CPFS結構下的高中數學概念教學實踐與思考

［摘 要］ 數學概念是組成數學這門學科的基石，是學生進行數學思維活動的基礎，更是數學教學不可或缺的內容. 結合CPFS結構理論，以高中數學的導數概念教學設計為例，以概念形成視覺化、概念理解多元化、概念應用自動化三種策略，引導學生進行學習實踐，并對CPFS結構應用于高中數學概念教學進行反思.

［關鍵詞］ CPFS結構；概念教學；導數的概念；實踐與反思

問題提出

隨著《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）的穩步實施，高中數學課堂生態和教學模式正在發生積極改變.然而，在現實的概念教學中，依舊存在這樣的教育現象：教師滿足于“一個定義，三項注意”的傳統教學模式，沒有從概念發生、發展及形成的過程來設計教學活動，教學中注重應用而輕視理解；學生只滿足于對概念的記憶，沒有抓住概念的本質和內涵，更沒有在頭腦中形成關于某一概念的結構體系，導致學生學習完概念后，只知道概念表層的意思，卻不會靈活運用. 如何讓概念教學更貼合學生的認知經驗？在概念教學中，如何讓教師的教、學生的學深度融合？研究表明，CPFS結構理論是解決以上一系列問題的可行途徑，為教師幫助學生更好地理解概念本質提供了新思路.

CPFS結構與高中數學概念

1. CPFS結構及功能概述

CPFS結構是基于概念域、概念系、命題域、命題系而形成的一種認知結構［1］. 個體的CPFS結構就是學生將數學知識內化到頭腦中的知識網絡，是數學學習中特有的一種認知結構，融知識與方法于一體，是知識理解的基礎. CPFS結構的功能包括：促進知識的存儲與提取，加深對概念的理解，便于知識的遷移，以及推動思維的發展.

2. 數學概念

數學概念是人腦對客觀事物中有關數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，主要是直接從客觀事物的數量關系和空間形式反映得到的，或是在數學理論基礎上經過抽象獲得的，具有抽象性、多元性、層次性和系統性，它是數學思維的基本形式，構成數學知識的基礎［2］.

3. CPFS結構與高中數學概念教學

數學是一門以抽象思維為主的學科，概念則是發展數學抽象思維的起點，高中數學概念眾多，讓學生體會概念發生、發展的過程，提高對概念本質的理解顯得尤為重要. 眾所周知，概念并不是獨立存在的，而是與各種概念、命題、思想方法有機結合的一個知識體系，要讓學生學好數學就必須掌握好概念與概念、命題與命題之間的關系［3］，幫助學生建立起良好的認知結構. 在眾多認知結構中，CPFS結構是數學學科特有的一種認知結構，個體形成的CPFS結構是數學知識理解的基礎. 所以，構建良好的CPFS結構，并提出能夠完善CPFS結構的概念教學策略，是幫助學生真正理解數學概念本質的重要途徑.

CPFS結構下的導數概念教學設計

本節課是《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊（2019）（人教A版）》（下文簡稱人教A版教材）第五章5.1.2節的第一課時——導數的概念. 導數是微積分的核心概念之一，是現代數學的基本概念，是研究函數性質的基本工具，有極其豐富的實際背景和廣泛的應用.

1. 學習內容及認知分析

學生在高一年級物理課程中學習過瞬時速度，并且在之前學習函數零點時，已經積累了使用“二分法”來逼近函數零點的實踐經驗. 因此，學生已經具備了一定的認知基礎. 導數的概念本質就是瞬時變化率. 在人教A版教材中，由于未介紹極限的形式化定義及其相關知識，因此學生很難理解極限的形式化定義. 本節課旨在通過實際案例，引導學生經歷平均變化率和瞬時變化率的探究過程. 通過親自計算和運用信息技術工具，學生將體驗逼近思想的應用，并深刻理解數學中的極限概念，從而抽象并形成導數的基本認識.

2. CPFS結構下的學習目標設計

依據新課標內容要求并結合學生的認知水平，基于CPFS結構確定本節課的教學主線：借助高臺跳水問題，由平均速度過渡到瞬時速度，明確瞬時速度的含義（概念域）→借助拋物線切線的斜率問題，由割線斜率過渡到切線斜率，明確切線斜率與瞬時變化率的關系（概念域、概念系）→從具體案例中抽象出導數的概念（命題域）→導數概念的高度抽象，不僅需要深入理解，還必須強化導數概念的“多元聯系”（命題域、命題系）.

結合學生的認知經驗，確定CPFS結構下的導數概念學習目標路線圖（如圖1所示）.

3. 基于思維進階的教學活動設計

基于思維進階，設計CPFS結構下的導數概念教學活動流程圖（如圖2所示）.

CPFS結構下的導數概念教學過程

學習活動的設計旨在服務于教學目標，依據CPFS結構來創設合適的背景情境，并提出合理的問題. 從解決問題的角度出發，引導學生參與相應的學習活動.

環節1 呈現背景，提出問題

背景1 請同學們回顧高臺跳水的例子：在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h（t）= －4.9t2+4.8t+11.我們發現，運動員在0≤t≤這段時間內的平均速度為0，而實際上，運動員在這段時間內并不是靜止的. 這說明平均速度不能準確反映運動員在這段時間內的運動狀態.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：利用學生頭腦中的舊知識（平均速度只能粗略地描述某段時間內的運動狀態），引導他們獲得新知識（需要精確刻畫運動員在某一時間段內的運動狀態），激發學生的認知沖突，并在此基礎上建立兩者之間的聯系，從而潛移默化地建立CPFS結構.

問題1 用一個什么樣的量可以刻畫物體在某一時間段內的運動狀態？

師：數學源于生活，讓我們一起看一個視頻——高速公路上的測速儀.

師：測速儀是如何在汽車經過的瞬間，測量出其“即時速度”的呢？這里所測量的速度是瞬時速度嗎？怎樣才能更好地表示瞬時速度呢？

（在學生回答的基礎上）教師講述測速儀的原理，利用激光反射，測量出汽車在給定時間里的移動距離，從而得出其在這段時間內的平均速度. 實際上，瞬時速度是無法通過儀器精確測量的. 我們通常采用平均速度作為瞬時速度的近似值，為了使平均速度更準確地反映瞬時速度，應當盡可能縮短測量的時間間隔.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：由生活實例中的測速原理，引導學生從平均速度入手，尋求解決瞬時速度的思路，說明兩者具有緊密的聯系. 使問題具體化，為求運動員在t=1 s時的瞬時速度做鋪墊，豐富學生頭腦中的CPFS結構.

師：設汽車在t時刻附近某一時間段內的平均速度為，可以想象，如果不斷縮短這一時間段的長度，那么將越來越趨近于汽車在t時刻的瞬時速度.用同樣的方法，我們可以計算運動員在t=1 s的瞬時速度嗎？

（1）自己動手，解決問題

教師向學生提出數學實驗任務：根據高臺跳水的例子，請完成數學實驗記錄單（表1）中t=1 s附近的平均速度的計算，觀察平均速度的變化趨勢，并說明理由. （當Δt取不同值時，計算平均速度=的值.）

展示一個小組的實驗結果，并讓一位代表說說其發現：“當Δt趨近于0時，平均速度趨近于一個確定的值-5.”再組織學生討論平均速度的變化趨勢，并總結：“根據物理知識，當Δt無限趨近于0時，平均速度無限趨近于瞬時速度. 從而得出：當t=1 s，Δt無限趨近于0時，平均速度無限趨近于一個定值，即運動員在t=1 s時的瞬時速度.”

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：通過計算，讓學生切身體會逼近思想，明確瞬時速度的含義，這是構建導數概念的CPFS結構的第一步，必須給學生留下深刻的印象.

（2）更多數據，感受規律

師：我們用這個方法求得運動員在t=1 s時刻附近的平均速度逼近一個確定的常數，那么，其他時刻呢？請大家按照我們剛才探究t=1 s時刻附近的平均速度的過程，計算t=2 s時刻附近的平均速度（小組展示計算結果）.

？搖小組展示計算結果：

==－14.8－4.9Δt，當t=2 s，Δt無限趨近于0時，平均速度無限趨于一個確定的值-14.8.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：通過再次實驗，使學生感受在Δt→0時，平均速度趨近于一個常數，并理解這個常數的意義，從感性上獲得求瞬時速度的方法. 獲取更多的數值有助于學生揭示其中所蘊含的規律，是鞏固CPFS結構的概念域.

（3）聯系激活，螺旋上升

師：怎樣表示運動員在t時刻的瞬時速度？

教師帶領學生回顧探求t=1 s和t=2 s時瞬時速度的全過程，獲得t=t s時瞬時速度的形式化表示. 教師介紹符號，并解釋符號的含義：== －9.8t－4.9Δt+4.8. 顯然，當Δt無限趨近于0時，－4.9Δt也無限趨近于0，所以無限趨近于－9.8t+4.8.我們把這個常數叫做“當Δt無限趨近于0時，=的極限”，記為=－9.8t+4.8.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：從特殊時刻t=1 s和t=2 s到任意時刻t=t s的瞬時速度的形式化表示，引入極限的概念. 在從特殊到一般的過程中，讓學生體會研究同一類問題的思想方法是相同的，這是構建導數概念的CPFS結構的第二步.

環節2 歸納抽象，構建概念

師：前面我們以物理為背景，從“數”的角度進行了研究. 下面我們以幾何為背景，從“形”的角度直觀感受無限逼近的思想.

背景2 請回顧并說出函數從x到x的平均變化率公式. 如果用x與增量Δx表示函數的平均變化率，其公式是怎樣的？

問題2 你認為應該如何定義拋物線f（x）=x2在點P（1，1）處的切線？

師：與研究瞬時速度類似，為了研究拋物線f（x）=x2在點P（1，1）處的切線，我們通常在點P（1，1）的附近任取一點P（x，x2）考察拋物線f（x）=x2的割線PP的變化情況.

師：（借助信息技術演示圖3）我們發現，當點P無限趨近于點P時，割線PP無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置處的直線PT稱為拋物線f（x）=x2在點P（1，1）處的切線.

師：我們知道斜率是確定直線的一個要素，如何求拋物線f（x）=x2在點P（1，1）處的切線PT的斜率呢？

從上述切線的定義可見，拋物線f（x）=x2在點P（1，1）處的切線PT的斜率與割線PP的斜率有內在的聯系. 記Δx=x－1，則點P的坐標是（1+Δx，（1+Δx）2）. 于是，割線PP的斜率k===Δx+2.

師：我們可以用割線PP的斜率k近似地表示切線PT的斜率k，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔Δx來提高近似表示的精確度. 請大家完成表2所示的數學實驗記錄單，并說明割線斜率的變化趨勢.

表2 數學實驗記錄單

生：當Δx無限趨近于0時，割線PP的斜率無限趨近于點P處的切線PT的斜率k.

師：事實上，由k==Δx+2可以直接看出，當Δx無限趨近于0時，Δx+2無限趨近于2. 我們把2叫做“當Δx無限趨近于0時，k=的極限”，記為=2.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：借助信息技術使學生直觀感受“平均變化率”逼近“瞬時變化率”的過程，用運動變化的觀點研究問題，體會極限思想. 這是構建導數概念的CPFS結構的第三步.

環節3 抽象概念，數學表達

師：如果將前面兩個變化率問題中的函數都用y=f（x）來表示，那么函數y=f（x）在x=x處的瞬時變化率怎樣表示？

教師引導學生體會它們的共同特征，并將其抽象為數學問題. 由教師給出導數的定義：一般地，函數y=f（x）在x=x處的瞬時變化率是=，我們稱它為函數y=f（x）在x=x處的導數，記作f′（x）或y′，即f′（x）==.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：學生體驗了平均速度趨近于瞬時速度，割線斜率趨近于切線斜率的過程. 他們通過觀察、分析、歸納和抽象，最終確立了導數的概念. 這是構建導數概念的CPFS結構的最關鍵一步.

環節4 概念應用，思維進階

例題 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱. 已知在第x h時，原油的溫度（單位：℃）為y=f（x）=x2－7x+15（0≤x≤8）. 計算第2 h、第3.5 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：三個計算結果分別為正數、負數、零，讓學生感受到導數值的多樣性，體會瞬時變化率的實際意義；引導學生用導數解決實際問題，深化對導數的理解，深刻體會導數的本質，進而豐富導數的CPFS結構.

環節5：內化遷移，融合提升

師：同學們，就今天這節課的學習，我們一起完成一份調查報告（調查報告表如表3所示）.

設計意圖 構建CPFS結構的切入點：深度融合教師的教與學生的學，真正促進學生的認知發展和知識網絡構建，完善導數概念的CPFS結構.

CPFS結構對高中數學概念教學的啟示

數學概念是高中數學的核心內容，學生形成優良的CPFS結構對提高數學概念理解是很有幫助的.

1. 從概念形成視覺化策略，關注認知起點，構建CPFS結構

CPFS結構強調進行概念教學時，應充分關注學生現有的認知水平，判斷學生接受新知的能力，為更好地進行概念教學做好準備.數學概念并非全然新穎，一些是在既有的知識體系中通過抽象思維提煉而成的. 以導數的概念為例，學生需構建導數概念的知識體系，以便與其他概念形成相互關聯的知識網絡. 由于數學概念本身具有高度的抽象性，學生一般很難理解其真實內涵，因此從概念形成視覺化角度，以直觀的方式將抽象的知識以數學圖形、函數圖象、實物圖形加以呈現，或者借助信息技術工具，將其變化的過程以動態的方式進行展示，化抽象為形象，凸顯概念形成、發展過程. 經歷從特殊到一般或者從抽象到具體的過程，有助于學生快速形成“概念域”和“概念系”，從而構建良好的CPFS結構.

2. 從概念理解多元化策略，重視概念本質，豐富CPFS結構

高中數學概念教學應體現出概念的本質和外延，個體形成的CPFS結構是知識網絡更深層的刻畫.在傳統的概念教學中，許多學生僅僅滿足于記憶概念，而未能深入理解其本質，結果在學習完概念后，無法靈活地應用它們. 研究表明，倡導多角度、深層次揭示數學本質的CPFS結構，是促進對概念本質理解的有效途徑.首先，概念教學應在多種背景下揭示概念的內涵，從感性認識逐漸上升到理性認識. 所以，在設計概念教學時使用從特殊到一般的形式. 其次，從各個層次中揭示概念的內涵.由于數學概念具有發展性、復雜性和抽象性，隨著學生不斷積累知識，他們對數學概念的理解深度也會相應地提升. 一個更完善的CPFS結構有助于學生更深層次地理解概念. 再次，在不同結構中揭示概念的內涵. 代數學和幾何學，數字和圖形之間可以建立對應關系，在不同的結構中形成廣義的概念域，幫助學生豐富CPFS結構.

3. 從概念拓展自動化策略，體會應用價值，完善CPFS結構

數學概念雖然看起來紛繁復雜，但在CPFS結構理論的指導下，通過概念系和命題系的構建，能夠透過現象看本質. 通常，學生的概念系和命題系一般是在數學知識的應用中形成的. 數學概念和命題的應用可以劃分為低層次和高層次. 低層次是知覺水平的應用，是指學生對概念和命題自身結構的理解；高層次是思維水平的應用，是指學生將所學知識進行拓展，涉及概念、命題、方法、思想等.優良的CPFS結構表明，大腦中存儲大量知識，通過知識網絡中各個知識節點之間的相互激活，為知識遷移提供了通道. 個體CPFS結構中的概念域、概念系、命題域、命題系揭示知識之間的聯系，有利于知識遷移，有助于學生對數學概念的理解和應用，從而完善CPFS結構.

本節課圍繞CPFS結構下的導數概念進行教學實踐，通過兩個實例背景引導學生抽象并形成導數的概念，旨在引導學生經歷“觀察—歸納—抽象—概括”的探究過程，體驗從特殊到一般、從具體到抽象的研究方法，進而培養學生的批判性、靈活性和獨創性的數學思維品質.

參考文獻：

［1］ 喻平. CPFS結構與數學命題教學［J］. 教育研究與評論（中學教育教學），2016（2）：5-10.

［2］ 王立文，范后猛，盧昌菊. 對幾個數學概念的理清［J］. 中小學數學（初中版），2013（Z1）：19-21.

［3］ 喻平. 論數學命題學習［J］． 數學教育學報，1999（4）：2-6+19.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃普教重點課題“指向關鍵能力的高中數學主題單元式教學的實踐研究”（B/2021/02/34）階段性研究成果；江蘇省徐州市教育科學“十四五”規劃課題“指向深度學習的高中主題單元式教學的實踐研究”（GH14-24-L037）；江蘇省新沂市2024年度“十四五”規劃課題“指向深度學習的高中數學主題單元式教學的實踐研究”（xjkg2024Z16）.

作者簡介：吳玉章（1977—），中小學高級教師，從事數學教學與考試命題研究工作.