立足深度學習，培養批判性思維

［摘 要］ 利用深度學習理論培養學生的數學批判性思維，對于激發學生的創新意識具有獨特的優勢. 文章著重強調批判性思維與深度學習的重要性，并從六個方面詳細闡述教學設計與分析策略：溫故舊知，初步感知；創設情境，引入新課；構建概念，理解本質；練習訓練，鞏固概念；探索例題，深化理解；總結歸納，提煉升華.

［關鍵詞］ 深度學習；批判性思維；概念教學

作者簡介：王艷紅（1980—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

隨著科技的飛速進步，國家對于頂尖創新人才的需求急劇增加. 但是，受到傳統教育觀念和升學壓力的影響，目前仍有許多教師未能與時俱進，依然存在“重結果，輕思維”的教學理念. 殊不知，數學是思維的體操，高考的目的是篩選出富有創新能力的人才. 若想在高考試卷上取得優異成績，就必須著眼于思維的培育. 研究表明，依托深度學習理念來培育數學批判性思維，對于增強學生的創新意識具有不可比擬的優勢.

核心概念界定

1. 批判性思維

批判性思維是指用一種求真、好奇、開放或自信的態度對待研究對象，并在質疑、推理、思考與評價中獲得理性、公正的決定. 一般可從以下三個方面來理解：基于思維品質分析，批判性思維屬于一種思維能力；基于認知過程分析，批判性思維屬于認知思維過程；基于個性心理特征分析，批判性思維屬于一種精神、思維傾向或思維態度.

2. 深度學習

深度學習既是學習過程，又是學習策略，指學生在教師的引導下圍繞具有一定挑戰性的主題進行深度探索，獲得其本質的學習方式. 深度學習有以下特征：①是一種注重理解與建構的學習方式；②遵循“以生為本”的原則，學生需要自我導向和規劃；③動態、批判性地理解知識；④注重學法指導，強調習慣養成；⑤注重思維的關聯度與創新意識的培養.

教學實踐

1. 溫故舊知，初步感知

問題1 在初中階段，大家接觸過哪些函數？它們的表達式分別是什么？

生1：一次函數，其表達式為y=kx+b（k，b為常數，且k≠0）；二次函數，其表達式為y=ax2+bx+c（a，b，c均為常數，且a≠0）；反比例函數，其表達式為y=（k為常數，且k≠0）.

師：說得很完整，哪位同學說一說當時是怎么給函數下定義的？

設計意圖 回顧函數的定義以及三種函數表達式，旨在鞏固已學知識，為本節課的教學打下堅實的基礎.

2. 創設情境，引入新課

問題2 基于你們對函數的了解，回答以下問題.

（1）已知一個圓的半徑為x，那么該圓的周長與直徑之比為y=π，當x∈（0，+∞）時，y是否為x的函數？

（2）函數y=x2（x∈（0，+∞））與函數y=x2（x∈R）一樣嗎？

（3）若y=0，x為無理數，1，x為有理數，y是否為x的函數？

設計意圖 一些學生能夠迅速得出結論，而另一些學生則受到思維局限的束縛，難以獨立且迅速地作出判斷. 在學生的認知中，函數定義通常涉及兩個變量，因此需要思考：問題（1）中的y是否為變量？在初中數學中，函數的定義提到“在一個變化過程中”，那么問題（3）涉及幾個變化過程呢？正是由于這些問題的干擾，學生在準確判斷上遇到了困難. 這揭示了重新定義函數的必要性.

問題3 若某種物體自由下落的高度y（單位：米）與下落時間x（單位：秒）之間的關系式為y=4.9x2，根據這一條件可否獲得這種物體3秒所下落的高度是多少？

問題4 重慶某天的氣溫情況見圖1.

（1）說說重慶在這一天上午10點的氣溫，以及最高氣溫與最低氣溫分別是多少；

（2）這一天什么時候重慶的氣溫低于0 ℃？

設計意圖 上述兩個問題分別通過解析法和圖象法進行探究，為接下來抽象函數符號f做鋪墊. 鑒于學生目前的認知能力，從這兩個問題中提煉出新的函數概念頗具挑戰性. 因此，在教學中，教師可引入問題5，以助力學生更深入地理解并掌握函數概念.

問題5 在上述兩個問題（問題3和問題4）中，變量之間的對應關系在形式上存在哪些異同點？

教師給予學生充分的時間進行獨立思考和合作探討. 經過探討，總結如下.

相同點：問題3和問題4均有兩個變量，且當其中一個變量被確定時，另一個變量則有一個唯一值與之相對應. 不同點：對應關系的表達形式各異，問題3采用的是數學表達式，而問題4采用的則是圖象.

設計意圖 通過分析兩個問題的異同點，能夠進一步加深學生對函數的理解，并為培養他們的思辨能力打下堅實的基礎. 這一過程同樣有助于培育批判性思維.

問題6 從“集合”的角度，描述問題3和問題4的共同特征.

設計意圖 此問涉及“集合”與“對應關系”，不僅能讓學生順利解決問題2，還能為抽象新的函數概念奠定基礎. 從某種意義上來說，此為一個創新性問題，具有一定難度，需要教師適當點撥.

綜上所述，眾多問題情境為學生構建新的函數概念提供了堅實的基礎. 學生對函數的起源和發展過程有了初步的理解，這種循序漸進的教學方式明顯優于傳統機械記憶概念的方法. 部分教師忽視概念形成的過程，傾向于直接展示概念，長期如此，可能導致學生在認知上遇到障礙，在實際應用時顯得不知所措.

3. 構建概念，理解本質

用PPT展示函數的概念，引導學生剖析概念中的關鍵詞與要點，并用規范、準確的數學語言描述概念、定義域和值域等.

問題7 對于函數定義中提到的符號f與y=f（x），你們是怎么理解的？

這是本節課需要重點解決的問題. 許多學生學習完這部分知識后，仍然無法清晰地理解符號f與y=f（x）之間的關系. 因此，教師可結合學情引導學生通過以下幾步來分析問題.

第一步，引導學生利用生活實例來解釋圖2. 例如，將x視為材料，f視為一個加工機器，f（x）則為加工后的成品. 加工流程為：添加材料x，經f加工，輸出f（x）.

一個形象的比喻揭露f與y=f（x）之間的關系. 如圖3所示，它們之間的關系可通俗地理解為：x在f的作用下轉化為y，y=f（x）表示y是關于x的函數.

第二步，重點探索因變量y，引導學生明確y的從屬地位——y值受x值的影響，由此進一步強調f為一種對應關系，揭露y=f（x）的意義. 關注到這一點，還能進一步強化學生對“函數y=f（x）的值域”的理解，明確集合｛yy=f（x），x∈A｝為其值域，而非函數概念內提到的集合B——函數y=f（x）的值域是集合B的子集.

第三步，引導學生感知對應關系不僅能用解析法、列表法和圖象法來刻畫，還可以用其他方法進行描述，如圖2所示的機器模擬圖. 為了便于理解，對應關系一般用符號f來表示，但也可以根據實際需求用其他符號，如g，h等表示. 基于這一點，引導學生深切體會引入符號f：A→B和y=f（x）源于實際需求.

第四步，關注函數符號的書寫. 函數符號的書寫必須規范且嚴謹. 在強調函數符號的書寫要求時，教師應與學生共同使用標準術語描述函數符號，以此進一步加深學生對函數符號的理解.

第五步，呈現一系列函數，要求學生判斷這些函數是否為同一函數，并解釋其理由. 在這個環節，重點在于讓學生理解，若兩個函數在對應關系和定義域上完全一致，則它們的值域必然相同，這時它們為同一函數. 這一認識有助于深化學生對函數定義的理解，并直接促進批判性思維的發展.

設計意圖 明確“f與y=f（x）之間的關系”是本節課的教學重點與難點，這要求教師減緩教學節奏，積極與學生進行討論，激發學生的思考. 通過觀察、分析和類比，學生能夠自主探索知識的本質，并在深入學習的過程中培養批判性思維能力，這是提升核心素養的關鍵所在.

問題8 類比新舊函數定義，分析它們的異同點.

此問需從兩個變量間的依賴關系著手，從不同角度分析兩個實數集合的對應關系. 探索過程需學生利用批判性思維來類比分析，由此客觀地認識到新舊概念的異同點［1］.

設計意圖 借助批判性思維剖析新舊函數定義，理解“高中階段的對應關系”與“初中階段的對應關系”并不矛盾.

4. 練習訓練，鞏固概念

練習1 請用本節課新建構的函數概念來解決問題2.

練習2 如何用新函數概念分別描述一次函數、二次函數與反比例函數？

練習3 如圖4所示，________能表示函數y=f（x）.

設計意圖 練習1旨在引導學生運用新學知識深入思考原問題，實現知識的前后銜接，并進一步鞏固學生對函數概念的理解；練習2的目的是檢驗學生是否具備使用“集合與對應關系”來描述函數的能力；練習3則鼓勵學生從幾何的角度去理解函數概念，同時通過融入數形結合思想，增強學生的批判性思維. 值得注意的是，直觀圖形的應用對深化學生對函數概念的理解具有重要作用，然而，不是所有函數均可用圖象來表示，這就要求學生具備敏銳的洞察力，能夠根據具體情況靈活應對.

5. 探索例題，深化理解

例1 用多媒體展示一些式子，要求學生根據本節課所學的函數定義判斷這些式子是否為函數.

例2 求函數f（x）=與g（x）=的定義域.

例3 函數g（x）=（x－1）2+1，x∈｛－1，0，1，2，3｝與h（x）=（x－1）2+1的值域分別是什么？

設計意圖 對式子是否為函數的辨析，可鞏固學生對函數概念的認識，發展批判性思維；定義域的求解意在深化學生對一般函數定義域的理解；例3讓學生感知在同一對應關系下，若定義域不同，則值域不同，進一步深化學生對任意自變量對應唯一函數值的理解.

6. 總結歸納，提煉升華

引導學生從函數定義、本質、要素、定義域與值域的確定方法、研究策略以及相關的數學思想方法等多個角度進行整理和歸納.

設計意圖 從知識、方法、思維和思想等多個角度進行綜合提煉，提升學生的抽象概括能力與語言表達能力，助力他們構建一個完整的認知體系，并促進批判性思維的發展，實現深度學習.

思考與感悟

批判性思維的培養離不開對問題的再思考，因此教師在執教過程中一定要注意教學的前后呼應，想方設法引導學生對比分析新舊知識，完善認知結構. 本節課以豐富的情境和學生已有的經驗為教學起點，通過問題驅動的方式，引導學生逐步感知新函數概念的形成過程及其必要性. 這不僅實現了深度學習，而且在真正意義上促進了學生批判性思維的發展. 當學生構建了新的概念后，教師應鼓勵他們運用新概念去重新審視舊問題. 這種前后連貫的教學方法不僅使學生對函數概念有深入的理解，而且還能讓他們明白其背后的原理，從而在真正意義上增強學習能力，并促進批判性思維的發展.

總之，培養學生的批判性思維，基于深度學習，是推動學習能力提升的根本，同時也是強化數學素養發展的核心. 作為教師，不僅應關注自身對學生判斷力的影響，還應致力于培育學生獨立思考和及時反思的能力.

參考文獻：

［1］ 武瑞雪. “函數的概念和圖象（1）”的教學設計與意圖分析：兼談批判性思維的培養［J］. 中學數學月刊，2023（8）：1-5.