創設探究活動，提升核心素養

［摘 要］ “直線與平面垂直的判定”是高中空間幾何的重要知識內容之一. 課堂教學需要深入分析教材內容，整合知識重點和難點，把握學情和教情，合理設計教學模塊. 在教學中，建議將“知識探究”融入“實踐活動”中，引導學生自主分析，體會探究過程，使知識自然生成. 同時滲透數學思想方法，促進學生核心素養的提升.

［關鍵詞］ 實踐活動；核心素養；直線；平面；垂直

作者簡介：張恩林（1993—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.

“直線與平面垂直的判定”是高中空間幾何的重要知識內容之一，涉及直線與平面垂直的定義，以及相應的判定定理. 在教學中，需要注重圖形觀察、實驗說理，促使學生充分掌握直線與平面垂直關系的判定方法.

教學環節分析

“直線與平面垂直的判定”是空間垂直問題探究的基礎，對于學生后續研究空間幾何關系十分重要. 教師可以類比參照“直線與平面平行的判定”的教學方式，設計探究活動，引導學生實驗操作，通過推理論證得出結論、生成定理.

本節課教學共4個環節：環節1，創設情境，引入課題. 即以直線與平面垂直的實際背景引入課題，讓學生初步感知學習內容. 環節2，轉化交流，生成定義. 即引導學生利用轉化思想思考模型性質，并組織學生相互交流，構建直線與平面垂直的定義. 環節3，活動探究，判定總結. 即通過探究活動，總結直線與平面垂直的判定定理. 環節4，應用練習，知識內化. 即完成定義與判定定理的應用，實現知識內化吸收.

教學過程探索

關于“直線與平面垂直的判定”的教學，建議采用上述4環節來完成. 各個環節需要注意合理設計探究活動，引導學生互動交流，自主思考，生成知識. 整個過程合理滲透數學思想方法，同時培養學生的數學學科核心素養.

1. 創設情境，引入課題

該教學環節需要創設問題情境，完成課堂內容的自然引入. 在教學中，教師展示圖1和圖2兩幅圖（圖1為旗桿與地面垂直，圖2為木工師傅使用“L”型尺子來判定木棒與桌面垂直），并提出問題：在現實生活中，我們經常看到一些直線與平面垂直的情境，或利用直線與平面垂直的關系制作而成的工具，那么，確定直線與平面垂直的意義是什么？你還能列舉哪些實際例子？

在教學中，教師讓學生盡可能多地列舉例子，組織學生思考、討論，將實際情境抽象成數學模型. 針對圖1中的旗桿與地面的垂直關系，可以建立如圖3所示的模型，即AB為旗桿，BC為投影，由此總結出“直立于地面的旗桿AB所在直線與它在地面上的影子BC所在直線始終垂直”，為后續歸納直線與平面垂直的定義做基礎.

2. 轉化交流，生成定義

該教學環節旨在完成直線與平面垂直定義的生成，建議采用轉化交流的模式. 教師首先提出問題：能否從直線與直線垂直、直線與平面平行等的定義過程中得到啟示，用一條直線垂直于一個平面內的直線來定義該條直線與平面垂直？

問題給出后，組織并引導學生討論、交流，構建如圖4所示的模型（直線l與平面α相交于點P，平面α內有任意一條直線），通過探討模型的基本性質，生成直線與平面垂直的定義.

定義：一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α. 直線l稱為平面α的垂線，平面α稱為直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足.

定義生成后，要注意引導學生明晰定義，該定義既是判斷直線與平面垂直的方法，又是直線與平面垂直的性質. 定義的內容較為豐富，教學中可以將其拆解，包括條件、結論、注釋等部分，再通過提煉關鍵詞，可以加強學生對定義的了解和記憶.

3. 活動探究，判定總結

該教學環節是關于直線與平面垂直的判定定理的探究，建議采用“實踐操作，活動思考”的探究方式，引導學生結合已有知識和經驗，通過實踐體驗、直觀感知、直觀想象、歸納總結，實現從特殊到一般的合情推理.

在教學中，讓學生取出提前準備好的三角形紙板，引導學生做實驗：過三角形ABC的頂點A來翻折紙板，可得到折痕AD，如圖5所示. 將翻折后的紙板豎起來放在桌面上（BD，DC與桌面相接觸）. 在實驗中，要求學生思考以下兩個問題.

問題1：折痕AD與桌面所在平面垂直嗎？

問題2：如何翻折才可以確保折痕AD與桌面所在平面垂直？

教學中讓學生反復實驗、互動交流，發現：當且僅當折痕AD為BC邊上的高時（如圖6①所示），翻折后AD所在直線與桌面所在平面α垂直（如圖6②所示）. 在實驗中，需要引導學生注意其中的核心思想，即翻折前后的“變與不變”（關注翻折前后哪些量“變”了，哪些量沒有“變”）.

基于上述實踐操作，結合具體模型，與學生一起從文字和符號兩種語言來總結對應的判定定理，滲透數形結合思想，生成定理對照.

文字語言：一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.

符號語言：在如圖7所示的模型中，a？奐α，b？奐αa∩b=Pl⊥a，l⊥b？圯l⊥α.

4. 練習應用，知識內化

該教學環節引導學生靈活運用直線與平面垂直的判定定理來推理分析相關問題. 問題創設或擇取需要注意兩點：一是問題由易到難，層層遞進，保持多樣化；二是學生解題思維的指導和開拓，培養學生思維的嚴謹性、邏輯性.

例題1 已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.

解題指導 核心知識為“兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面”. 教學中展示圖8，引導學生關注兩點：一是直線a與b的平行關系；二是直線a與平面α的垂直關系. 當學生有了基本的解題思路后，要求學生利用判定定理規范作答，養成良好的作答習慣.

例題2 如圖9所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求證：AC⊥平面SDB.

解題指導 教學中引導學生按照“讀題審題—轉化求解”的流程來構建思路，需要關注其中的兩大條件：一是底面ABCD為正方形；二是直線SD⊥平面ABCD. 提醒學生把握知識點“直線與平面垂直的判定定理”，按照“已知條件→AC⊥BD→SD⊥AC→AC⊥平面SDB”的思路來構建證明過程.

教學探究思考

“直線與平面垂直的判定”屬于空間幾何的知識內容，對學生的直觀想象和推理分析能力有一定的要求，教學探究需要注意方式，科學安排內容，合理設計活動. 下面針對教學探究提幾點建議.

1. 細化教學內容，重視研究性學習

本節課旨在探討直線與平面垂直的定義及判定定理，屬于基礎定義及定理的范疇. 教師需要明確本節課的知識核心，圍繞教學大綱設定教學目標，結合實際情況將本節課教學細分為多個環節，逐步完成教學. 教學過程需要注意三點：一是調動學生的積極性，發揮其主觀能動性；二是把握教學主線，突出知識重點，分散教學難點；三是重視研究性學習，引導學生自主解決問題. 在整個教學過程中，注意引導學生主動學習知識，建立知識間的聯系，通過研究性學習來完成知識生成與關系構建. 教學內容的安排應由淺入深、循序推進，注重知識內容的適度細化和拓展.

2. 實踐活動交流，有效設置問題

建議在教學空間幾何定理時，采用“實踐操作”與“互動交流”相結合的方法. 將知識探索融合于實踐活動中，引導學生參與探究活動，在互動交流中發現問題、解決問題，總結知識結論. 教師需要做好適時引導、思維點撥. 活動設計中注意有效設置問題，引導學生思考，啟發學生思維. 以上述直線與平面垂直判定定理的教學為例，設置折紙板活動，引導學生關注折痕的特性，得出關鍵結論. 在“互動交流”環節，建議采用分小組討論的方式，以打破學生個體間的隔閡，集思廣益. 通過師生、生生之間的討論交流，讓學生的思維產生碰撞，激發他們的探究熱情，并促使他們掌握知識的關鍵點.

3. 重視強化訓練，拓展知識應用

在設計教學環節時，教師要重視強化訓練，注意拓展學生的思維. 完成知識生成后，建議圍繞教學大綱，精心設計問題，或選用教材例題，合理安排應用訓練. 教師需要注意三點：一是問題設計要有層次性，由易到難，逐步拓展；二是強化運用章節知識點，重點講述解題過程，突出關鍵點；三是注意思維引導，重點講解解題思路，指導學生構建解題方案. 在實際練習時，教師應分層次提出習題，確保不同水平的學生均能獲得相應的提升.

4. 借助空間平臺，提升核心素養

提升學生的核心素養同樣是本章節教學的重要目標，主要包括三個方面：一是空間想象能力；二是語言描述能力；三是知識歸納和轉化能力. 在各教學環節中，要注意圍繞核心素養來設計探究活動，滲透數學思想方法. 例如本節課的引入環節，從“現實物體”抽象“幾何模型”，然后探索幾何結論. 在整個教學過程中，將文字語言、符號語言、圖形語言等完美融合，生成定義、定理，充分體現了數形結合思想. 在活動探究中，設置實驗，將平面圖形轉化為空間圖形，實現了“線面垂直”與“線線垂直”的互相轉化. 通過實例分析、討論，總結判定定理，體現了從特殊到一般的歸納思想，以及轉化與化歸思想.

寫在最后

對于“直線與平面垂直的判定”的課堂教學，“知識探究”與“素養提升”同等重要. 教學中應合理創設活動，讓學生感知圖形，產生空間想象，再通過實踐操作、合理推理發現問題，歸納、驗證并生成結論. 在教學中，教師要為學生預留充足的思考空間，鼓勵學生積極參與教學活動，并通過合理設問引導，確保知識完整生成.