數學建模教學的探索與研究

［摘 要］ 應用數學知識解決實際生活問題，不僅要求使用精確的數學語言來描述和刻畫問題，還必須確保數學抽象與實際問題保持一致. 在數學抽象中引入一些假設，正如著名的“蒙提霍爾悖論”所展示的那樣，往往能激發辯論和深思. 文章以“三門問題”為例，從問題概述、認知矛盾、探索思考、實驗驗證、模型應用、推廣延伸與總結反思等方面展開建模教學的探索與研究.

［關鍵詞］ 數學建模；三門問題；數學應用

作者簡介：高春明（1973—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作，蘇州市學科帶頭人.

建模能力的培育是一項系統工程，需要教師根據學情，基于知識理論基礎，跳出定式思維的框架，幫助學生構建新的認知結構，解決更多的實際生活問題，發展數學學科核心素養. “三門問題”屬于概率問題的范疇，本文以此為例，展開教學實踐與探索，具體談一談如何借助數學課堂發展學生的建模能力.

問題概述

“三門問題”源于美國的一個游戲節目，具體內容為：在電視屏幕的三扇門背后各藏有一件獎品，兩件為山羊，一件是汽車. 猜獎者任選一扇門，并得門背后的獎品. 在猜獎者當場選定一扇門未打開前，主持人打開了另外一扇門，發現后面是山羊. 這時主持人問猜獎者是否要改猜另一扇門. 現在的問題是改猜獲得汽車的概率大，還是不改猜獲得汽車的概率大？［1］

認知矛盾

當學生看到這個問題時，第一反應是“改猜”與“不改猜”的概率是一樣的，均為. 之所以這么認為，是因為主持人打開一扇有山羊的門，剩下的兩扇門背后必定為一只山羊與一輛汽車，那么獲得汽車的概率就是. 但換個思維來分析，當猜獎者第一次選定某扇門時，獲取汽車的概率是，汽車在剩余兩扇門背后的概率是. 當主持人打開一扇有山羊的門時，汽車在剩余兩扇門背后的概率仍舊是. 從這個角度進行探索，改猜獲得汽車的概率就是. 那么，究竟哪種思路是正確的呢？汽車在剩下兩扇門背后的概率究竟是還是呢？這是一個涉及博弈論的問題，大多數學生展現出了濃厚的探索興趣.

探索思考

生1：從這個游戲來看，任何一扇門背后為汽車的概率均為，與猜獎者“改猜”與“不改猜”沒有關系.

生2：我不這么認為，主持人未打開一扇門之前，猜獎者獲得汽車的概率確實為，一旦打開了一扇門，那么剩下的就是“是”與“不是”兩個結論，因此不論猜獎者“改猜”與“不改猜”，獲得汽車的概率均為.

生3：我認為如果“不改猜”，那么獲得汽車的概率為，因為汽車就在其中一扇門的背后；但如果“改猜”，那么獲得汽車的概率就是.

師：看來大家的想法各不一樣，改猜獲得汽車的概率究竟是多少呢？請大家合作討論這個問題.

學生經過激烈的討論與分析，最終達成共識：主持人未打開一扇門之前，猜獎者獲得汽車的概率為；如果主持人隨機打開一扇門，門背后不是汽車，那么在剩下的兩扇門中，其中一扇門背后為汽車的概率仍舊是；如果主持人在明知道門背后不是汽車的情況下打開這扇門，那么這個概率就被打破了.

實驗驗證

實驗驗證流程：用完全一樣的三張卡片分別代替三扇門，卡片背后分別標注“汽車”“山羊”“山羊”，將卡片放在桌上（字朝下），三人為一個小團隊，其中一人參賽、一人記錄、一人主持.

班上共有48名學生，分成16個小團隊，一半小組選擇“改”，另一半小組選擇“不改”，各組實驗100次，分別記錄翻開卡片背后為“汽車”的次數.

實驗發現，選擇“不改”的小組翻得“汽車”卡片的頻率約為33.5%；而選擇“改”的小組翻得“汽車”卡片的頻率約為66.5%. 由此，學生普遍認同生3的觀點更接近實際情況.

設計意圖 面對眾多猜想，最佳的策略就是通過實驗操作或利用信息技術來驗證這些猜想的正確性. 此環節借助實操活動，引導學生親歷問題的探索過程，切身感知門背后為汽車的概率. 如此設計，一方面讓學生自主獲得結論，另一方面促使學生進一步感知數學實驗的獨特魅力，為后續探索更多知識奠定了基礎.

模型應用

1. “枚舉法”的應用

師：“三門問題”是否屬于古典概型？若是，該怎么獲得它的概率呢？

生4：我認為“三門問題”屬于古典概型，原因在于，所有可能的試驗事件數量是有限的，并且每個事件發生的概率是相等的.

師：很好，那么該如何獲得它的概率呢？

關于這個問題，學生從以下兩個角度展開分析.

（1）猜獎者選擇“不改”

對于這三扇門，由于每扇門背后出現汽車的概率相等，因此假設猜獎者堅持選擇門1，則存在表1所示的三種情況.

從表1可以看出，猜獎者堅持選擇門1獲得汽車的概率是.

（2）猜獎者選擇“改”

當主持人打開門2或門3為山羊時，猜獎者“改”后就剩一扇門，同樣具備三種情況（見表2）.

從表2可以看出，猜獎者“改”后獲得汽車的概率變成了，所以選擇“改”獲得汽車的概率更大.

基于以上分析，學生應用樹狀圖（圖1）將“改”與“不改”的概率表示出來，以進一步明晰整個思路.

選擇一門車 ——改——羊不改——車羊1——改——車不改——羊羊2——改——車不改——羊

通過樹狀圖的梳理，問題的結構變得更加清晰，這有助于學生更深入地理解概率的邏輯脈絡，并加深了對“三門問題”模型的認識.

2. “貝葉斯公式”的應用

師：假設猜獎者選擇的是門1，主持人打開的是門2. 設“門i背后有車”與“主持人打開門2”分別為事件A（i=1，2，3）與事件B，則猜獎者選擇“改”與“不改”的概率分別是P（AB），P（AB）. 這里提到的P（AB）與P（AB）該如何獲得？

生5：結合條件概率公式可得P（AB）=，P（AB）=.又AB+AB+AB=B，AB，AB，AB三者間為兩兩相斥的關系，所以P（B）=P（AB+AB+AB）=P（AB）+P（AB）+P（AB），P（A）P（BA）=P（AiB）. 所以，P（B）=P（A）P（BA）. 故P（AB）==，P（AB）==.

結合“等可能性”可得P（A）=P（A）=P（A）=. 又P（BA）=，P（BA）=0，P（BA）=1，所以P（AB）===，P（AB）===.

根據上述分析可知，主持人打開門2后，若猜獎者“不改”，獲得汽車的概率是；若猜獎者“改”，獲得汽車的概率就是. 由此可見，“改”后獲得汽車的概率更大.

推廣延伸

若將“三門問題”中的“三門”更改成“n門”，同時多扇門背后安排有汽車，在主持人同時打開多扇門的條件下，猜獎者是否更改選擇與獲得汽車的概率之間存在怎樣的關系呢？

關于這個問題，用數學語言描述為：若有n（n∈N*）扇門關閉著，有m（m∈N*，m<n）扇門背后是汽車，猜獎者隨機選擇一扇門，在沒有打開前，主持人打開了另外的p（p∈N*，p<n－1）扇門，打開的p扇門中有q（q∈N*，q<m，q≤p）扇門背后是汽車. 此時，猜獎者可以堅持最初的選擇，也可以重新選擇一扇未被打開的門，分析“改”與“不改”獲得汽車的概率情況.

關于此問，學生一致認為借助貝葉斯公式來分析更科學. 在此問中，將“不改獲得汽車”設為事件A，“改后獲得汽車”設為事件B，“猜獎者一開始就選中汽車”設為事件C，“猜獎者第一次沒有選中汽車”設為事件D.

結合題意得P（C）=，P（D）=.

（1）猜獎者堅持最初的選擇，則P（A）=P（C）=.

（2）猜獎者更改選擇，則存在如下幾種情況：

①如果猜獎者一開始所選門背后就是汽車，那么他可以選擇的門數量為“n－p－1”，背后為汽車的門數量為“m－q－1”. 基于此，可明確猜獎者在一開始就選中汽車的情況下，更改自己的選擇而再次獲得汽車的概率是P（BC）=.

②如果猜獎者一開始所選門背后不是汽車，那么他可以選擇的門數量為“n－p－1”，背后為汽車的門數量為“m－q”. 由此可確定，在猜獎者一開始所選門背后不是汽車的情況下，換一種選擇獲得汽車的概率是P（BD）=.

綜合以上分析，可確定猜獎者更改選擇后，獲得汽車的概率是P（B）=P（C）·P（BC）+P（D）·P（BD）=·+·=.

若P（A）<P（B），即<，即m（n－p－1）<mn－nq－m，qn<pm，也就是<.

經過上述分析可以清晰地看到，若猜獎者隨機選擇的一扇門背后為汽車的概率大于主持人所打開的門背后為汽車的概率，則更改初始選擇會提高獲得汽車的概率. 在這種情況下，堅持初始選擇則會降低獲得汽車的概率. 反之，若主持人所打開的門背后為汽車的概率高于猜獎者隨機選擇的一扇門背后為汽車的概率，則堅持初始選擇會提高獲得汽車的概率.

總結反思

通過對“三門問題”的探討以及對“n門問題”的分析，可以看見，在培養學生數學建模能力時，教師應特別關注以下四點：

（1）在課堂上確保為學生提供充分的時間來閱讀和審視題目，鼓勵他們獨立思考和相互交流，學會從日常生活實踐中抽象出數學問題.

（2）精心挑選富有吸引力的模型，以激發學生的探究欲望，引導他們的思維經歷從表層到深層的轉變，逐步增強學生的建模意識，為將來的模型應用做鋪墊.

（3）加強數學實驗活動或計算機應用，以進一步驗證假設，揭示數學規律，并為解決模型問題創造有利條件.

（4）加強對學生思維的引導和模型的拓展，以進一步深化學生對模型的理解和應用.

總之，培養學生數學建模能力應當植根于教學實踐之中，通過引導學生獨立思考、合作交流以及深入探索，不斷提煉和優化模型，從而培養和發展他們的模型意識. 這為真正實現深度學習理念奠定了基礎. 引導學生運用邏輯思維和表達方式去觀察、分析和闡述實際問題，是提升學生“三會”能力的核心，也是增強學生建模技能的關鍵. 這種教學方法充分彰顯了數學教育的深遠價值.

參考文獻：

［1］ 何書元. 三門問題［Ｊ］. 數學通報，2015，54（3）：1-2.