發揮數學育人價值 促進核心素養發展

［摘 要］ 隨著新課程改革的深入推進，數學教學已從單純關注數學知識層面向更深層次拓展. 在教學中，教師應結合實際學情精心設計每一個教學環節，有效提升學生的學習體驗，激發學生的潛能，培養學生的優秀思維品質，發展學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 體驗；潛能；思維品質，學科素養

作者簡介：徐銀花（1991—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

眾所周知，教書最終是為了“育人”. 在教學中，教師不僅要讓學生掌握相關的知識、思想和方法，還要重視開發和豐富數學學科的育人資源，引導學生參與知識發生和發展的過程，幫助學生形成準確、嚴謹的表達能力，讓學生學會用數學眼光觀察，學會用數學思維思考，逐漸形成基本的數學素養［1］. 數學學科的育人價值是在日常教學中逐漸形成的，不過受“唯分論”的影響，部分教師只關注知識的傳授，忽視了數學教學的育人價值，導致數學教學偏離了正軌，對學生終身學習能力的培養產生了不利影響. 本文以“方程的根與函數的零點”教學為例，探討如何運用“問題導學”教學法，發揮數學課程的育人功能，提升學生的數學素養.

教學內容分析

本節課通過對二次函數圖象的研究，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，領會函數零點與相應方程的關系，理解函數零點的概念. 在教學中，通過由淺入深、由特殊到一般的逐層探索，引導學生理解并掌握數形結合、化歸與轉化等思想方法，從而提高他們的數學素養.

在學習本節課前，學生已經學習了初等函數的圖象和性質，能夠利用描點法畫出簡單函數的圖象，并能通過函數圖象研究函數的性質，這些知識、思想方法為研究函數零點奠定了基礎. 另外，學生對一元二次方程有著深刻的理解，這為探索函數的零點和方程的根的聯系創造了條件. 不過，學生對其他函數的圖象及性質，以及高次方程的理解尚顯生疏，對于函數連續性、定理可逆性等概念也感到陌生，因此引導學生理解函數零點存在定理是一個教學難點.

基于上述分析，考慮到學生的學情，可以推測，在學習過程中，學生能夠利用初等函數的圖象及性質，構建起對簡單函數的系統理解. 這一過程所蘊含的知識和思想方法，有望成為學生構建函數零點知識的堅實基礎. 在此過程中，學生能夠對函數零點的理解遷移到方程的根的概念上. 雖然對一些學生來說，這種遷移可能是自然而然的，但對大多數學生而言，可能需要適當的引導. 若能在學生解方程的過程中引導他們思考方程的根與相應的二次函數圖象之間的關系，便有可能使他們理解函數的零點與方程的根之間的關系. 這不僅有助于學生打通“數”與“形”的通道，還能在領悟數形結合思想的過程中構建知識并發展數學學科核心素養. 在教學中，教師應結合教學實際創設問題，并給予學生足夠的思考余地. 通過問題的引導，激發學生主動探索和思考，共同深入理解零點的概念以及零點存在定理.

教學過程概述

1. 結合舊知，引出新課

問題1 解下列方程：

（1）4x－3=0；

（2）x2－2x－3=0；

（3）－x3+2x+3=0；

（4）lnx+2x－6=0.

師生活動：學生先獨立求解，然后互動交流.

設計意圖 從學生熟悉的方程入手，通過舊知回顧為新知學習做好鋪墊. 對于前兩個方程，學生可以根據已有的解一元一次方程和一元二次方程的經驗順利解決問題，對于三次方程和超越方程，學生感覺不知所措，此時教師自然引出本節課主題. 在教學中，教師適當地介紹方程發展進程及歷史背景，讓學生認識到在數學發展歷史中，人們是基于怎樣的需要去研究方程的，以此通過滲透數學文化，激發學生的學習興趣，增強學生的民族自豪感，充分發揮數學文化的育人功能，提升教學質量.

問題2 畫出函數y=x2－2x－3的圖象，并說一說二次函數圖象與一元二次方程的根有怎樣的聯系？

師生活動：教師指導學生獨立繪制函數圖象，以便他們初步理解函數圖象與方程根之間的關系. 在此過程中，通過師生之間的互動交流，學生得以掌握函數零點的概念.

設計意圖 從學生熟悉的二次函數圖象出發，通過對比讓學生初步感知方程的根就是函數圖象與x軸交點的橫坐標，由此自然引出函數零點的概念. 該教學計劃與學生的認知發展相契合，能夠有效地激發學生參與課堂活動的熱情，并引導他們以聯系和發展的視角去審視問題. 實際上，本節課的教學核心之一在于揭示二次函數圖象與一元二次方程之間的聯系. 在缺乏引導的情況下，學生往往難以自行發現這一聯系. 通過筆者在教學實踐中的觀察和初步調研，發現僅有少數學生能夠認識到二次函數解析式的右側部分，若添加“=0”，則可以轉化為一元二次方程. 即便他們具備這樣的認識，通常也不會激發深入探究的意愿. 在這種情境下，通過上述設計，即引導學生繪制函數圖象，并明確引導他們思考二次函數圖象與一元二次方程根之間的聯系，學生便能在思考過程中逐漸揭示函數與方程之間的內在聯系，進而開啟更深入探究的可能性.

問題3 結合你的發現，你能求出函數f（x）=x（x2－16）的零點嗎？

師生活動：問題給出后，學生獨立求解，很多學生給出的答案為（－4，0），（0，0），（4，0），可見他們誤認為函數的零點是一個點. 基于此，教師及時地進行指導，強調函數的零點是實數.

設計意圖 該設計旨在引導學生深入探究“零點”概念，理解函數零點的本質，并在此基礎上，促進學生構建起函數圖象與方程之間的聯系. 應當說，通過設計讓學生探索零點，可以激發一種以學習任務為導向的效應. 在這種情境下，學生將深入研究“零點”，從而對函數圖象有更深刻的理解. 值得注意的是，在初學函數零點時，許多學生常常誤認為零點就是交點，這導致了理解上的偏差. 因此，教師應在易錯點上設計問題，充分利用錯誤作為資源，以深化學生對函數零點概念的理解. 當學生真正理解“零點”概念時，通常能夠構建起對函數零點與方程根之間關系的清晰認識，為后續學習打下堅實的基礎.

2. 合作交流，生成概念

問題4 根據下列函數圖象（圖1）分析，是否所有函數都有零點？

圖1

師生活動：學生根據函數圖象易于判斷，不是所有函數都有零點.

設計意圖 從學生熟悉的基本初等函數出發，通過直觀觀察進一步加深對函數零點概念的理解，明確不是所有函數都有零點，為研究函數零點存在定理做鋪墊.

問題5 什么情況下函數y=f（x）在區間［a，b］上一定存在零點？

該問題是本節課研究的重點，教師預留充足的時間讓學生思考，然后與學生共同交流.

生1：在區間［a，b］上，若函數圖象與x軸有交點，則該函數一定存在零點.

師：這是一個不錯的方法，但我們如何在不了解函數圖象的情況下進行判斷呢？（學生陷入迷茫）

師：我們先借助以下生活實例想一想，看看有什么發現.

情境：某地區凌晨4點的氣溫是零下8 ℃，到中午12點，溫度回升至零上6 ℃，12點以后，溫度逐漸下降，17點氣溫降至零上1 ℃，到晚上11點，氣溫降至零下5 ℃. 結合這個情境，請思考如下問題：

（1）從凌晨4點到中午12點，是否存在某個時刻，氣溫恰好是0 ℃？

教師先指導學生繪制溫度曲線圖，接著讓學生根據圖表進行回答. 通過這種方式，學生能夠輕松地觀察到：0 ℃的確存在.

（2）從凌晨4點到中午12點，每隔一小時記錄一次溫度，并將整點時刻的溫度數據填寫入表格. 那么，在這些整點時刻，溫度一定會是0 ℃嗎？

教師引導學生利用草圖和生活經驗進行分析，最終一致認為：0 ℃不一定存在.

設計意圖 將學生置于他們熟悉的生活情境中，逐步引導他們探索函數零點存在定理的條件，并在此過程中滲透連續性的概念. 在此過程中，教師應當為學生提供充足的時間，以便他們能夠自主地進行探索性學習. 同時，教師應重視并優化學生的學習體驗，積極鼓勵學生參與知識的構建過程. 這樣，學生便能更深入地理解所學內容.

師：為何在問題（1）中0 ℃一定存在，而在問題（2）中0 ℃卻不一定存在呢？你能否說說兩者的區別？

生2：由于氣溫是連續變化的，它會從零下8 ℃逐漸上升至零上6 ℃. 在這個過程中，必然會有一個時刻的氣溫恰好為0 ℃，而氣溫為0 ℃的時刻不一定是整點時刻. 因此，前者一定存在，后者不確定.

師：說得非常好！結合函數圖象，你能從函數的角度談談兩者的區別嗎？

生3：定義域不同，第一個函數是連續的，第二個函數是散點的.

師：分析得非常透徹. 我們把這種不斷開的函數稱為連續函數. 對于這類連續函數，當它從負值過渡到正值時，必然存在函數值為0的時候. 現在，讓我們回到問題5，談談你的想法.

教師鼓勵學生運用自己的話語來闡述函數零點存在定理，然后在此基礎上進行補充和完善. 通過這種師生之間的有效互動，成功攻克了本節課的核心難點——函數零點存在定理.

設計意圖 從學生的已有知識和生活經驗出發，讓學生通過互動交流歸納函數零點存在定理，培養學生的歸納概括能力，提升學生的數學抽象素養.

3. 思考辨析，理解概念

問題6 結合上述情境說一說，除了凌晨4點至中午12點這一時間段外，其他時間段是否也會出現0 ℃呢？

在學生通過函數圖象得出結論后，教師鼓勵他們運用函數零點存在定理進行進一步的驗證，從而培養學生運用該定理解決基礎問題的能力.

問題7 判斷下列命題是否正確，若不正確，請給出理由.

（1）若函數y=f（x）在區間［a，b］上是連續的，且f（a）·f（b）>0，則該函數一定存在零點.

（2）已知函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點，則f（a）·f（b）<0.

設計意圖 加深學生對函數零點存在定理適用范圍和條件等相關知識的理解，使他們明白函數零點存在定理的逆命題不一定成立，從而培養他們思維的嚴謹性，并提升他們的分析能力和數學表達能力. 綜上分析，學生的思維能力可以在“零點”的引導下，圍繞教師所設計的相關問題進行深入思考和任務解決. 這不僅能夠促使學生將所學的數學知識系統化、結構化，而且也表明學生對數學知識間的內在聯系有了更深刻的理解. 在這一學習過程中，學生數學學科核心素養的提升擁有廣闊的發展空間. 其中，最直接的體現便是邏輯推理素養的增強. 這不僅能夠加深學生對數學抽象概念的理解，還能幫助他們構建更為明確的模型認知.

4. 應用探索，深化概念

例1 求函數f（x）=lnx+2x－6零點的個數.

師生活動：教師指導學生以小組合作的方式，嘗試運用多種方法來解決問題. 根據小組間的交流和反饋，多數學生選擇圖象法來判斷函數零點的個數，但在求解零點坐標時遇到了障礙. 為此，教師借助幾何畫板，幫助學生繪制出函數圖象，使他們能夠直觀地判斷出該函數具有一個零點. 隨后，教師引導學生分析圖象法的利弊，并鼓勵他們運用函數零點存在定理來解決問題.

設計意圖 回顧課程開始時提出的問題，引導學生運用所學的新知識來解答，使他們深刻理解學習新知識的價值，并增強他們解決問題的信心與勇氣.

5. 歸納小結，升華認知

在這一環節，教師先引導學生對知識和思想方法進行歸納和總結，然后根據學生的實際反饋，對這些歸納和總結進行調整和完善，旨在優化學生的認知結構，并提升他們的抽象概括能力.

教學反思

數學是一門邏輯性和抽象性較強的學科，教學內容環環相扣，教師作為課堂教學的引導者，應認真研究教材內容和學生，結合學生已有的知識和經驗精心設計教學環節，充分發揮數學教學的育人功能，培養學生勇于探索、求真務實的思維品質.

在傳統教學中，部分教師傾向于直接向學生傳授知識，并通過大量練習來加以鞏固. 然而，這種講授與練習相結合的方法往往難以深入揭示問題的核心，同時可能抑制學生探究和創新技能的發展. 因此，在實際教學中，教師要改變傳統的講練模式，將探究的主動權交給學生，引導學生經歷知識發生和發展的過程，以此讓學生掌握知識的同時，提升學生的自學能力，發展學生的數學素養［2］. 要想真正培養學生的數學學科核心素養，核心在于改善他們的學習流程. 必須讓學生在學習過程中，以自己的主體性為核心，主動構建和運用知識. 這樣，才能有效地鞏固學生數學學科核心素養成長的根基.

總之，教師作為課堂教學的組織者，必須立足于教學實踐，精心策劃教學活動，并為學生提供積極參與知識構建的機會，成為學生成長旅程中的領航者，以促進學生的全面發展. ？搖

參考文獻：

［1］ 劉吉存. 基于數學核心素養的“再創造”數學概念教學：以“直線的傾斜角”教學為例［J］. 數學教學研究，2022，41（4）：40-43+62.

［2］ 陳小路. 混合式教學：促進數學深度學習——以“用二分法求方程的近似解”的教學設計為例［J］. 江蘇教育，2019（27）：64-66.