關于圓錐曲線探究性問題破解的教學指導

［摘 要］ 對于圓錐曲線探究性問題的教學，研究者建議從構建問題的形式和知識內容的角度入手，引導學生整合解題策略. 在實例指導環節中，關注學生的思維活動，引導學生依照解題策略逐步構建思路，并總結方法經驗. 文章按照“問題探索—策略解讀—實例指導”的流程開展教學探究.

［關鍵詞］ 圓錐曲線；探究性；模型；教學指導

作者簡介：余建平（1970—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲杭州市教壇新秀、淳安縣數學名師等榮譽.

問題探索

圓錐曲線中的探究性問題較為常見，從主體內容來看，主要有兩類：一是探索證明直線與曲線的數量關系，如相等或不相等；二是探索證明點、直線、曲線等幾何元素的位置關系，如直線與曲線相切，直線過定點等.

探究性問題的解析突破，核心方法是根據直線與曲線的性質、位置關系等先探索分析，再通過代數計算來確定結論. 圓錐曲線探究性問題的解析過程充分體現了轉化與化歸思想，即先對已知條件進行轉化與化歸，構建條件與結論之間的聯系，再確定后續的解析思路.

對于圓錐曲線探究性問題的教學，建議設置探究專題，探索解題模型，生成相應的解題模板，并結合實例進行解題指導. 在解題指導過程中，建議根據不同題型，引導學生的思維發展，總結解題經驗.

策略解讀

對于圓錐曲線探究性問題，常設定問題條件，探索結論是否成立，對于該類問題可以采用一定的方法策略，根據題設條件來構建思路，下面針對常見的情形總結方法.

1. 注意事項

對于圓錐曲線探索性問題，建議采用“先假設，再驗證”的解析思路，即先假設結論成立或存在，再推導滿足條件的結論. 若最終推導正確，則假設成立；若推導出現互斥或相悖，則假設不成立. 需要注意以下三點：

（1）當條件與結論不唯一時，注意分類討論；

（2）若給出了結論，需要推導其存在的條件，則可先假設結論成立，再推導條件；

（3）若探究性問題的結論與條件均未知，此情形難以用常規方法求解，則需要開放思維，使用特殊方法，如特殊值法求解.

2. 解題步驟

對于圓錐曲線探索性問題，常規的破解思路為“肯定順推”，即需要將不確定的問題明確化，通常分為三個步驟.

第一步，假設存在滿足條件的元素，如常數、點、直線或曲線，再引入參變量；

第二步，整合題設條件，列出關于參變量的方程或不等式；

第三步，解析方程或不等式，若滿足條件，則結論成立；若不滿足條件或無解，則結論不成立.

實例指導

開展圓錐曲線探究性問題破解指導，需要根據問題類型來確定具體思路. 整個過程按照上述總結的解題策略，分步構建，逐步探究.

1. 探究點的存在

例1 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左頂點為A，右焦點為F（2，0），點B（2，－）在橢圓C上，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如果直線y＝kx（k≠0）與橢圓C相交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸相交于點M，N. 探究：在x軸上，是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

思路指導 本題第（2）問是一個與點的位置相關的探究性問題，其背景是橢圓與直線相交，旨在探索是否存在點P使得∠MPN始終為直角. 根據上述總結的解題策略，建議指導學生按照“肯定順推”的思路去破解.

對于問題所提的核心要求——∠MPN始終為直角，可以從向量的角度進行構建，即∠MPN=90°？圯·=0，從而將幾何問題轉換為代數問題，再判斷實數k對結論是否有影響.

過程構建 （1）橢圓C的方程為+=1.

（2）根據上述思路分析可知，整個過程分為三個步驟.

第一步，假設存在滿足條件的點P，設點P（x，0），E（x，y），x＞0，則F（－x，－y）.

第二步，若∠MPN為直角，則·=0. 聯立直線EF與橢圓的方程，得+=1，y=kx.除去y，并整理得（1+2k2）·x2－8=0，解得x=，則y=. 又點A（－2，0），所以直線AE的方程為y=（x+2）. 所以點M0，. 同理可得點N0，. 所以，=－x，，=－x，. 因為·=0，所以－x，·－x，=0，整理得x－4=0.

第三步，解方程x－4=0，得x=2或x=－2. 分析其滿足條件，所以存在點P使得無論非零實數k怎樣變化，總有∠MPN為直角，點P的坐標為（2， 0），（-2，0）.

解后思考 上述過程探究的是點的存在性，采用的是“肯定順推”的思路，即先假設其存在，然后進行推導和驗證. 整個過程分為三個步驟，核心步驟為幾何條件的向量化，具體來說，即∠MPN=90°？圯·=0. 在教學過程中，教師應注重引導學生歸納總結幾何條件的向量化或代數化的表達方式.

2. 探究參數取值

例2 已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點為F，F，離心率為，又知拋物線x2=4y在點P（2，1）處的切線恰好經過橢圓C的一個焦點，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點M（－4，0），斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A，B兩點，直線AF，BF的斜率分別為k，k. 探索：是否存在常數λ，使得kk＋kk＝λkk？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

思路指導 本題第（2）問是與斜率相關的參數探究性問題，探索是否存在常數λ，使得kk＋kk＝λkk. 問題的背景是橢圓與直線相交，關鍵在于斜率的計算與構建. 突破思路為“肯定順推”.

過程構建 （1）先求出拋物線在點P處的切線方程為y=x-1，顯然經過x軸上的點（1，0），所以橢圓C的一個焦點為（1，0），可得c=1；再結合橢圓的離心率求得a=，b=1. 所以，橢圓C的方程為+y2=1.

（2）根據上述思路分析可知，整個過程分為三個步驟.

第一步，假設存在滿足條件的常數λ，設A（x，y），B（x，y），直線l的方程為y=k（x+4）.

第二步，聯立直線l與橢圓的方程，得y=k（x+4），+y2=1.除去y，并整理得（1+2k2）x2+16k2x+32k2－2=0. 根據題設條件可得Δ>0，x+x=－，xx=.又F（-1，0），k=，k=，所以+=·+.

第三步，整體代換變形，即+==，所以kk＋kk＝kk. 所以，存在滿足條件的常數λ=.

解后思考 上述求解核心在于整體代換變形. 在處理斜率問題時，必須掌握用直線與曲線的交點坐標來構建斜率的方法和技巧. 這類問題對學生的計算能力提出了較高的要求，同時也使得在代數式的變形過程中，合理運用整體代換和參數引入等方法和技巧變得至關重要.

教學建議

圓錐曲線探究性問題的教學指導應當注重問題的特點，從綜合知識的角度深入分析，合理分類，并引導學生總結解題策略，形成解題模板. 針對整個教學過程，筆者提出以下幾點建議.

1. 確定常見類型，解讀問題特點

圓錐曲線探究性問題十分常見，建議在教學指導時對問題進行分類，并靈活調整分類標準. 例如，直線與曲線結合的背景，結論的類型和核心條件的類型等. 在此基礎上，深入解讀問題，引導學生關注探索性問題的破解思路，即構建直線與曲線的位置關系，確定需要探索的條件，如點存在、參數存在，以及線段之間的關系等. 在教學中，需要引導學生關注兩點：一是探究性問題的構建形式；二探究性問題的核心知識點.

2. 明晰解題思路，生成解題模板

解題教學的核心任務為：引導學生洞察問題本質，明確解題的策略與方法，構建解題步驟. 因此，在教學中，應當致力于探索解題模型的思路，引導學生深入分析問題的特征，細致拆解問題的結構. 這樣，學生就能清晰地理解“肯定順推”的基本思路，并能從設定條件、轉化構建方程、推導結論這三個核心層面來建立解題思路. 同時，還需要深入解讀這三個核心層面，包括注意事項、轉化策略和分析流程.

3. 解題思路引導，整體素養提升

圓錐曲線探究性問題對學生的整體能力提出了較高的要求，教學中必須培養學生的解題思維，包括分析過程、選擇方法、運算轉換、判斷結論等. 以上述探究過程為例，解題分三步完成：第一步，讀題審題，把握位置關系；第二步，根據問題條件，選擇解題方法；第三步，提煉核心條件，并轉化構建. 實際上，解題過程也是整合思想方法的過程，涉及數形結合、轉化與化歸、分類討論、數學運算、邏輯推理等. 因此，在解題指導中，教師要注重數學思想方法的融入，引導學生通過領悟和體會，提升綜合素質.

寫在最后

在圓錐曲線探究性問題的教學中，引導學生深入解讀問題的特點，探索其基本的構建形式，從而生成對應的解題策略. 在解題指導環節中，針對具體問題，引導學生分步探究，并適時總結和思考，從而培養他們的解題思維.