在于既能規(guī)避綜合法復雜的幾何推理，也能避免基底法不易尋找向量之間關(guān)系的短板，其優(yōu)勢明顯.坐標法的不足在于局限于具有“三維”垂直的幾何體問題，而且計算量比較大.

4 結(jié)束語

對于立體幾何問題，我們首先考慮綜合法，如果較難運作又有較為明顯的垂直關(guān)系，再考慮坐標法，實在不行，最后考慮向量法.其實，多數(shù)情況下都是幾種方法的聯(lián)用，比如高考題第（1）小題就是應用了基底法和綜合法.總之，解決立體幾何問題把控的原則是：以綜合法為基礎，坐標法為主導，基底法為輔助.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 張健.關(guān)于空間向量法破解立體幾何線面角問題的探究：以2022年高考的立體幾何線面角問題為例［J］.數(shù)學教學通訊，2023（03）：80-82.

［4］ 劉海.例析利用基底法解立體幾何問題［J］.中學數(shù)學研究，2023（11）：58-59.

［5］ 故支云.對一道高考試題的多解探究［J］.中學數(shù)學教學參考，2019（09）：58-59.

［責任編輯：李 璟］