關(guān)注過(guò)程，發(fā)展理性思維

［摘 要］ 關(guān)注過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維具有重要意義. 文章以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，具體從“鑒賞橢圓之美，激發(fā)探究興趣”“親歷操作過(guò)程，感知橢圓形成”“關(guān)注發(fā)展過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)文化”“注重方程推導(dǎo)過(guò)程，活化思維”“加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用，鞏固橢圓方程”“總結(jié)歸納提升，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)”六個(gè)方面展開(kāi)教學(xué)，并從教學(xué)過(guò)程、數(shù)學(xué)文化與問(wèn)題引領(lǐng)三個(gè)維度談一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)過(guò)程；理性思維；橢圓

作者簡(jiǎn)介：胡玲玲（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

數(shù)學(xué)是一門思維含量極高的學(xué)科. 學(xué)生在探索與思考問(wèn)題時(shí)，理性思維會(huì)處于活躍狀態(tài)，這對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有推動(dòng)作用. 作為教師，應(yīng)不斷革新教育教學(xué)理念，關(guān)注教學(xué)過(guò)程的調(diào)整與創(chuàng)新，使學(xué)生的理性思維在課堂中落地生根，為學(xué)生長(zhǎng)期可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 鑒賞橢圓之美，激發(fā)探究興趣

課堂伊始，在回顧直線與圓的位置關(guān)系的研究方法后，教師利用PPT呈現(xiàn)與橢圓相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題，以此激發(fā)學(xué)生的探究興趣.

問(wèn)題1 古希臘大數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius？搖of？搖Perga）發(fā)現(xiàn)，用一個(gè)與圓錐的軸垂直的平面來(lái)截圓錐，其截口為圓. 若用一個(gè)與圓錐的軸不垂直的平面來(lái)截圓錐，其截口會(huì)是什么形狀呢？

師生活動(dòng)：教師借助信息技術(shù)進(jìn)行演示，幫助學(xué)生直觀理解問(wèn)題中的截口是拋物線、橢圓與雙曲線. 鑒于這些曲線都源于圓錐與其截面，故統(tǒng)稱為圓錐曲線. 之后，教師將討論延伸至探照燈和行星軌跡等實(shí)際應(yīng)用，以拓寬學(xué)生的認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖 信息技術(shù)的應(yīng)用使圓錐曲線之美直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前. 學(xué)生能夠從認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合日常生活實(shí)例，感悟數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，理解圓錐曲線的起源，從而激發(fā)對(duì)后續(xù)課程內(nèi)容的探究興趣.

問(wèn)題2 直線與圓的位置關(guān)系可用坐標(biāo)法來(lái)探索，那么圓錐曲線可用什么方法來(lái)研究呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的探索經(jīng)驗(yàn)，初步猜想圓錐曲線的研究方法. 學(xué)生獨(dú)立思考后合作交流，初步形成研究思路為：背景→曲線的幾何特征→方程→性質(zhì)→應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖 新舊知識(shí)的類比與勾連，可讓學(xué)生借鑒已有的研究方法形成先行組織者，為接下來(lái)的操作與探究做鋪墊.

2. 親歷操作過(guò)程，感知橢圓形成

課前準(zhǔn)備好以下作圖工具：鉛筆、細(xì)繩、小木板等. 先讓學(xué)生以小組合作的方式繪制橢圓圖形，隨后邀請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)展示其繪圖步驟.

問(wèn)題3 在繪制橢圓的過(guò)程中，筆尖移動(dòng)時(shí)，圖中的變量與不變量分別是什么？

生1：變量為筆尖的位置，不變量為筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和（繩子長(zhǎng)度）.

設(shè)計(jì)意圖 開(kāi)展繪圖活動(dòng)不僅揭示橢圓的形成過(guò)程，而且使學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)眼的實(shí)踐中深刻理解橢圓的本質(zhì)屬性，從而為構(gòu)建橢圓的定義打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 此外，學(xué)生在繪圖過(guò)程中的動(dòng)手實(shí)踐，也是鍛煉手腦協(xié)調(diào)能力的過(guò)程，這對(duì)于培養(yǎng)理性思維具有顯著的重要性.

問(wèn)題4 與圓的定義進(jìn)行類比，如何利用好“變化中的不變以及存在的規(guī)律”抽象出橢圓的定義？

生2：基于繪圖實(shí)操可知，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.

師：歸納得不錯(cuò). 誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)要確定一個(gè)橢圓，哪些條件不可或缺？

生3：首先要確定在同一個(gè)平面內(nèi)，其次是與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù).

師：可否根據(jù)你們所提出的定義畫橢圓？

學(xué)生根據(jù)自主歸納的橢圓定義進(jìn)行實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)當(dāng)繩子的長(zhǎng)度大于FF時(shí)，能順利畫出橢圓；當(dāng)繩子的長(zhǎng)度與FF相等時(shí)，只能畫出線段；當(dāng)繩子的長(zhǎng)度小于FF時(shí)，無(wú)法畫出軌跡圖. 基于此，師生一起完善了橢圓的定義.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它追求的是一種理性精神. 對(duì)于通過(guò)猜想提出的定義，必須經(jīng)過(guò)反復(fù)的驗(yàn)證才能確立其可靠性. 這正是數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力所在，其學(xué)科精神值得每位學(xué)生去追求.

3. 關(guān)注發(fā)展過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)文化

師：如圖1所示，這是數(shù)學(xué)家研究橢圓的路徑. 現(xiàn)在，讓我們共同探討19世紀(jì)數(shù)學(xué)家旦德林的實(shí)驗(yàn).

多媒體演示實(shí)驗(yàn)過(guò)程：如圖2所示，在圓錐截面的兩邊分別放一個(gè)球，使得兩球與截面呈相切狀態(tài)，點(diǎn)F，F(xiàn)為切點(diǎn)，這兩個(gè)球同時(shí)與圓錐側(cè)面相切，球體與側(cè)面公共點(diǎn)分別構(gòu)成圓O，O. 倘若點(diǎn)M為平面和圓錐側(cè)面截線上的任意點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓錐的一條母線，使得這條線分別和兩個(gè)球體在點(diǎn)P，Q處相切，PQ運(yùn)動(dòng)所形成的截口曲線為橢圓［1］.

問(wèn)題5 探索MF與MP，MF與MQ之間的位置關(guān)系，思考FM+FM是否為定值.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)文化滲透對(duì)理性思維的發(fā)展有直接影響. 通過(guò)時(shí)間線索揭示橢圓研究歷史，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)概念演變，為培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維打基礎(chǔ). 多媒體的直觀展示，幫助學(xué)生理解概念間的聯(lián)系，為后續(xù)教學(xué)活動(dòng)奠定思維基礎(chǔ).

4. 注重方程推導(dǎo)過(guò)程，活化思維

問(wèn)題6 從解析幾何探索幾何圖形的常規(guī)思維出發(fā)，當(dāng)抽象出橢圓的定義后，就要探索橢圓的方程了. 基于過(guò)往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，你們認(rèn)為構(gòu)建橢圓的方程大致需要經(jīng)歷哪些步驟？

生4：首先需建系，而后設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)并證明.

師：很好！經(jīng)過(guò)對(duì)橢圓的深入理解，你們認(rèn)為橢圓是一種對(duì)稱圖形嗎？它的方程可能是什么樣的呢？

生5：從直觀的角度來(lái)看，橢圓有對(duì)稱性. 如圖3所示，將橢圓置于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，基本能猜想出橢圓方程是二元二次方程.

師：假設(shè)2c為橢圓的焦距，點(diǎn)F，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（－c，0），（c，0），點(diǎn)M（x，y）是橢圓上的任意點(diǎn)，滿足FM+FM=2a. 若代數(shù)化這些條件，有什么收獲？

生6：+=2a①.

師：此為橢圓的方程，但它比較復(fù)雜，如何將這個(gè)式子化簡(jiǎn)得更簡(jiǎn)單一些呢？

為學(xué)生提供充足的時(shí)間進(jìn)行探索和交流，必要時(shí)給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo). 有學(xué)生提出了以下化簡(jiǎn)方法：先對(duì)①式進(jìn)行移項(xiàng)處理，然后對(duì)兩邊同時(shí)進(jìn)行兩次平方運(yùn)算，整理后得到新等式a2y2+（a2－c2）x2=a2（a2－c2）②.

師：②式似乎仍然有些復(fù)雜，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察圖4，嘗試從圖中找出與a，c，相關(guān)的線段，以使②式變得更加簡(jiǎn)潔.

生7：根據(jù)已知條件，可知FB=a，F(xiàn)O=c，BO=，顯然b具有幾何意義. 令b2=a2－c2，整理②式，有a2y2+b2x2=a2b2③. 將③式的兩邊同時(shí)除以a2b2，可得+=1（a＞b＞0），此為焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)橢圓的幾何特性建立坐標(biāo)系，不僅凸顯了從推理幾何到解析幾何的演變過(guò)程，揭示“數(shù)”與“形”的本質(zhì)統(tǒng)一的特性，還讓學(xué)生親自參與運(yùn)算，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維.

問(wèn)題7 以上探索的是焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓的方程，若焦點(diǎn)位于y軸上，橢圓的方程會(huì)是怎樣的呢？能否快速獲得結(jié)論？

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和類比焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓的方程，快速獲得焦點(diǎn)位于y軸上的橢圓的方程為+=1（a＞b＞0）.

設(shè)計(jì)意圖 類比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置的觀察、類比與分析，避免了重復(fù)運(yùn)算的復(fù)雜過(guò)程，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理性思維的重要性.

問(wèn)題8 若將③式變形成·=－的形式，該怎樣用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫該式所具備的幾何意義呢？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生通過(guò)分析幾何意義下的式子變形，深入理解數(shù)形結(jié)合思想. 主動(dòng)思考幫助學(xué)生清晰地理解曲線特性，并提煉出多種解題方法，為解決更復(fù)雜的圓錐曲線問(wèn)題打下基礎(chǔ).

5. 加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用，鞏固橢圓方程

例1 已知某橢圓過(guò)點(diǎn)，－，且F（－2，0），F(xiàn)（2，0）為它的兩個(gè)焦點(diǎn)，那么該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

生9：可從橢圓的定義出發(fā)，先將2a算出來(lái)，而后獲得該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

生10：還可以先設(shè)橢圓的方程，而后建立方程組求解.

例2 如圖5所示，在圓x2+y2=r2上任意取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足. 已知點(diǎn)M為線段DP上的一點(diǎn)，滿足DM=λDP（λ≠0，1），當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M會(huì)呈現(xiàn)出怎樣的活動(dòng)軌跡？

生11：設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x，y），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）. 根據(jù)題意可知，x=x，y=. 由于點(diǎn)P位于圓上，因此x+y=r2. 將x=x，y=代入x+y=r2中，得+=1，由此可確定點(diǎn)M的活動(dòng)軌跡為橢圓.

設(shè)計(jì)意圖 例1要求學(xué)生根據(jù)條件選擇合適的橢圓方程形式，題目難度適中，旨在培養(yǎng)學(xué)生的解題思維和習(xí)慣；例2不僅加強(qiáng)了求軌跡方程的基本技能，還加深了對(duì)圓和橢圓關(guān)系的理解，為培養(yǎng)理性思維打基礎(chǔ).

6. 總結(jié)歸納提升，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

要求學(xué)生從以下幾方面進(jìn)行梳理與總結(jié)：橢圓定義的形成是一個(gè)怎樣的過(guò)程？推導(dǎo)橢圓方程的過(guò)程給你們帶來(lái)了什么啟示？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的研究通常遵循怎樣的過(guò)程？根據(jù)你們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，接下來(lái)應(yīng)探索哪些與橢圓相關(guān)的知識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖 回顧和總結(jié)教學(xué)流程、思維過(guò)程及學(xué)習(xí)方法，有助于加深學(xué)生對(duì)橢圓的理解，并為深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ). 此外，良好的反思習(xí)慣有助于學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展.

教學(xué)思考

1. 關(guān)注過(guò)程是概念自然生成的基礎(chǔ)

關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，有助于學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)，縮短與教學(xué)內(nèi)容的距離. 將新知與舊知聯(lián)系起來(lái)，能提升學(xué)生的認(rèn)知能力，促進(jìn)概念自然生成. 本節(jié)課，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比圓的方程來(lái)探索橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用多媒體展示動(dòng)態(tài)圖和旦德林實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生自主抽象出橢圓的定義和推導(dǎo)方法. 這顯示了關(guān)注過(guò)程是知識(shí)自然生成和數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵.

2. 數(shù)學(xué)文化是理性思維的催化劑

橢圓的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展是科學(xué)家長(zhǎng)期努力的結(jié)果，它展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美. 將橢圓的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展歷史融入教學(xué)，能激發(fā)學(xué)生的興趣，拓寬他們的視野. 數(shù)學(xué)家面對(duì)挑戰(zhàn)從不放棄，這種精神和數(shù)學(xué)文化是培養(yǎng)理性思維的重要因素.

3. 問(wèn)題引領(lǐng)可催生理性思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，問(wèn)題又是數(shù)學(xué)的心臟. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，高質(zhì)量問(wèn)題能激發(fā)課堂活力，促進(jìn)學(xué)生思維，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，為學(xué)生的認(rèn)知體系的構(gòu)建打基礎(chǔ). 本節(jié)課包含8個(gè)問(wèn)題和2個(gè)例題，其作用是逐步引導(dǎo)學(xué)生思考，提煉數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)理性思維.

總之，關(guān)住過(guò)程是新課標(biāo)要求，也是發(fā)展數(shù)學(xué)理性思維的基礎(chǔ). 了解學(xué)情和教情后，滲透數(shù)學(xué)思想和文化，能激活學(xué)生的思維，構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使理性思維得以扎根.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 梁俊峰. “橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思［J］. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2023（Z1）：37-40.