著眼學生發展 落實核心素養

［摘 要］ 優秀的數學教學不僅應聚焦于知識的習得，還應重視能力的增強以及數學學科核心素養的培育. 文章以探索知識為明線，以滲透思想方法為暗線，精心設計問題，激發學生主動探究橢圓的幾何性質，在培養學生邏輯思維能力以及提高學生數學學科核心素養方面，取得了顯著成效，實現了真正意義上的有效教學與高效教學.

［關鍵詞］ 數學學科核心素養；有效教學；高效教學

作者簡介：王友福（1982—），中學一級教師，從事高中數學教育教學與研究工作.

隨著課程改革的不斷深入，數學學科核心素養的培養與研究越來越受到專家、學者和一線教師的關注. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）明確提出，高中數學教學要發展學生的數學學科核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 一般認為，數學學科核心素養是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性等特征. 它是一個長期積累的過程，需要落實到數學實踐中［1］. 在實踐教學中，教師應重視開展探究式教學模式，給予學生足夠的時間和空間去操作、發現、思考、交流、歸納和反思. 通過這種方式，學生不僅能夠掌握知識，還能學會學習方法，提高自身的綜合素養. 這有助于學生的長期發展和終身學習，確保數學學科核心素養得以在心中扎根. 在教學“橢圓的幾何性質”時，筆者通過設計問題來引導學生構建知識之間的內在聯系，學會用代數方法研究幾何問題，感悟解析幾何的本質. 這種方法在增強學生的數學能力以及培養他們的數學學科核心素養方面取得了一定成效. 現在，筆者將這一教學設計過程整理成文，以供大家參考.

教學設計過程

1. 創設情境，引入新知

問題1 上節課我們主要學習了哪些知識內容？

追問：如果讓你畫橢圓，你會嗎？

師生活動：教師預留時間先讓學生回顧上節課所學的知識、思想和方法，然后引導各小組畫橢圓，并展示學生的作品，從而為接下來學生自主研究橢圓的性質做準備. 學習橢圓的幾何性質，需要學生在大腦中構建起橢圓的表象，作為思維加工的對象. 這里所說的橢圓不只是橢圓本身，還包括畫橢圓的過程. 因為在畫橢圓的過程中，學生通常會借助具體的體驗來認識和理解橢圓的一些基本特征，例如橢圓上的點到兩個定點的距離之和為定值. 這些認識和理解，為深入探究橢圓的幾何性質提供了堅實的基礎.

問題2 請以小組為單位，觀察并對比所畫的橢圓，談談你們的發現.

師生活動：學生通過觀察，發現不同橢圓的扁平程度不同；不同大小、不同形狀的橢圓對折后，其上下、左右可以完全重合.

設計意圖 教師引導學生回顧橢圓的定義、標準方程等基礎知識，并創造機會讓學生動手操作，以便他們通過直觀觀察來理解橢圓的幾何特征，從而自然而然地引入新知. 同時，通過親自動手實踐，為新知的研究創造了一個平等和諧的交流氛圍，有效激發了學生的探索欲望. 值得一提的是，學生在畫橢圓的過程中所發現的“不同橢圓的扁平程度不同”，起初僅是他們的直觀感知. 要將這種直觀感知轉化為數學表達，需要學生在畫橢圓的過程中，利用形成的視覺表象，通過數學推理來導出結論. 這一過程是后續深入探究的關鍵基礎.

2. 問題驅動，探索新知

問題3 我們是如何推導橢圓標準方程的？我們為什么要推導橢圓的標準方程？

師生活動：橢圓標準方程的推導是上節課的重點內容，大多數學生可以清晰、準確地給出相關步驟及兩種形式的標準方程. 對于為什么推導，學生難以表達，此時教師需要提供啟發和指導.

設計意圖 在鞏固知識、思想方法的基礎上，讓學生學會用代數方法研究幾何問題，感悟解析幾何的本質.

環節1 對稱性.

問題4 通過畫橢圓、觀察橢圓，我們已經知曉橢圓是對稱圖形. 若從代數的角度來看，如何通過橢圓的標準方程來探究其對稱性？

追問：如果是曲線方程呢？如何研究它的對稱性？

師生活動：為了讓學生更好地體會橢圓的對稱性，教師啟發學生在橢圓+=1（a>b>0）上任取一點P（x，y），分別求出點P關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標，最后判斷這些對稱點是否在橢圓上.

設計意圖 在此過程中，教師引導學生從已有的知識和經驗出發，從數的角度分析橢圓的對稱性，以此加深學生對橢圓對稱性的理解，提高學生的分析和推理能力，提升學生的數學素養. 其中，問題4至關重要，因為它引導學生的思維從“形”轉向“數”，這表明學生在大腦中構建的橢圓表象，需要在更深層次的抽象和推理過程中，利用精確的數學語言來闡述其特征. 因此，從問題4出發，后續的邏輯推理正是通過運用“對稱性”原理來完成的. 在教學中，教師應充分運用“對稱性”這一特征，引導學生的思維發展. 此外，這種思維方式的構建，對于深入探究橢圓等幾何圖形的其他性質，同樣具有積極的促進作用.

環節2 頂點.

問題5 以橢圓+=1（a>b>0）為例，坐標軸除了是橢圓的對稱軸外，其與橢圓還有其他關系嗎？橢圓與坐標軸有交點嗎？如果有，你能求出交點的坐標嗎？

師生活動：學生運用他們所掌握的知識和經驗，成功解決了上述問題. 在此基礎上，教師引入橢圓頂點、長軸、短軸等概念，并詳細闡述橢圓標準方程中參數a和b的幾何意義.

設計意圖 教師引導學生在分析和解決問題的過程中構建橢圓頂點的概念，掌握求橢圓頂點的方法，從而提高學生運用代數方法研究幾何問題的能力. 這個過程體現了數形結合思想，與新課標對數學學科核心素養的定義相呼應，涵蓋了數學抽象和數學建模等過程. 這里需要指出的是，橢圓頂點概念的構建，本質上是通過橢圓的標準方程在平面直角坐標系中展示頂點的位置特征，這是橢圓的幾何性質的一個重要體現. 在探索過程中，學生常常會形成一些雖然簡單但相對準確的理解. 例如，有學生提出：“橢圓的頂點決定了橢圓的位置和尺寸. ”可以認為，當學生在探究過程中形成這樣的理解時，便意味著他們能夠依靠自己的探究經歷來促進數學學科核心素養的發展. 另外，在此過程中，教師指導學生關注橢圓標準方程中參數a和b的幾何意義，可幫助學生更形象、直觀地掌握橢圓的標準方程，從而為后續的應用奠定堅實的基礎.

環節3 范圍.

問題6 對于橢圓+=1（a>b>0），這里的x，y有何限制？

師生活動：教師引導學生從“形”的角度進行分析，通過圖形及作圖經驗發現x≤a，y≤b. 在此基礎上，引導學生從“數”的角度進行驗證，得≤1，≤1，即x≤a，y≤b.

設計意圖 教師引導學生先從“形”的角度出發，觀察并確定橢圓的范圍，然后從“數”的角度進行驗證. 通過這種多角度的思考與探索，一方面可以加深學生對橢圓性質的認識和理解，另一方面可以培養學生的數形結合意識，掌握研究曲線方程的方法.

問題7 通過對比觀察發現，不同橢圓的扁平程度不同，那么，是什么決定了橢圓的扁平程度呢？

師生活動：教師讓每個小組畫兩個扁平程度不同的橢圓，并思考為什么有的橢圓“扁”，有的橢圓“圓”，從而自然而然地引出橢圓離心率的定義. 引出離心率的定義后，教師讓學生思考離心率的范圍，并回答這樣一個問題：e越接近1，橢圓越圓，還是越扁？

設計意圖 讓學生動手做、用眼看、用心想，通過具身體驗感受橢圓的離心率與a，c兩個量密切相關，由此順利得到離心率的定義［2］. 學生對橢圓形狀的“圓”與“扁”的理解十分直觀，這反映他們將生活語言直接應用于幾何概念. 此時，生活語言向數學語言過渡，需要借助數學工具來完成，對應著數學學科核心素養中的邏輯推理與數學建模. 離心率這一陌生概念，可以在學生提出問題和解決問題的過程中，變得相對熟悉，并能夠體現學生大腦中關于橢圓形狀是“圓”還是“扁”的認知. 學生這樣的認知發展過oHxbPT9LfMcDJuJFdTB9HQ==程也表明，通過由具體到抽象，由形式到本質的逐層探究，不僅有利于知識的理解和接受，而且能有效淡化數學的抽象感，提升學習積極性，提高直觀想象、數學抽象等素養.

問題8 結合前面的探究過程，請說一說橢圓+=1（a>b>0）具有怎樣的幾何性質.

師生活動：教師放手讓學生自主探究，并鼓勵學生進行組內交流；教師投影展示學生的探究結果，并將這些結果整理填入表格中，以便學生進行對比和觀察.

設計意圖 在教學中，教師特意安排時間，讓學生利用研究橢圓的經驗去深入探索橢圓的幾何性質. 這一做法不僅能夠加深學生對相關知識、概念和方法的理解，而且還能培養學生運用數形結合思想方法來解決問題的能力. 同時，在此過程中，教師引導學生通過歸納總結，能有效溝通知識間的內在聯系，不斷優化個體知識結構，從而提升數學學科核心素養.

3. 應用練習，加深理解

例 試求橢圓16x2+25y2=400的離心率、頂點、長軸長和短軸長，并嘗試利用描點法繪制該橢圓.

變式：方程4x2+y2=16表示的是什么圖形？說一說它具有怎樣的幾何性質.

師生活動：上述兩題難度不大，學生利用研究橢圓幾何性質的經驗，順利地解決了問題.

設計意圖 通過基礎練習，檢測學生對基礎知識的掌握程度，并以此來鞏固和加強他們的理解. 此外，這些練習旨在讓學生學會如何利用橢圓方程來研究橢圓的幾何性質.

4. 回顧反思，總結提升

問題9 請圍繞知識、思想、方法等談一談自己的心得體會.

師生活動：學生以小組為單位進行互動交流，隨后集體展示他們的體會.

設計意圖 教師指導學生從多個方面進行反思和回顧，旨在深化他們對相關知識和思想方法的理解，優化他們的知識結構，培養他們良好的反思和歸納習慣. 此外，這種做法還能提高學生的歸納總結能力以及數學表達能力，從而增強他們的綜合能力和素養.

教學反思

眾所周知，在數學教學中，若想讓學生真正地理解抽象的數學知識，并能靈活應用數學知識解決問題，僅憑教師單方面的“灌輸”是很難達成的. 在實際教學中，教師應創造機會讓學生主動參與知識的構建，讓學生理解知識的同時，掌握數學研究方法，提升學生可持續學習的能力和品質. 這是“在游泳中學會游泳”的道理遷移，同時也是數學教學中發展學生核心素養的重要思路.

在本節課教學中，教師以學生已有的知識和經驗為出發點，精心創設“問題串”，指導學生在問題的驅動下主動發現和探索橢圓的幾何性質，構建對幾何性質的理解，學會用代數方法研究幾何問題，感悟解析幾何的本質，為后續學習打下堅實的基礎. 另外，在本節課教學中，教師創造機會讓學生思考與探究，可以很好地調動學生參與課堂的積極性，有助于激活學生的數學思維，提高學生的自主探究能力，以及理性思考能力和數學學科核心素養.

總之，在高中數學教學中，教師應該認真研究學生、研究數學、研究教材，以學生認知為基礎，以問題驅動為策略，以培養學生數學學科核心素養為目標，精心創設教學活動，引導學生親歷知識生成過程，有效激發學生的潛能，促進學生的長效發展和終身發展，切實提高教學有效性.

參考文獻：

［1］ 倪樹平. 數學核心素養視角下課堂教學設計之思考：以“橢圓及其標準方程”教學設計為例［J］. 數學通訊，2018（8）：23-27.

［2］ 李剛，朱曉祥. 基于核心素養背景的深度教學例析：以“橢圓的幾何性質”教學片斷為例［J］. 數學教學研究，2021，40（1）：23-27.