揭示思維過程 吃透解題通法

［摘 要］ 提高學生解題能力和思維能力是高三數學復習教學的重要任務. 在具體實施過程中，教師應以學生發展為出發點，重視展現學生的思維過程，引導學生反思解題方法的必然性，并揭示解題的一般方法，從而提高復習教學的效果.

［關鍵詞］ 解題能力；思維能力；思維過程

作者簡介：徐歡（1982—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲南京市教學先進個人稱號.

在高三復習教學中，為了提高學生的成績，大多數教師追求試題的“難、新、多”，這不僅會增加學生的學習負擔，而且會影響學生的解題信心，不利于學生提升解題能力. 其實，高考主要考查的是基礎知識和基本經驗，因此在高三復習教學中，教師應從典型的基礎題入手，充分展現學生的思維過程，根據學生的實際情況制定有效的教學策略，以此通過有效的啟發和指導幫助學生消除思維障礙，切實提高學生的解題能力，發展學生的數學思維. 筆者在帶領學生復習“基本不等式”時，以對話的方式展現學生的思維過程，取得了較好的教學效果，現將教學過程呈現給大家，供參考.

教學背景

基本不等式是高考的重要考點. 在新知教學中已經對基本不等式進行了詳細講解，并進行了典型且重點的練習. 然而，從模擬考試的結果來看，解題效果并未達到預期目標. 基于此，本節課的教學重點是帶領學生解決含兩個參數的最值問題，以期通過專項訓練幫助學生突破難點，提高學生舉一反三的能力. 在具體教學實施中，教師將學習的主動權交給學生，重視展現學生的思維過程，以此通過有效的交流揭示解法背后的“秘密”，讓學生領悟解決此類問題的通性通法，切實提高學生的解題能力.

教學過程

1. 巧借錯誤，引發探究

例題 若正數x，y滿足x+y=1，求+的最小值.

例題提出后，教師預留時間讓學生獨立完成，教師巡視，并投影展示學生的解題過程.

師：我們一起看一看，以下解法是否正確呢？

因為x>0，y>0，所以x+y≥2，即≤.

又+≥2≥12，所以+的最小值是12.

生1：以上解法有問題，這里用了兩次基本不等式，第一次的取等條件為x=y，第二次的取等條件為9x=y. 又x，y均為正數，顯然兩次等號不能同時成立，所以最后的12取不到. （生1分析完解題過程后，運用上述解法解題的學生恍然大悟.）

師：分析得非常好，我們利用基本不等式解決最值問題時切勿忽視取等條件. 看來以上解法行不通，那么，該題我們應該如何解決呢？

生2：因為x+y=1，所以+=+=10++≥10+2≥16，當且僅當3x=y=時取等號.

師：非常好，你是如何想到的呢？

生2：偶然想到的.

師：大家說一說例題待求的是什么？已知是什么？

生3：待求的是“+的最小值”，已知“x，y為正數，且滿足x+y=1”.

師：很好，它們之間存在怎樣的差異呢？（學生沉思）

師：它們的次數是否一致呢？（教師提醒）

生4：x+y=1是一次式，+是負一次式.

師：很好，如何消除差異呢？

生5：將+乘上“x+y”就可以使其次數上升，又x+y=1，這樣相乘后不會改變式子的值.

師：非常好，這樣通過尋找差異、消除差異，我們就發現了蘊含其中的“秘密”. 你們還有其他解題方法嗎？

生6：我是利用消元法求解的. 將x+y=1變形得y=1－x，所以+=+=. 令1+8x=t（t>1），則原式=. 又t>0，所以t+≥6. 所以，≥16.當且僅當t=3時，即x=時取等號.

師：很好，通過消元將原問題轉化為函數問題. 求函數最值的方法眾多，這為解決基本不等式問題帶來了很多便利. 那么，以上兩種解法各自具備什么優勢呢？

生7：基本不等式法計算量小，但要考慮“一正、二定、三相等”；消元法計算量大，不過求函數最值的方法眾多.

教學評析 在教學中，教師精心挑選典型例題讓學生獨立求解，以此了解學生對基礎知識和基本方法的掌握情況，從而為接下來的教學策略制定提供依據. 在此過程中，教師以學生的典型錯誤入手，先是帶領學生分析錯因，然后提供機會讓學生自主尋找解題方案，充分調動學生參與課堂的積極性和主動性，優化學生的個體認知結構，幫助學生積累解題經驗. 另外，教師鼓勵學生應用不同方法解題，并引導學生剖析不同解法，使學生充分感知不同解法的優缺點，從而培養學生思維的靈活性和深刻性.

2. 變式拓展

師：現在，我們來看一下接下來的兩道題該如何求解.

變式題1：若正數x，y滿足2x+y=xy，求x+y的最小值.

變式題2：已知a>0，b>0，且2a+b=1，求+的最小值.

題目給出后，教師首先啟發學生思考以下5個問題：（1）待求的是什么？（2）已知條件是什么？（3）它們之間有何不同？（4）如何轉化？（5）等號成立的條件是什么？

師：誰來說一說，變式題1該如何求解？

生8：“x+y”的最高次數是1，“2x+y=xy”的最高次數是2，可見它們的差異還是在次數上. 對于2x+y=xy，左右兩邊同時除以xy，可得+=1. 通過相乘，我們可以找到齊次式，即x+y=（x+y）+=3++≥3+2，當且僅當y=x時取等號.

師：很好，通過簡單變形已知等式，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，順利地解決了問題. 現在，我們繼續來看變式題2，結合思考的5個問題，你們想到了什么？

生9：將b=1－2a代入+，得到+－2，這樣轉化后，就與前面的兩題一樣了.

師：你是怎么想的呢？

生9：因為與的次數不齊，所以就想到利用已知條件轉化+，就得到了前面的結果.

師：很好. 大家總結一下，我們解決此類問題的關鍵是什么呢？

生齊聲答：尋找差異，消除差異.

教學評析 為了凸顯上述問題的本質，幫助學生尋找解決此類問題的通法，教師精心設計了變式問題，以此讓學生在變化中領悟不變的本質，提高學生舉一反三的能力. 在教學中，教師引導學生深入思考5個關鍵問題，這不僅使學生的解題思路更加條理化，而且有效地促進他們思維能力的提升.

3. 課堂小結

師：今天，我們重點復習了哪些內容？你有哪些收獲？

在該環節中，教師鼓勵學生積極分享自己的思考和收獲，通過互動交流來深化對基本不等式的理解，并增強學習信心.

教學評析 課末，教師安排一段時間供學生思考自己掌握了哪些內容，還存在哪些問題，以便學生更深入地了解自身情況，從而進一步提升和完善自我，提高解題技能.

教學思考

對于高考試題，許多學生用“難、新、怪”來評價，但是考后分析卻發現，其實高考重點考查的就是基礎題. 學生之所以感覺“難、新、怪”，是因為在平時學習中既未認清問題的本質，也沒有掌握解決問題的通法. 當題目略加變化時，就顯得不知所措. 因此，在復習教學中，教師應當注重通性通法的講解，以切實提升學生的解題技能.

在本節課復習中，教師利用對話的方式，充分了解了學生的思維過程和真實想法，進而為“教什么”“如何教”提供了依據. 教師先是呈現學生的錯解，然后讓學生自主分析“錯在哪里”，引導學生尋找到真正的錯因，進而有效避免重蹈覆轍. 隨后，教師給出變式題供學生深入研究，并通過提問引導學生思考解題的通性通法. 這樣，最終實現“掌握一題，通曉一類題”的效果. 相信通過本節課的專項訓練，當學生再解決此類含兩個參數的最值問題時，一定可以得心應手.