問(wèn)題導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)探究式課堂構(gòu)建研究

［摘 要］ 問(wèn)題導(dǎo)向下的探究式教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生的學(xué)力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的意義. 研究者在“三角函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)中，從問(wèn)題情境、問(wèn)題串啟發(fā)等維度揭露了三角函數(shù)概念的本質(zhì)以及知識(shí)間的邏輯關(guān)系，踐行了深度學(xué)習(xí)理念，旨在幫助學(xué)生積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的認(rèn)知水平和核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 三角函數(shù)；問(wèn)題導(dǎo)向；探究教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：陳璐帆（1989—），中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

高中階段的數(shù)學(xué)課堂內(nèi)容多、難度大，部分教師為了追求教學(xué)容量，縮短了學(xué)生在課堂中的自主探索時(shí)間，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過(guò)程處于淺層次狀態(tài)，難以實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 問(wèn)題導(dǎo)向下的探究式課堂教學(xué)可改變這一現(xiàn)狀，使學(xué)生在開放、有趣、梯度明確且具有啟發(fā)性的問(wèn)題引導(dǎo)下獲得豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而提升課堂學(xué)習(xí)效率，且加快數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展. “三角函數(shù)的概念”屬于基礎(chǔ)知識(shí)，其重要性不言而喻. 該如何借助問(wèn)題導(dǎo)向，提升探究效率，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？

學(xué)情分析

建構(gòu)主義理論認(rèn)為：新知構(gòu)建在舊知的基礎(chǔ)之上. 課堂教學(xué)之前，探明學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)至關(guān)重要. 學(xué)生在平面幾何的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、相似等內(nèi)容，對(duì)不同種類的函數(shù)也有所認(rèn)識(shí)，初步掌握了探索函數(shù)的一般方法. 同時(shí)，關(guān)于周期現(xiàn)象，在其他學(xué)科中也有所接觸，如地理學(xué)科中的潮漲潮落、季節(jié)更替，物理學(xué)科中的交變電流、圓周運(yùn)動(dòng)等. 這些內(nèi)容均可作為學(xué)生本節(jié)課學(xué)習(xí)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ). 由此可見，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)相當(dāng)豐富，教師可在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生共鳴，促進(jìn)教學(xué)進(jìn)程.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 借助情境，提出問(wèn)題

問(wèn)題1 古詩(shī)云：“離離原上草，一歲一枯榮.”我們稱自然界中以一定規(guī)律呈現(xiàn)的現(xiàn)象為周期現(xiàn)象，請(qǐng)大家結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)一說(shuō)你所知道的哪些運(yùn)動(dòng)具備“周期性”特征.

在這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)下，學(xué)生提出了許多生活中的“周期現(xiàn)象”，如“日出日落三百六，周而復(fù)始從頭來(lái)”等.

設(shè)計(jì)意圖 利用學(xué)生耳熟能詳?shù)墓旁?shī)詞作為情境素材，不僅能夠縮短學(xué)生與教學(xué)內(nèi)容之間的距離，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，還能夠有效地滲透數(shù)學(xué)文化，為引出教學(xué)主題奠定基礎(chǔ).

2. 問(wèn)題啟發(fā)，抽象概念

問(wèn)題2 通過(guò)之前的學(xué)習(xí)，大家都知道函數(shù)屬于一種描述客觀世界變化規(guī)律的模型，例如用一次函數(shù)模型對(duì)勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，用二次函數(shù)模型對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等模型對(duì)指數(shù)爆炸現(xiàn)象進(jìn)行描述. 那么，對(duì)圖1所示的周期勻速圓周運(yùn)動(dòng)的描述，可用哪種函數(shù)模型呢？

為了幫助學(xué)生構(gòu)建思維的“腳手架”，教師精心設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題串，旨在激發(fā)學(xué)生思考，并引導(dǎo)他們找到清晰的思考路徑，為深入探究問(wèn)題核心打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

問(wèn)題串1：結(jié)合過(guò)往探索函數(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該從何處著手來(lái)探索這個(gè)問(wèn)題呢？

問(wèn)題串2：（用幾何畫板展示圖2）觀察并分析點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在哪些變量.

問(wèn)題串3：思考各個(gè)變量之間的聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖 此問(wèn)揭露了本節(jié)課的探索主題，并借助問(wèn)題串為學(xué)生思考指明了方向. 此問(wèn)及其問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生從研究背景出發(fā)，通過(guò)探索變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，給自主掌握相應(yīng)的定義與性質(zhì)打下了基礎(chǔ).

問(wèn)題3 角α的值是不明確的，結(jié)合現(xiàn)有的探索經(jīng)驗(yàn)，接下來(lái)該怎么辦呢？

面對(duì)這一問(wèn)題，許多學(xué)生顯得困惑不解. 此時(shí)，教師繼續(xù)利用問(wèn)題串來(lái)引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考.

問(wèn)題串1：如圖3所示，若角α為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？

問(wèn)題串2：探索點(diǎn)P的坐標(biāo)，涉及哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

問(wèn)題串3：具體的探索步驟是怎樣的？點(diǎn)P具有唯一性嗎？

問(wèn)題串4：嘗試根據(jù)以上探索方法分別獲得α=，α=時(shí)（見圖4、圖5），點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖 以學(xué)生的認(rèn)知為探索的基礎(chǔ)，以特殊角為起點(diǎn)進(jìn)行探討與分析，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)角α建立平面直角坐標(biāo)系，明確點(diǎn)P的坐標(biāo)，此為化繁為簡(jiǎn)的過(guò)程，一方面符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，另一方面凸顯了探究式課堂教學(xué)的循序漸進(jìn)的特征.

問(wèn)題4 若角α為一個(gè)任意角，其終邊OP和單位圓相交于點(diǎn)P，從中可以發(fā)現(xiàn)什么？

問(wèn)題串1：當(dāng)角α為任意角時(shí)，其終邊與單位圓的交點(diǎn)具有唯一性嗎？

問(wèn)題串2：任意角α與點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)關(guān)系該怎樣刻畫？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)相關(guān)嗎？

問(wèn)題串3：怎樣為這類函數(shù)命名更合理？

問(wèn)題串4：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值是不是角α的函數(shù)值？

問(wèn)題串5：如何用符號(hào)描述三角函數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖 此過(guò)程不僅讓學(xué)生明晰了任意角與單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，還讓學(xué)生感知到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，獲得了用數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述事物的能力，有效促進(jìn)了數(shù)學(xué)抽象與建模能力的提升.

3. 深入探索，內(nèi)化新知

問(wèn)題5 嘗試自主描述什么是三角函數(shù)，何為三角函數(shù)的定義域與值域.

問(wèn)題串1：分別說(shuō)一說(shuō)什么是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù).

問(wèn)題串2：為什么正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域均為R，而正切函數(shù)的定義域?yàn)閤x≠+kπ，k∈Z呢？

問(wèn)題串3：分析三角函數(shù)值在對(duì)應(yīng)的定義域內(nèi)是否具有唯一性.

問(wèn)題串4：分別說(shuō)一說(shuō)三角函數(shù)中的各個(gè)符號(hào)所表達(dá)的意義.

設(shè)計(jì)意圖 三角函數(shù)概念的抽象，促使學(xué)生自主探索三角函數(shù)的“三要素”，從而基于三角函數(shù)的內(nèi)涵與本質(zhì)，深入理解其意義. 學(xué)生基于自身現(xiàn)有的知識(shí)體系，不僅深化了對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)實(shí)際含義的理解，還提煉出了數(shù)形結(jié)合和歸納類比等思想方法，有效地培養(yǎng)了數(shù)學(xué)邏輯推理能力.

問(wèn)題6 說(shuō)一說(shuō)任意角三角函數(shù)和銳角三角函數(shù)之間存在怎樣的關(guān)系.

問(wèn)題串1：何為銳角三角函數(shù)？其自變量與函數(shù)值分別是什么？

問(wèn)題串2：若α∈0，，該如何獲得sinα的值？

問(wèn)題串3：根據(jù)三角函數(shù)的概念，可怎樣獲得sinα的值？

問(wèn)題串4：不同方法獲得的正弦值一樣嗎？

問(wèn)題串5：正切函數(shù)和余弦函數(shù)是否存在與以上一樣的情況？

問(wèn)題串6：已知任意角三角函數(shù)值可為負(fù)數(shù)，而銳角三角函數(shù)值為正數(shù)，那么三角函數(shù)值為負(fù)數(shù)時(shí)具備什么特殊含義嗎？

設(shè)計(jì)意圖 新舊知識(shí)的深度融合不僅讓學(xué)生進(jìn)一步理解了銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)之間的聯(lián)系，還有效培育了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，促使學(xué)生感知三角函數(shù)值為負(fù)數(shù)時(shí)所具備的現(xiàn)實(shí)意義，為后續(xù)的靈活應(yīng)用打下了基礎(chǔ).

4. 新知應(yīng)用，夯實(shí)基礎(chǔ)

問(wèn)題7 如圖6所示，請(qǐng)分別求出的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值.

為了啟發(fā)學(xué)生的思維，教師在學(xué)生自主探索過(guò)程中又提出了以下幾個(gè)問(wèn)題供學(xué)生思考：①的終邊位于何處？②如何獲得點(diǎn)P的坐標(biāo)？③由概念出發(fā)，總結(jié)探索三角函數(shù)值的基本步驟.

在上述問(wèn)題串的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅獨(dú)立解決了問(wèn)題，而且求出了，0，π，的三角函數(shù)值.

設(shè)計(jì)意圖 深入探究實(shí)際問(wèn)題進(jìn)一步驗(yàn)證并加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)概念的理解及應(yīng)用技巧. 通過(guò)總結(jié)探索方法，學(xué)生得以整理思維過(guò)程，為構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維打下了基礎(chǔ).

問(wèn)題8 若α為任意角，點(diǎn)P（x，y）為其終邊上與原點(diǎn)O不重合的任意點(diǎn)，且PO=r，請(qǐng)分別求證：sinα=，cosα=，tanα=.

例題：若點(diǎn)P（－12，5）位于角θ的終邊上，則角θ的三個(gè)三角函數(shù)值分別是多少？

拓展：已知圓C的圓心位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)上，半徑r=2，若點(diǎn)P（0，2）由其位置開始在圓C上以 rad/s的速度進(jìn)行逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)3 s后抵達(dá)點(diǎn)P′處，求點(diǎn)P′的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖 例題的拓展應(yīng)用鼓勵(lì)學(xué)生深入辨析三角函數(shù)的概念，并對(duì)單位圓與角的終邊的交點(diǎn)坐標(biāo)有更深刻的理解. 這一環(huán)節(jié)不僅能夠促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，還能夠幫助他們明晰三角函數(shù)的概念，并拓展其應(yīng)用范圍，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方法.

5. 總結(jié)提煉，感悟反思

鼓勵(lì)學(xué)生分享本節(jié)課的成果、感悟和體會(huì)，特別注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)、思維方法和模型的提煉. 隨著交流的深入，學(xué)生將本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容整理成圖7.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于概念課總結(jié)環(huán)節(jié)異常重要，它能幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理整個(gè)教學(xué)流程，鞏固知識(shí)基礎(chǔ). 在問(wèn)題的導(dǎo)向下，學(xué)生基于知識(shí)、方法與思想等層面進(jìn)行梳理與總結(jié)，不僅能培養(yǎng)結(jié)構(gòu)性思維，還能增強(qiáng)整理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

感悟與思考

1. 親歷過(guò)程是探究式課堂的基礎(chǔ)

在傳統(tǒng)的教學(xué)實(shí)踐中，概念的傳授往往采取的是一種簡(jiǎn)單直接的“注入式”方法，這導(dǎo)致許多學(xué)生雖然能夠流暢地復(fù)述概念，但將這些概念應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)卻顯得力不從心. 本節(jié)課并未直接向?qū)W生灌輸三角函數(shù)的概念，而是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生親歷概念的構(gòu)建和演進(jìn)過(guò)程，借助單位圓工具，幫助學(xué)生理解角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)與三角函數(shù)之間的關(guān)系. 這種方法能激勵(lì)學(xué)生自主歸納出相應(yīng)的概念，有效地提升他們的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，并幫助他們提煉多種數(shù)學(xué)思想方法，從而真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

2. 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是探究式課堂的關(guān)鍵

在課堂上，每個(gè)問(wèn)題都可能對(duì)學(xué)生發(fā)揮出“四兩撥千斤”的效果. 新知是建立在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)之上的. 面對(duì)新問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常感到無(wú)從下手. 然而，通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，可以引導(dǎo)學(xué)生從較低的起點(diǎn)開始，將未知轉(zhuǎn)化為已知. 例如，本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況共設(shè)計(jì)了8個(gè)問(wèn)題，并為每個(gè)問(wèn)題提供了相應(yīng)的問(wèn)題串. 這使得學(xué)生能夠在自主探索和交流的過(guò)程中，逐漸抽象出概念，理解并內(nèi)化這些概念，最終靈活地應(yīng)用它們. 因此，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是推動(dòng)探究式課堂發(fā)展的關(guān)鍵，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生思維和學(xué)習(xí)能力的發(fā)展具有重要的價(jià)值.

3. 發(fā)展學(xué)力是探究式課堂的目標(biāo)

在新課程改革的背景下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)不僅僅是構(gòu)建新知，更重要的是促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 在本節(jié)課中，每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的問(wèn)題設(shè)計(jì)都體現(xiàn)了層次性、開放性和探究性. 在這些問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅鞏固了已有的知識(shí)基礎(chǔ)，還構(gòu)建了新的知識(shí)體系. 通過(guò)對(duì)問(wèn)題的深入探究，學(xué)生不僅培養(yǎng)了出色的數(shù)學(xué)抽象能力，還提煉出了從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法. 特別是在總結(jié)環(huán)節(jié)，知識(shí)與方法的整合提煉，充分展現(xiàn)了學(xué)生能力的提升.

總之，在新課程與新高考的背景下，教師需特別注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而以問(wèn)題為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)探究式課堂的構(gòu)建是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵教學(xué)方法之一. 因此，教師應(yīng)在深入理解學(xué)情的前提下，通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題和開展探究活動(dòng)，持續(xù)激發(fā)學(xué)生的智力潛能和非智力品質(zhì)，確保數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí).