導數在圓錐曲線問題中的應用探究指導

［摘 要］ 開展導數在圓錐曲線問題中的應用教學至關重要，教師應注重針對不同問題類型進行思路分析，并構建相應的解題策略，同時結合具體實例進行深入強化. 研究者圍繞圓錐曲線的三大問題，開展導數應用教學，并提出相應的教學建議.

［關鍵詞］ 導數；圓錐曲線；應用；最值；切線

作者簡介：周佳琳（1996—），碩士研究生，中小學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.

導數是高中數學的核心知識點，常作為數學工具用于探究解析函數的極值、最值等問題，以及圓錐曲線問題.

應用探究

探究導數在圓錐曲線中的應用，具體步驟是：先構建函數模型，再利用導數來研究函數的性質，最后完成求解.

1. 最值與取值范圍問題

在探討圓錐曲線中的最值與取值范圍問題時，如果學生構建的數學模型過于復雜，以至于難以應用不等式法或函數法求解，那么可以考慮采用導數分析法. 即關注模型中的數式，以此為基礎構建函數，并引入導數知識來研究其性質，進而求解最值或取值范圍.

例1 設橢圓T：+=1（a>b>0），直線l（不與x軸重合）過橢圓的左焦點F，并與橢圓相交于P，Q兩點，左準線與x軸相交于點K，KF=2. 當l與x軸垂直時，PQ=.

（1）求橢圓T的方程；

（2）直線l繞著F旋轉，與圓O：x2+y2=5相交于A，B兩點，若AB∈［4，］，求△FPQ的面積S的取值范圍（F為橢圓T的右焦點）.

分析指導 本題以橢圓與直線相交為背景，構建了圓、三角形等特殊幾何圖形，并融入了旋轉相關知識，整體綜合性較強. 本題第（1）問求的是橢圓T的方程，較為簡單. 第（2）問探究的是三角形面積的取值范圍，需要構建一個面積模型，有一定難度. 在分析面積模型時，建議通過構建函數并運用導數來研究其性質，從而確定面積的取值范圍.

過程指導 （1）（簡答）橢圓T的方程為+=1.

（2）總體思路：先聯立方程，再構建面積模型，最后利用函數與導數知識完成求解.

第一步，聯立方程.

設直線l：x－my+1=0，圓心O到l的距離d=. 根據圓的性質可得AB=2=2. 又AB∈［4，］，故m2∈［0，3］. 聯立直線l與橢圓的方程，得x=my－1，+=1，整理得（2m2+3）y2－4my－4=0. 由韋達定理得y+y=，yy=.

第二步，構建面積模型.

設直線與橢圓的交點為P（x，y），Q（x，y），構建△FPQ的面積模型，得S=FF·y－y=y－y==.令t=m2+1∈［1，4］，則S=.

第三步，構建函數，導數解析.

針對上述面積模型，可以構建一個函數來表示其中的分母部分. 即設f（t）=4t+，t∈［1，4］，其對應的導函數f′（t）=4－=>0（t∈［1，4］）恒成立，所以函數f（t）=4t+在區間［1，4］上單調遞增. 所以，f（t）=4t+∈5，. 所以，S∈，.

評析與反思 上述展示的是運用導數求解圓錐曲線中的取值范圍問題的“三步法”. 在這一過程中，函數和導數的應用主要集中在最后一步. 具體來說，先通過建立面積模型來構造局部函數，然后利用導數分析該函數的性質，最后確定取值范圍.

對于學生而言，需要關注兩點：一是函數的構建——可整體構建，也可局部構建；二是函數的性質——應用分類討論思想，明確函數的性質.

2. 切線問題

圓錐曲線中的切線問題十分常見，傳統方法為解析法，即設定切點，求出切線斜率后構建方程，但該過程較為復雜. 實際上，可以利用導數知識直接求出切線方程. 教師可以拋物線的切線方程為例，指導學生掌握以下求解思路.

求過拋物線E：x2=2py（p>0）上一點P（x，y）的切線方程，可以將拋物線方程視為關于x的二次函數，對其進行求導后，再代入切點坐標推得切線的斜率，最后利用點斜式構建切線方程.

例2 若點Q是直線y=x－4上任意一點，過點Q作拋物線C：x2=4y的兩切線QA，QB，其中A，B為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該定點的坐標.

分析指導 本題證明直線AB恒過一定點，并求出該定點的坐標，關鍵是求出切線QA，QB的方程. 可以利用導數的相關知識，直接構建切線方程.

過程指導 先求切線方程，再分析定點.

第一步，推導切線方程.

對函數y=x2求導，得y′=x. 設切點為（x，y），則過該切點的切線的斜率為x，所以切線方程為y－y=x（x－x）=xx－x=xx－2y，即xx－2y－2y=0. 設點Q（t，t－4），由于切線經過點Q，所以tx－2y－2（t－4）=0.

設A（x，y），B（x，y），則兩切線的方程分別為tx－2y－2（t－4）=0，tx－2y－2（t－4）=0，

第二步，分析定點.

根據兩切線方程可知，過A，B兩點的直線方程是tx－2y－2（t－4）=0，即t（x－2）+8－2y=0. 分析該式可知，當x=2，y=4時，方程恒成立，從而確定對任意實數t，直線AB恒過定點（2，4）.

評析與反思 上述展示的是運用導數求解切線方程的過程. 具體而言，先將曲線方程視為關于x的函數，然后對其求導以確定切線的斜率，最后據此確定切線的方程.

教師可以引導學生總結常見的圓錐曲線的切線方程，例如過雙曲線-=1（a＞0，b＞0）上一點P（x，y）的切線方程為－=1，過橢圓+=1（a＞0，b＞0）上一點P（x，y）的切線方程為+=1. 學生可以直接利用上述結論來解題，從而提高解題效率.

3. 極點與極線問題

極線是高等幾何中的重要概念，它是圓錐曲線的一種基本特征. 學生先要明晰概念，再總結用導數破解極點與極線問題的思路.

對于圓x2+y2=r2，與點（x，y）對應的極線方程為xx+yy=r2. 若點（x，y）在圓上，則極線方程就是切線方程；若點（x，y）在圓外，則極線方程就是切點弦方程.

利用導數的幾何意義可以探求與極點和極線相關的定值問題. 這種方法適用于A是圓錐曲線C上的定點，E，F是圓錐曲線C上的兩個動點的情形.

例3 如圖1所示，已知E，F是橢圓+=1上的兩個動點，A1，是橢圓上的定點，如果直線AE與AF關于直線x=1對稱，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

分析指導 本題為與橢圓和直線相關的斜率定值探究題，解決此類問題有兩種方法：一是傳統的解析法；二是特殊的導數法. 解析法先聯立方程，然后根據斜率定義進行推導；導數法則利用導數知識直接推導. 在教學中，教師可將這兩種方法都展示出來，指導學生進行分析與對比.

解析法 因為直線AE與AF關于直線x=1對稱，所以直線AE與AF的斜率互為相反數. 設直線AE的方程為y=k（x－1）+，則直線AF的方程為y=－k（x－1）+. 聯立直線AE與橢圓的方程，整理可得（3+4k2）x2+4k（3－2k）x+4－k－12=0.

設E（x，y），F（x，y），注意x=1是上述方程的一個根，結合韋達定理可得x=. 同理可得x=. 所以，k==. 將x和x的值代入上式，可得k=.

導數法 分析可知，當直線AE與AF的傾斜角均趨近于90°時，則直線EF的斜率就趨近于過A′1，－的切線的斜率. 對橢圓+=1中的x求導，得+=0. 將A′1，－代入上式，可得+=0，解得y′=，從而可直接確定所求的定值為.

評析與反思 上述展示的是用解析法與導數法探究直線過定點的過程. 顯然，傳統的解析法更復雜，涉及大量的運算，而導數法則直接觸及核心，簡潔明了. 在教學中，教師需要指導學生關注兩點：一是探討導數法在解題過程中的構建方式及其本質含義；二是通過對比解析法與導數法，直觀揭示兩種方法在思路方面的差異.

教學建議

上文概述了導數在圓錐曲線三大問題中的應用，并展示了探究方法的參考價值. 接下來，筆者提出一些教學建議.

建議1：挖掘知識本質

導數作為數學分析的重要工具，在解決圓錐曲線問題時展現了其兩大關鍵特性：一是能夠通過研究導數來深入探討函數曲線的變化特性；二是利用導數的幾何意義能夠建立斜率與切線之間的聯系. 教師應當指導學生深入探究這些知識的內在本質，并從本質上理解其應用的根源. 在學習過程中，學生需要關注教材的基礎內容，從基本定理和定義出發進行深入探討.

建議2：解讀應用思路

上述內容概括了三大題型中導數研究的方法和思路，整體上遵循“思路解讀→實例指導→評價反思”的流程展開. 其中，“思路解讀”應作為教學的重點，即在探究過程中，學生應聚焦問題的特性，梳理導數的應用技巧，并構建相應的解題策略. 在構建解題策略時，需要注意兩個關鍵點：一是解讀導數應用的知識基礎；二是深入分析問題，揭示其核心本質.

建議3：過程分步構建

指導實例時，教師應采取分步構建的策略，引導學生深入解讀問題，并明確每一步解析的關鍵點. 以例1的探究為例，探究過程可以分為三個階段：首先，聯立方程并進行整理；其次，構建面積模型；最后，研究導數的性質. 分步構建策略并非僅僅是對過程的簡單拆解，教師應引導學生深入分析問題，理解不同條件之間的內在聯系.

建議4：深度總結思考

研究案例時，教師需精心挑選具有代表性的題目，確保這些題目能夠清晰地展示解題方法的應用. 一旦構建了完整的過程，教師應進一步引導學生進行反思和總結，深入探討解決問題的細節，并歸納總結解題策略和經驗，以便更深刻地理解方法的應用過程. 在必要時，教師可以引導學生進行多種解法的探究，比較解析法與導數法的思路差異，直觀地感受導數法的優勢. 此外，教師應適時總結構建過程和解題技巧，以助于學生更好地應用和鞏固所學知識.

寫在最后

綜上所述，導數作為一種解題工具，對處理圓錐曲線問題具有重要作用. 在教學中，教師應注重問題的梳理和思路方法的總結，并通過具體實例來提供指導. 在探索解題方法時，建議教師以引導學生思考為主，確保學生能夠深入理解并掌握運用導數解決問題的基本策略. 此外，教師還應適時地融入數學思想，以此來培養學生的解題思維能力，并提高他們的數學素養.