基于數(shù)形結(jié)合思想方法的數(shù)學教學設(shè)計與研究

［摘 要］ 數(shù)形結(jié)合是一種廣泛運用的數(shù)學思想方法，它致力于將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀圖形，或者將直觀圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，以便于深入探索. 文章以“橢圓的標準方程”的推導(dǎo)教學為例，從以下幾個方面展開教學設(shè)計與思考：觀察“形”發(fā)現(xiàn)“數(shù)”；量化“形”轉(zhuǎn)化“數(shù)”；根據(jù)“形”探尋“式”；利用“式”構(gòu)造“形”；拓展延伸，聯(lián)結(jié)“數(shù)”“形”.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)形結(jié)合；數(shù)學思想方法；橢圓

作者簡介：李由（1991—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學工作，曾獲得蘇州市教師學科專業(yè)素養(yǎng)競賽一等獎，吳中區(qū)中學數(shù)學骨干教師.

眾所周知，數(shù)形結(jié)合是一種廣泛運用的數(shù)學思想方法，它致力于將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀圖形，或者將直觀圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，以便于深入探索. “數(shù)”與“形”的靈活轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)了“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的顯著成效. 實踐證明，準確掌握數(shù)學對象的“數(shù)”與“形”的特征，并將它們有機地融合與互相轉(zhuǎn)換，有助于降低問題的復(fù)雜性，提高解決問題的效率. 本文以“橢圓的標準方程”的推導(dǎo)教學為例，探討如何培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想方法.

教學分析

橢圓的標準方程的推導(dǎo)教學在橢圓定義建構(gòu)后進行，有些教師認為這就是一個簡單的代數(shù)運算，不需要耗費太多時間與精力在標準方程的推導(dǎo)上. 殊不知，正是這種想法導(dǎo)致學生失去了提煉數(shù)形結(jié)合思想的機會. 想要讓學生掌握知識本質(zhì)，就要用虔誠的態(tài)度去對待每一節(jié)課的每一個教學環(huán)節(jié). 如橢圓的標準方程的推導(dǎo)過程就涉及豐富的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等，如“數(shù)→形”“形→數(shù)”就能揭露每一個等式背后的數(shù)量關(guān)系與幾何意義.

教學實踐

1. 觀察“形”發(fā)現(xiàn)“數(shù)”

課本中關(guān)于橢圓的定義以幾何的形式呈現(xiàn)，學生在獲得橢圓的定義后，可結(jié)合定義自主畫橢圓. 在課堂中，教師可帶領(lǐng)學生利用細線根據(jù)橢圓的定義畫圖，從中抽象橢圓的封閉性、光滑性、對稱性等幾何特性，并在操作中深刻體會細線的長短與兩定點距離的遠近均能影響橢圓的形狀（扁平程度）. 在實操的基礎(chǔ)上，教師可提出以下問題，精煉學生的思維.

問題1 橢圓所具備的幾何特性有哪些？其扁平程度受什么因素的影響？

設(shè)計意圖 若觀察一個橢圓，大部分人只會體會到橢圓的“形”，殊不知，橢圓本身除了具備“形”的特征外還蘊含了豐富的“數(shù)”，顯然，橢圓的“數(shù)”隱藏在其“形”的背后. 在課堂中，教師可帶領(lǐng)學生利用細線來畫各種各樣的橢圓，一方面揭露橢圓的幾何特性及其背后的數(shù)量關(guān)系，深化學生對橢圓性質(zhì)的理解；另一方面讓學生通過對“形→數(shù)”的轉(zhuǎn)化提升思維能力. 如此設(shè)計，為橢圓的標準方程的推導(dǎo)以及圖形間關(guān)系的揭露做鋪墊.

2. 量化“形”轉(zhuǎn)化“數(shù)”

當一個問題得不到解決時，人們會千方百計地創(chuàng)設(shè)出新的方法來應(yīng)對它. 因此，一種新的解題方法與難以解決的問題是相伴相生的關(guān)系，源于解題的實際需要. 探索橢圓的方程，主要從橢圓的基本性質(zhì)出發(fā)，包括其封閉性、對稱性、扁平程度以及頂點等特征進行研究. 實踐證明，橢圓的性質(zhì)在畫橢圓的過程中就有所體現(xiàn)，并不是非要應(yīng)用標準方程去探索. 那么，課堂教學究竟該怎么處理該環(huán)節(jié)的內(nèi)容呢？

問題2 如圖1所示，此為生活中的一個圖形，你能確定這個圖形為橢圓嗎？若確定該圖形為橢圓，那么該橢圓上的哪一點與點A的距離最大？

問題3 如圖2所示，此為一個圖形的一部分，我們稱他為殘缺的曲線. 若想確定這段曲線屬于橢圓的一部分，該怎么辦？若借助直接測量法來確定，是否精確？有沒有更好的確定方法？

設(shè)計意圖 實際需求往往是萌生思維的催化劑，當學生對一個事物充滿疑慮時，則會形成認知沖突. 想要從真正意義上答疑解惑，最好的辦法就是從發(fā)現(xiàn)問題開始不斷嘗試探索新的解決方法，在創(chuàng)新中求突破. 因此，具有探索價值的問題可有效激活學生的思維. 上述兩個問題的提出，讓學生進一步感悟?qū)E圓必須有精確化的理解，而量化橢圓的“形”，轉(zhuǎn)化為精確的“數(shù)”是研究橢圓精確性的主要渠道.

3. 根據(jù)“形”探尋“式”

基于橢圓的幾何特性，可以將橢圓的“中心”設(shè)為平面直角坐標系的原點，進而結(jié)合條件獲得式子+=2a①.

通過觀察①式，可知用－x替代x或用－y替代y，式子均不會發(fā)生改變，同時兩個根式的和恒為定值. 因此，根據(jù)①式可以發(fā)現(xiàn)橢圓的結(jié)構(gòu)具備和諧的對稱美. 如果將①式的兩邊同時平方，隨后逐步推導(dǎo)，那么計算就會變得異常復(fù)雜，難以感受到它的數(shù)學之美.

化簡①式的目的是什么？經(jīng)過化簡，能夠獲得比該式更簡捷的等式嗎？化簡①式的終極目標是探索橢圓的性質(zhì)嗎？針對這三個問題，許多學生感到困惑. 為了確保學生不僅知其然，而且知其所以然，此時應(yīng)當擱置化簡步驟，轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學生深入探索橢圓的方程.

問題4 建立平面直角坐標系后，你們覺得橢圓的方程是怎樣的？

設(shè)計意圖 結(jié)合學生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)和學習經(jīng)驗，引導(dǎo)學生自主推導(dǎo)橢圓的方程——大多數(shù)學生認為橢圓的標準方程形式為Ax2+By2=C2. 該方程為簡化等式指明了方向，并激發(fā)了學生克服運算困難的希望. 若忽略橢圓方程的猜想，則對等式進行變形將變得較為困難，更不用說進行優(yōu)化和簡化了. 隨著猜想的介入，學生的思維在深度思考與探索中不斷發(fā)展與完善，充分凸顯了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢. 因此，此環(huán)節(jié)對培養(yǎng)與發(fā)展學生的批判性思維以及創(chuàng)新意識具有舉足輕重的價值與意義.

4. 利用“式”構(gòu)造“形”

問題5 在解方程時，為什么先要移項，然后再平方？如此操作的好處是什么？我們在化簡時，各個等式所代表的圖形均具有一致性特征，即為一個橢圓，那么誰知道每個式子分別代表了什么幾何意義呢？

許多學生受到思維定式的影響，認為只要將等式兩邊同時平方，等式中的根號就會消失，但會產(chǎn)生“四次項”，這無疑增加了運算的難度. 然而，實際情況果真如此嗎？

將=2a－②的兩邊同時平方并化簡，得a2－cx=a③；將③式的兩邊同時平方并化簡，得a2y2+（a2－c2）x2=a2（a2－c2）④，即+=1⑤.

從運算這個角度來看，上述運算過程并不占優(yōu)勢，但上述運算過程是否有意義呢？

分別分析上述幾個式子的幾何意義：

②式的幾何意義在于，“一動點與F（c，0）之間的距離”等于“常數(shù)2a”減去“該動點與F（－c，0）之間的距離”. 根據(jù)這一關(guān)系，可以明確橢圓的定義.

③式雖然變得復(fù)雜且缺乏明顯的幾何意義，那么是否可以找到方法來揭示其背后的幾何含義呢？鑒于-cx與a的系數(shù)均非1，直接構(gòu)造圖形變得較為困難. 那么，是否存在某種方法可以將其系數(shù)轉(zhuǎn)化為1呢？經(jīng)嘗試，得到=⑥.

關(guān)于⑥式，其幾何意義主要體現(xiàn)在橢圓上的點到定點F（c，0）的距離與到直線x=的距離之比為（常數(shù)）. 反觀④式，雖然看起來非常簡單，但它所蘊含的幾何意義同樣簡單嗎？如果令x′=x，y′=ay，可將④式轉(zhuǎn)化成x′2+y′2=a2（a2－c2），這是通過調(diào)整圓方程上點的橫、縱坐標得到的一個新方程，從而確定橢圓是由圓經(jīng)過拉伸或壓縮變換而來的.

關(guān)于④式，是否存在其他的轉(zhuǎn)化方法？可以通過仔細觀察④式中的每一項來探討這個問題：④式中的每一項都是平方數(shù)，意味著它們與平方差公式存在某種聯(lián)系.

將③式進行轉(zhuǎn)化，可得（a2－c2）x2－a2（a2－c2）=－a2y2，即·=－⑦. ⑦式的幾何意義在于，橢圓上的點與點A（a，0），B（－a，0）的連線的斜率之積為－（常數(shù)）.

設(shè)計意圖 通過對等式的轉(zhuǎn)化，可以得到多種多樣的橢圓的表達形式，而每一種表達形式都蘊含著獨特的內(nèi)涵，說明它們所代表的幾何意義也存在著顯著差異. 值得注意的是，不論它們的內(nèi)涵和幾何意義的差異有多大，其均表示“橢圓”這個圖形. 在這一探索過程中，學生不僅掌握了橢圓的方程，還對描述橢圓的不同方法有了深入的認識. 這種認識的拓展間接地加深了學生對設(shè)定橢圓標準方程的實際意義的理解.

經(jīng)過上述探索，學生深刻認識到橢圓的標準方程并非隨意設(shè)定或創(chuàng)造的，而是在嚴謹?shù)摹皵?shù)”與直觀的“形”的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到的. 同時，橢圓的標準方程以其優(yōu)雅的結(jié)構(gòu)與橢圓的幾何形狀實現(xiàn)了完美結(jié)合. 在此背景下，無論是基礎(chǔ)還是復(fù)雜的計算，都將因數(shù)學之美的融入而顯得更加生動和充滿活力. 學生進一步領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的便捷與趣味，體驗到形式的變換并不會影響數(shù)學本質(zhì)的恒定，這為推動抽象思維和轉(zhuǎn)化思維的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ).

5. 拓展延伸，聯(lián)結(jié)“數(shù)”“形”

問題6 “數(shù)”與“形”是以什么方式實施聯(lián)結(jié)的？

師生活動：共同回顧并歸納在推導(dǎo)橢圓的標準方程時，每一個等式的幾何意義的探索促進了“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系的聯(lián)結(jié). 例如點到直線的距離？圳x－x或；兩點間的距離？圳x－x或；斜率？圳. 等等.

設(shè)計意圖 由于大部分學生大腦中的“數(shù)”“形”信息并不匹配，這就容易導(dǎo)致“數(shù)”與“形”之間出現(xiàn)失聯(lián)的狀態(tài). 通過總結(jié)與歸納，學生嘗試將“式”與“形”之間構(gòu)建一種相對應(yīng)的狀態(tài)，如此更利于輸入和輸出信息. “式”與“形”的有效聯(lián)結(jié)，能使學生更精確地選擇合適的路徑，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的靈活轉(zhuǎn)換. 這種轉(zhuǎn)換將進一步激發(fā)學生的思維，教會他們運用更高效的方法來解決實際問題.

幾點思考

1. 數(shù)形結(jié)合，雙向聯(lián)結(jié)

小學、初中、高中，乃至大學，數(shù)形結(jié)合無處不在. 從解析幾何的視角來看，盡管它采用代數(shù)方法來研究幾何問題，但這并非一個單向的“形→數(shù)”過程. 實際上，每一個“數(shù)”都蘊含著深厚的幾何意義，這是因為這些數(shù)是從幾何實體中抽象出來的. 因此，“數(shù)”與“形”之間存在著一種無處不在的聯(lián)結(jié)關(guān)系. 在日常的教學訓練中，不少師生過于注重解析幾何中冗長且復(fù)雜的計算過程，而忽視了數(shù)形結(jié)合思想的深入理解和提煉，從而遺失了學習解析幾何的核心價值.

2. 數(shù)形結(jié)合的廣泛應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)并非一朝一夕的事情，而需經(jīng)歷一個漫長的過程，教師需將它視為一項長遠的教學任務(wù). 有些教師認為數(shù)形結(jié)合思想主要應(yīng)用在高三專題復(fù)習中，日常教學可以忽略它的存在. 殊不知，這種想法嚴重阻礙了學生對數(shù)形結(jié)合思想的提煉. 實際上，數(shù)形結(jié)合并非應(yīng)試教育的產(chǎn)物，而是知識形成與發(fā)展的自然過程. 因此，大家只有端正看待數(shù)形結(jié)合思想，認識它的廣泛應(yīng)用性，則能有效發(fā)展直觀想象力與邏輯推理能力.

3. 注重“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換

“數(shù)”與“形”的靈活轉(zhuǎn)換為解題帶來了便利，但這種轉(zhuǎn)換并沒有想象中的那么簡單. 例如，式子和圖形的不同表現(xiàn)形式，就可能對轉(zhuǎn)換效果產(chǎn)生影響. 因為代數(shù)式的抽象性特征，與圖形的直觀形成鮮明的對比，很多時候?qū)W生無法發(fā)現(xiàn)式子所蘊含的幾何意義，使得轉(zhuǎn)換困難重重. 再如，將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)表達的過程，需要從圖形中識別出關(guān)鍵信息，并將這些信息轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，這一過程對學生的洞察力提出了較高的要求.

因此，數(shù)學教學不僅要注重層次性，還應(yīng)深入挖掘教學內(nèi)容，通過知識點的縱橫拓展來訓練學生的觀察力和應(yīng)用能力，提高他們對“數(shù)”與“形”的敏感性，這是提升數(shù)形結(jié)合內(nèi)驅(qū)力的關(guān)鍵方法之一.