理性分析錯因 避免“一錯再錯”

［摘 要］ 解題中出現錯誤是無法避免的，教師應學會尊重錯誤、寬容錯誤和利用錯誤. 在教學中，教師應引導學生分析錯因，認清錯誤的本質，充分挖掘錯誤背后的價值，通過對錯誤資源合理開發與利用有效避免或減少錯誤的再次發生.

［關鍵詞］ 解題；錯誤；解題效率

作者簡介：張兵（1985—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

眾所周知，學習與錯誤相伴而行，因此在學生學習過程中教師與學生都要正確地、客觀地對待錯誤［1］. 但是真正能夠做到理性客觀對待錯誤的教師并不多見，其中一個重要原因就是教師的教學往往帶有顯著的功利性，期待學生能夠一學就會，能夠迅速運用所學知識去解題. 但學生的學習過程是復雜的，在學習過程中不出錯是不可能的. 一位理性的教師，應該以理性的眼光審視學生犯錯的原因，并進行深入分析. 他們不會期望學生一學即會，而是更注重引導學生在學習過程中避免重復犯錯. 筆者以為這才是科學理性的教學態度，才是面對學生錯誤時應有的教學心態.

站在學生的角度來看，在學習過程中出現了錯誤，會下意識地分析錯因，只不過很多時候，多數學生會將錯因歸結為“粗心大意”，那么這個是真正的錯因嗎？其實，對于不同的學生，其學習能力、思維方式、解題習慣等有所不同，因此產生錯誤的原因往往也會有所不同. 在解題中，只有找到真正的錯因，才能通過有效的修補減少或避免錯誤的再次發生. 那么，常見錯誤的成因有哪些？如何分析錯因，尋求有效的解決策略呢？筆者結合教學實例談一談幾點自己的認識，若有不足，請指正.

錯因分析

由于個體差異，對于同樣的錯誤，其產生的原因會有所區別. 錯誤是無法避免的，但是對待錯誤的態度將直接影響著后期的學習. 在教學中，教師既要給予科學的指導，又要引導學生進行自我反思，以此提高學生自我糾錯能力，發展學生數學素養［2］. 分析錯誤的原因，實際上是培養學生學習能力的良機. 由于每次錯誤背后都有其特定的原因——有些錯誤源于理解能力的不足，有些錯誤源于個人經驗與數學規律未能有效結合，還有些錯誤源于對之前所學知識的掌握不夠深入……因此，從這個角度來看，對錯誤原因的分類分析，不僅與學生的學習成果緊密相關，也深刻影響著學習過程；它不僅關聯著學生對知識的掌握程度，還關系到學習能力的培養. 對錯誤原因的剖析是學生鞏固知識、塑造學習能力的關鍵基礎. 下面筆者結合自己的教學經驗對五種錯誤類型進行分析與闡述.

1. 概念模糊不清

高中課程涉及眾多概念，這些概念之間存在著內在聯系. 如果學生對這些概念的理解不夠深入，他們在解答問題時往往會因為概念的誤用或過度使用而丟分. 因此，在解題教學中，教師要突出概念的重要性，讓學生準確地把握概念，靈活應用概念解決問題.

例1 已知非零向量a=（x，2x），b=（－3x，2）. 若a，b的夾角為鈍角，求實數x的取值范圍.

錯解 因為a，b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即x·（－3x）+2x·2<0，解得x∈（－∞，0）∪，+∞.

分析 上述錯誤是學生對向量夾角概念的理解不到位，忽略了夾角的范圍所導致的. 向量的夾角θ∈［0，π］，所以a·b>0或a·b<0并不等價于夾角為銳角或鈍角. 從夾角θ的范圍去思考，應當排除θ=π的情形，故正解是－∞，－∪－，0∪，+∞.

評注 在日常的概念教學中，教師應當引導學生密切關注教學的細節部分，鼓勵他們積極參與概念的構建，深入理解概念的內涵與外延，并掌握其核心本質，從而有效地降低錯誤發生的概率.

2. 審題能力不強

審題是解題的第一步，也是關鍵的一步. 在審題時，既要讀懂顯性條件，又要充分挖掘隱含的信息，以便通過合理的整合，找到解決問題的突破口［3］. 然而，在實際教學中，許多學生往往粗略地閱讀題目后便急于開始解答. 由于思考不全面導致解題過程中斷，這不僅影響了解題效率，也削弱了解題信心. 因此，在日常教學中，教師要重視學生審題能力的培養，引導他們形成良好的閱讀和分析習慣，從而提升他們的審題技巧.

例2 數列a的前n項和為S，若a=1，a=3S，則a=______.

錯解 由a=3S可得a=3S，兩式作差得a=4a，結合等比數列的通項公式可得a=256.

分析 由a=3S得a=3S，需要滿足n>1這一條件. 由于學生對基礎知識的掌握不牢，導致他們對隱性條件的理解不清，因此在分析問題時忽視了n>1這一條件. 在解題過程中，雖然得到了a=4a，但是要在n≥2時才能滿足，故a=aq3，得其正解為3·43，即192.

評注 在解題時，常常會因為忽略隱含條件而導致錯誤的發生. 例如，在探討圓錐曲線與直線的交點問題時，學生在運用方程思想方法求解過程中，容易忽略Δ≥0這一條件；又例如，在解決函數問題時，常常會忽略定義域的取值范圍. 等等. 實際上，在解決問題的過程中，這類錯誤時常出現. 因此，在評講時，教師應當充分展現學生的思維過程，并引導他們自我糾正，以此培養他們縝密的思維習慣.

3. 運算能力薄弱

運算能力是學生必須掌握的基本技能，然而在解題過程中發現，學生常因解題方式選擇不當、化簡運算粗心等而造成解題中斷或解題錯誤. 出現這一現象的原因與教師的“教”和學生的“學”息息相關. 為了充分利用課堂時間，教師往往主導課堂，很少預留時間讓學生獨立計算練習. 在構建解題策略之后，部分教師直接向學生透露答案，隨后轉向下一題. 這樣的做法不僅無法有效地提升學生的計算能力，反而可能導致學生形成計算不重要的誤解，妨礙他們提高計算能力. 學生經常通過專項運算練習來提升自己的計算能力，然而，這種方法往往只會加劇他們對數學枯燥無味的感受，并未帶來其他實質性的效果. 為了提升學生的運算能力，應當將運算融入到實際的解題情境中，引導學生明確運算目標、設計運算流程、優化運算策略等. 此外，在課堂教學中，教師應安排充足的時間，讓學生能夠完整地完成題目，從而親身體驗運算在解題過程中的重要性.

4. 分類討論能力不足

在解答問題時，采用分類討論思想方法尤為重要. 恰當的分類討論能夠有效降低問題的復雜性，揭示解題途徑，并顯著提高解題效率. 然而，在解答問題的過程中，學生常常會由于分類不當而導致錯誤.

例3 已知集合A=｛x0<ax+1≤5｝，集合B=x－<x≤2？搖. 若A∩B=A，則實數a的取值范圍是______.

分析 在解題過程中，一些學生忽略了對a的分類討論，直接求得－<x≤；另一些學生雖然分類了，但僅限于兩種情況——a>0和a<0，忽略了a=0；還有學生雖然考慮到了上述三種情況，卻誤認為集合A為空集，這導致他們的解答出現了錯誤. 僅有少數學生能夠準確地分類，但他們在分析區間端點的開閉性時出現了失誤，因此也沒有得到正確答案. 其實，例3就是一道標準的常規題，難度不大. 然而，由于學生在思考過程中缺乏嚴密性，未能掌握分類討論的核心要義，最終導致失敗.

評注 分類討論是一種重要的數學思想方法，其對某些問題的解決有著關鍵作用. 然而，許多學生在解決需要進行分類討論的問題時常常“丟三落四”，由于分類不明確，導致錯誤發生. 為了扭轉這一狀況，教師可以在教學過程中實施一系列專項訓練，強調“邏輯分類”的重要性. 通過這些訓練，學生在分類時能夠確保既不遺漏也不重復，從而培養出條理清晰且嚴謹的思維能力.

5. 邏輯推理能力弱

邏輯推理能力是學生認識數學知識、分析數學知識、應用數學知識所需要的重要能力. 在教學中，教師應重視學生邏輯推理能力的培養，引導學生認清問題的本質.

例4 設函數f（x）=ax2+bx，且－1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（－2）的取值范圍.

錯解 根據已知可得－1≤a－b≤2，2≤a+b≤4，解得≤a≤3，0≤b≤，所以f（－2）=4a－2b∈［－3，12］.

分析 在解決此類問題時，學生往往傾向于單獨求出a，b的取值范圍，然而應知道這兩者是相互制約的，不能滿足取值的“任意”性. 實際上，很容易驗證上述答案是否正確：若a=3，則1≤b≤2，此時4≤a+b≤5，顯然與已知條件不符. 求解本題時，可以將a+b，a－b看作一個整體，利用同向不等式運算確保求出的范圍不變化.

評注 數學是一門邏輯性極強的學科，其問題的解決過程通常環環相扣. 只有當學生擁有嚴密的思維和一定的邏輯推理能力時，他們才能找到正確的切入點，從而高效且準確地解決問題.

改進策略

理性地看待學生在學習和解題過程中所犯的錯誤，是幫助他們積累知識和提高能力的關鍵第一步. 隨后，更為關鍵的任務是尋找并實施有效的改進策略. 對學生來說，改進策略應當重視學生的解題習慣——許多教師認為解題習慣與智力無關，認為習慣僅源于日常的解題訓練，然而這種理解并不全面. 實際上，習慣反映了學生對自己解題過程的理解，以及影響學習的多種因素，因此，它是糾正學生學習錯誤的關鍵起點. 此外，教師還應重視培養學生良好的思維習慣和計算能力. 下面分別說明.

1. 規范解題過程

縱觀學生在解題過程中出現的錯誤，發現這些失誤源于學生未能培養出良好的解題習慣. 學生在解題時常常“跳步”，這導致由于解題過程缺乏規范性，從而出現錯誤套用公式或憑空臆測的情況. 因此，在日常教學中，教師應引導學生以清晰和規范的方式解答問題，確保每一步驟都有充分的依據，從而降低誤解的風險. 當然，規范的解題過程不僅需要關注書寫規范，還應當重視審題規范. 必須確保思路清晰、過程完整，以有效避免“會而不對”的情況發生.

教師幫助學生規范解題過程是一個需要理性看待的過程，規范解題過程一定不能成為規范解題的重復訓練，而這是日常教學中最容易出現的行為之一. 理性地引導學生規范解題過程，本質上是為了幫助學生理解解題過程中所蘊含的邏輯關系. 這要求學生將最能體現因果推理的環節清晰地表達出來，并確保表達的準確性，以確保言辭能夠充分傳達其意. 在學生形成這樣的認識后，引導他們審視自己不規范的解題步驟，識別出哪些部分是不必要的，并判斷還缺少哪些要素. 實踐表明，通過這種努力，學生通常能夠理解解題步驟的規范性，確保最終提交的解題過程符合既定的標準.

2. 培養思維習慣

通過分析上述錯誤原因，可以清晰地看到，學生在解題時出現的錯誤與其思維習慣緊密相關. 由于學生的思維缺乏必要的嚴謹性、深度和靈活性，導致他們雖然理解了問題，卻無法有效地解決問題的情況. 在學習過程中，學生應當摒棄傳統的“接受式”思維方式，轉而采取積極主動的態度，多思考、多探究、多交流，養成“勤思善問”的好習慣，以此有效發展思維能力.

大量的教學經驗表明，學生在學習過程中很難形成良好的思維習慣，而這極大地制約了學生的數學學習效果，體現在解題過程中，就是解題方向確立不準，選用的知識工具雜亂無章. 在多數情況下，學生學習是被動的，他們很少意識到需要主動去培養自己的思維習慣，這使得提升學習能力變得相當困難. 因此，在培養學生思維習慣的過程中，教師必須采取精準的策略，給予學生充足的時間和空間去思考. 對于關鍵的題型或知識點，應確保學生進行適量的重復練習，以便鞏固必要的思維過程，進而培養出良好的思維習慣. 此外，必須特別指出，在培養學生思維習慣的過程中，教師應當容許學生犯錯，并引導他們理解錯誤的根源. 當學生真正理解了錯誤的原因，他們通常能明白如何努力可以獲得正確的邏輯思維，這同樣有助于塑造他們的思維習慣.

3. 做到理性運算

在解題過程中，要做到理性分析，切勿拿筆就算，唯有深思熟慮，方能尋得恰當的突破口，進而簡化計算流程，提高解題準確率. 在日常教學中，教師應重視引導學生展示其運算過程，以便通過有效的互動幫助學生澄清知識脈絡，并構建完整的知識體系. 相比之下，培養學生在運算過程中保持理性，實際上是在引導他們形成一種良好的運算態度. 許多學生存在一個誤解，他們認為解題過程中，掌握推理方法是至關重要的，只要足夠細心，就不會犯下運算錯誤. 教師必須引導學生樹立正確的認識，讓學生理解重視運算同樣至關重要. 這不僅僅是關乎細心的問題，而是關乎運算習慣和運算能力的問題. 只有當學生培養出良好的運算習慣和強大的運算能力時，才能確保解題時避免重復犯錯.

總之，在日常教學中，教師應正確對待錯誤，并巧妙地利用它們，深入挖掘錯誤所蘊含的潛在價值. 這樣，錯誤就能成為提升學生認知能力、培養學生綜合素養以及增強解題技巧的有力工具.

參考文獻：

［1］ 曹文慧. 有關高中數學課堂教學中“錯誤資源”的應用研究［J］. 語數外學習：高中版（下），2019（5）：46-46.

［2］ 茅建未.提高審題能力——高中數學高效解題的前提［J］. 數學教學通訊，2020（6）：57-58.

［3］ 錢怡. 著眼于優化解題教學的高三數學復習教學實踐研究［J］. 數學教學通訊，2021（24）：52-53.