以生為本，發展學生的數學理解能力

［摘 要］ 在培育核心素養的背景下，數學教學應秉持“以生為本”的教學理念，將發展學生數學理解能力作為課堂教學的首要目標. 研究者借助一道函數題，從以下三方面展開教學：大數據揭露易錯點，設計問題；診斷易錯信息，發現理解偏差；發揮主體作用，增強解題理解.

［關鍵詞］ 以生為本；數學理解；函數

作者簡介：胡瀟（1991—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作.

隨著教育教學手段的革新，“以生為本”的教學理念已經滲透在課堂的方方面面. 在高中數學課堂中發展學生數學理解能力的研究方興未艾. 教師應立足學情、教情與考情，為學生提供充足的時間與空間，鼓勵學生在獨立思考、自主研究、合作交流和實踐探索的基礎上提升數學理解能力，為培育數學學科核心素養奠定基礎.

什么是數學理解？從具體的數學問題來說，數學理解就是明確問題條件與結論，清晰地梳理從條件到結論的每一步邏輯和數據關系，并提煉與領悟數學思想方法的過程. 在實際教學中，部分教師在編制試卷時只關注考點的分布情況，卻忽略了對錯題的整合，從而錯失了評估學生糾正錯誤效果的機會；在講評課上，也往往將注意力集中在如何清晰地講解錯題上，卻忽視了遵循學生的認知發展規律和滿足他們真正的學習需求. 為了避免此類情況的重現，筆者進行了深入的研究. 本文以一道函數題的教學為例，詳細探討如何基于“以生為本”的教學理念，有效地解決錯題問題，從而提高學生的數學理解能力.

教學簡錄

1. 大數據揭露易錯點，設計問題

隨著信息技術的崛起，大數據為數學教學帶來了福音. 例如，智學網的應用能夠迅速展示學生的易錯題以及知識點的掌握情況. 為了了解學生對函數知識的掌握情況，筆者搜集了與函數相關的錯題資源，并根據學生的實際能力水平，設計了一道函數“摸底題”. 這旨在深入洞察學生的學習狀況，為后續的復習和點評工作打下堅實的基礎，從而實現有效的查漏補缺.

摸底題：已知函數f（x）=xlnx，a∈R.

（1）F（x）=在區間［a，2a］上的最大值是多少？

（2）證明：lnx>－，x∈（0，+∞）.

2. 診斷易錯信息，發現理解偏差

通過分析學生的解題情況，發現了以下問題：①在解答第（1）問時，部分學生忽略了隱含條件a>0，并且缺乏繪圖和利用圖形解決問題的習慣. ②將“F（x）=在區間［a，2a］上”轉化成“f（x）在區間［a，2a］上”時，增加了分類討論的過程，其實這個過程不是必需的. ③關于第（2）問，部分學生直接忽略掉了第（1）問的解答結果，將“求證lnx>－，x∈（0，+∞）”的問題轉化成了“求證lnx－+>0，x∈（0，+∞）”的問題. 這種解題思路導致許多學生的思維陷入停滯，無法從真正意義上理解數學.

3. 發揮主體作用，增強解題理解

一旦明確了學生的薄弱點，那么教學就有了方向. 針對學生的實際情況，可做如下預設：請兩名思路清晰、解題完整的學生到講臺上，分別講一講兩個小問的解答過程.

“摸底題”第（1）問的探索：

生1：F′（x）=（1+lnx），當0<x<時，F′（x）<0；當x>時，F′（x）>0. 因此，F（x）的單調遞減區間為0，，單調遞增區間為，+∞.

①當2a≤，即a≤時，F（x）=F（a）=lna.

②當a≥時，F（x）=F（2a）=2ln2a.

③當<a<時，F（x）=max｛F（2a），F（a）｝，F（2a）－F（a）=ln4a2－lna=ln4a. 當<a<時，根據F（2a）>F（a），可得F（x）=F（2a）=2ln2a；當<a≤時，根據F（2a）≤F（a），可得F（x）=F（a）=lna.

綜上所述，F（x）=lnaa≤，2ln2aa>.

師：你們覺得這位同學的解答過程有沒有問題？

生2：導函數F′（x）=（1+lnx）的符號與a有關.

師：關于這個問題，誰能給予補充？

生3：隱含條件a＞0隱藏在區間［a，2a］中，只要能夠挖掘出這個條件，問題便迎刃而解.

師：很好！還存在更簡便的解題方法嗎？

生4：關于最大值的求法可以進一步優化. 根據生1所得的函數單調性，結合圖象可知：F（x）=max｛F（2a），F（a）｝，F（2a）－F（a）=ln4a2－lna=ln4a. 在a>的情況下，F（2a）>F（a），因此F（x）=F（2a）=2ln2a；在0<a≤的情況下，F（2a）≤F（a），因此F（x）=F（a）=lna. 所以，F（x）=lna0<a≤，2ln2aa>.

學生自主展示、點評與優化，整個教學過程自然流暢，學生的思維充滿了張力. 顯然，教學成果超出了預期，預設目標與實際生成內容相輔相成，學生的思維在相互碰撞中得到了發展. 此時，筆者順應學生的思維趨勢，提出了類似的訓練題，起到鞏固知識和提升能力的作用.

訓練題1：假設函數f（x）=a2lnx+ax－x2，a>0.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）分析所有實數a，讓e－1≤f（x）≤e2對x∈［1，e］成立.

“摸底題”第（2）問的探索：

生5：想要證明lnx>－（x∈（0，+∞）），只要證明xlnx>－（x∈（0，+∞））即可. 設f（x）=xlnx，則f′（x）=1+lnx. 當0<x<時，f′（x）<0；當x>時，f′（x）>0. 因此，f（x）的單調遞增區間和單調遞減區間分別為，+∞和0，. 所以，f（x）≥f=ln= －.令h（x）=－，則h′（x）=. 因此，h（x）的單調遞增區間和單調遞減區間分別為（0，1）和（1，+∞）. 所以，h（x）≤h（1）=－. 綜上所述，xlnx>－，即lnx>－.

師：這是一種很不錯的解法！同學們有沒有什么疑問？

生6：f（x）≥f=ln= －，h（x）≤h（1）=－. 不是應該xlnx≥－，即lnx≥－嗎？而原題中待證的不等式卻沒有等號，這究竟是怎么回事呢？

生7：盡管不等式兩邊的函數均為同一個變量x，但它們取最值時，無法同時取到同一個x值.

對于這個說法，有些學生似懂非懂，為了進一步深化學生的理解，筆者借助圖形進行了解釋，使得所有學生恍然大悟——原來利用圖形可以說明一切問題. 筆者趁機融入數形結合思想，并引用華羅庚的名言“形缺數時難入微，數缺形時少直觀”，以此再傳遞數學文化，幫助學生更深入地領會數形結合思想，從而提升他們的數學理解能力.

為了進一步加深學生的理解，幫助學生鞏固和提升知識，筆者又提供了兩道訓練題.

訓練題2：若函數f（x）=－x2+2ex－1+m，g（x）=+x（x>0），請嘗試明確m的取值范圍，讓函數f（x）的圖象位于g（x）的下方.

訓練題3：如果函數f（x）=－x+ex－1，g（x）=－x2+2x－2，請證明g（x）的圖象必然位于f（x）圖象的下方.

4. 教學過程的評價

當學生面臨解題挫折時，恰當的評價可力挽狂瀾，增強學生的自信心，這是幫助學生構建數學知識體系的重要策略. 基于筆者的引導與學生的自主探索，他們充分理解了函數圖象的“高低”：①f（x）>g（x）？圯函數f（x）的圖象恒位于函數g（x）的圖象的上方；②函數f（x）與g（x）的定義域是D，函數f（x）的值域是A，而函數g（x）的值域是B，且A∩B=？圯函數f（x）的圖象恒位于函數g（x）的圖象的上方或下方；③函數y=f（x），y=g（x），x∈D，F（x）=f（x）－g（x），函數f（x）的圖象位于函數g（x）的圖象的上方？圳函數F（x）>0對？坌x∈D成立.

通過探討簡單的一道題，學生不僅清晰掌握了處理此類題目的方法jxuzLbFYkdeYMp9bzklgRQ==，還深入理解了解決此類題目所必需的數學思想.

幾點思考

1. 大數據揭示錯誤，生成教學問題

教育信息化隨著信息技術的崛起已經普及到各門學科的教學中，利用好大數據的功能，不僅能充分分析每個學生的學情，還能發現學生普遍存在的共性問題以及薄弱點. 利用大數據技術，可以在教學過程中有效地捕捉并篩選出學生的典型錯誤. 通過對這些錯誤題目的搜集和整合，能夠創建出具有明確針對性的例題，促進學生的數學學習.

捕捉錯誤資源，生成教學內容后，教師可組織學生進行訓練、點評、反思和提煉，給予學生充足的自我剖析與感悟的時間與空間，從真正意義上提升學生的數學理解能力. 例如本節課，筆者借助智學網提供的數據，針對學生在函數知識掌握上存在的錯誤設計了一系列訓練題，旨在從根本上幫助學生澄清概念、理清思路.

2. 營造教學環境，激活學生思維

在良好的教學環境中，學生通常能夠更加積極地投入到問題的探究之中，從而激活他們的思維，并推動課堂活動的生動發展. 正如常言道，授人以魚不如授人以漁. 教師將課堂的主導權轉移給學生，鼓勵他們自主合作并進行展示，這不僅能促進學生之間的思維碰撞，還能實現共鳴效應.

例如本節課，整個探索過程都以學生為主體，激勵他們主動闡述解題步驟，并通過積極的互動，逐步優化解題方法，加深全體學生對解題步驟的理解，確保每位學生不僅知其然，而且知其所以然，從而促進思維的發展.

3. 給予充足的時間和空間，展示解題思路

創新意識是增強人才競爭力的核心要素，而培育學生的創新才能是時代對教師提出的重大使命. 為了激發學生的創新潛能，首先應為他們提供充分的時間和空間，以便他們能夠自由地展現自己的創造力. 如果教師僅僅為了追求教學進度，而直接向學生揭示結論，那么學生將錯失探索和思考的機會，從而難以真正領悟數學的精髓.

教師在課堂上應多創造機會，鼓勵學生自主探索，并展示一些優秀的解題策略. 這樣做能顯著促進學生思維能力的提升，使他們對解題步驟、解題方法和解題理念有更深刻的理解. 例如本節課，筆者邀請兩位學生分享他們的解題過程，并引導全班同學進行討論. 這一做法不僅提升了學生的思維層次，還幫助他們對問題有了更清晰的認識.

4. 教師適當點撥，把握好教學方向

雖然學生是課堂的主體，但若完全將課堂交給學生，讓他們自主分析、講解解題過程，容易引發一些問題. 例如：①理解表淺，對錯誤根源的揭露不夠明確；②對于同伴提出的疑問，無法給出合理的解釋；③分析、講解的要點不明確，淡化對通性通法的提煉，一味強調解題技巧.

鑒于此，課堂離不開教師的組織、引導與點撥. 以本節課為例，筆者從以下幾個方面著手引導學生：①課前借助大數據搜集錯題資源，確定典型問題；②課堂上引導學生在寬松、民主的氛圍下從容地分析、講解解題思路，并在理性回歸的基礎上提煉數學思想方法，通過有效溝通，深化學生對數學的理解；③課后點撥和帶領學生及時反思，給予學生更多的信心與精神動力.

總之，立足“以生為本”的教學理念，在充分尊重學生個體差異的前提下，精選適當的錯題資源，通過典型例題激發學生的思維活力. 在師生、生生互動和交流中，提高學生的數學思維能力，加深學生對數學概念的理解，是新課程改革背景下數學教學的主要趨勢.