技術(shù)賦能：兒童視覺空間推理能力的提升策略研究

摘要：數(shù)學(xué)推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一。視覺空間推理有機(jī)結(jié)合了空間觀念、幾何直觀和推理意識，是數(shù)學(xué)課程改革的新方向。在實際教學(xué)中，由于受到種種制約或陷入思維誤區(qū)，導(dǎo)致視覺空間推理的學(xué)習(xí)常常被忽略。教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)的優(yōu)勢，從技術(shù)與視覺空間推理的聯(lián)系入手，以實際應(yīng)用的優(yōu)質(zhì)策略，打破視覺空間推理中的種種限制，讓技術(shù)助力思維主動參與視覺空間推理能力的發(fā)生和發(fā)展，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；視覺空間推理；信息技術(shù)；數(shù)學(xué)推理

視覺空間推理在我們的生活中發(fā)揮著重要的作用。當(dāng)我們想要繪制所在地區(qū)或?qū)W校的地圖時，需要考慮不同地標(biāo)在平面圖中的相對位置和大小，這是一種可視化呈現(xiàn)的視覺空間推理。當(dāng)我們給別人指路時，需要將視角從第一人稱（自己）轉(zhuǎn)換到第三人稱（他人），這是一種運動相對關(guān)系的視覺空間推理。當(dāng)我們挑選盲盒時，想要選到我們心儀的商品，可以通過晃動、稱重或聽聲等方式來增大選中幾率，這是借助多重信息對物體的特征描述的視覺空間推理。當(dāng)下，智能汽車流行的自動駕駛功能，就是視覺空間推理在發(fā)揮重要作用。視覺空間推理不僅可以幫助學(xué)生處理二維平面、三維空間中的信息，探究信息背后的特征、關(guān)系，也能為其解決問題提供建設(shè)性推斷和決策。

一、視覺空間推理的概念、內(nèi)涵與特征

（一）視覺空間推理的概念

國內(nèi)學(xué)者張明華團(tuán)隊以數(shù)學(xué)推理的潛在性為特性，按知識的四大領(lǐng)域?qū)⒁曈X空間推理劃分為四大板塊：代數(shù)推理、空間推理、數(shù)據(jù)推理和綜合推理。這樣的劃分，做到了板塊明確，但還需對其做細(xì)致的區(qū)分。加拿大教育部門在2014年發(fā)布的教育文件中提到：“空間推理指那些存在于空間中的對象及個體的位置和運動（心理上/身體上）。”這里強(qiáng)調(diào)了空間推理的個體認(rèn)知和心理感受。從字面上看，視覺空間推理和空間推理是否存在區(qū)別？華東師范大學(xué)孔企平教授指出：視覺空間推理和可視化思維、空間推理和視覺推理等并不需要作嚴(yán)格意義上的區(qū)分，視覺空間推理可以看成是這些能力的總和，視覺表象可以看成是空間推理的重要基礎(chǔ)。

綜上來看，視覺空間推理是基于視覺信息，以推理的方式對空間中的圖形和物體的特征、位置關(guān)系和運動等數(shù)學(xué)問題展開思考的一種數(shù)學(xué)交叉核心能力（如圖1）。

（二）視覺空間推理內(nèi)涵

基于小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容，結(jié)合國內(nèi)外學(xué)者對于視覺空間推理的研究，筆者認(rèn)為，視覺空間推理可以劃分為三種“基本形式”，即可視化呈現(xiàn)、心理旋轉(zhuǎn)和空間定位。

形式一：可視化呈現(xiàn)，是視覺空間推理最基礎(chǔ)的能力要素。比如，小學(xué)階段研究的圖形運動中的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等；直線間的位置關(guān)系中的垂直、平行、相交等；圖形之間的翻折、展開、折疊、變形和組合等，這些既包含了外部表征，也涉及內(nèi)部（心理）表征。它以視覺表象為依據(jù)，將外部信息儲存在大腦中，憑借記憶，進(jìn)行一系列的加工和創(chuàng)造，幫助學(xué)生解決各式各樣的數(shù)學(xué)問題。

形式二：心理旋轉(zhuǎn)，是視覺空間推理中復(fù)雜程度高、對空間想象和邏輯推理要求較高的能力因素。主要涉及不同維度之間的心理轉(zhuǎn)換，可以細(xì)分為三個主要層次：一是從二維平面的信息推理三維空間物體的樣子，如“觀察物體”一課，即三視圖問題；二是從三維空間的信息推理二維平面的情況，如空間中的物體在不同視角看到的二維圖形是怎樣的，即投影問題；三是某些復(fù)雜問題既需要對二維平面進(jìn)行分析，還需要結(jié)合三維空間的運動。

形式三：空間定位，是指學(xué)習(xí)者需要改變自己的視角，且自我中心參照系會隨著環(huán)境的變化而變化，但相對位置關(guān)系不變。比如“描述行走路線”一課中，學(xué)生需要以“第三視角”描述正確路線，就需要使用“東西南北”這樣的詞匯，而不是“前后左右”這樣的詞匯。

不難看出，三種形式中心理旋轉(zhuǎn)能力和空間定位能力的區(qū)別在于心理旋轉(zhuǎn)強(qiáng)調(diào)的是圖形或物體的運動，觀察者的視角沒有變化，空間定位能力則要求觀察者改變自己的視角來思考問題。至于可視化呈現(xiàn)能力和心理旋轉(zhuǎn)的區(qū)別在于心理旋轉(zhuǎn)的復(fù)雜性。

（三）視覺空間推理特征

特征一是邏輯性。視覺空間推理遵循演繹和歸納這兩種基本的推理形式，既包含邏輯的思辨，也包含經(jīng)驗的推論。如學(xué)生根據(jù)平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形的面積公式，這是演繹推理；而類似學(xué)生在釘子板上研究三角形、四邊形、五邊形的面積等，從而總結(jié)出多邊形的面積公式，這是歸納推理。在小學(xué)階段，嚴(yán)密規(guī)范的演繹推理較少涉及，主要以歸納推理為主，本文也主要研究后者。

特征二是表象性。表象具有直觀性，它包含記憶表象和想象表象。學(xué)生在空間推理的過程中需要依賴記憶，對大腦中感知的事物進(jìn)行再現(xiàn)、加工或改造，從而形成新的表象。這不僅對學(xué)生的觀察能力提出要求，還考驗其記憶水平。當(dāng)空間中信息量大，變化快，場景復(fù)雜時，就給學(xué)生建立表象帶來了困難，這也是本文要重點突破的難點。

特征三是合理性。如果說前兩個特征是對思維方式和研究對象的歸納，那么視覺空間推理和大多數(shù)思維活動一樣，都需要驗證其結(jié)果的合理性。它既包含了對學(xué)生推理過程的審視，也包含了對推理結(jié)果的檢驗，同時這樣的驗證更多集中在空間領(lǐng)域中，且驗證方式有時需要信息技術(shù)的支持。

二、基于信息技術(shù)的視覺空間推理教學(xué)策略應(yīng)用

（一）創(chuàng)設(shè)游戲情境，激發(fā)推理意識

基于信息技術(shù)的視覺空間推理教學(xué)最大的優(yōu)勢就是可以創(chuàng)設(shè)良好的推理環(huán)境。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師往往重視推理的過程，但是卻忽視了學(xué)生推理的緣起，習(xí)慣于直接讓學(xué)生開始進(jìn)行推理，這樣看似節(jié)省時間，實則是把學(xué)生和意識割裂開了。這也導(dǎo)致后續(xù)學(xué)生面臨相似的問題或情境時，難以產(chǎn)生用推理的思維解決問題的意識。因此，利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)貼合推理任務(wù)的情境，不但能激發(fā)學(xué)生的推理積極性，還能讓他們理解為什么要用推理解決問題。

2021年，Steam（蒸汽游戲）平臺發(fā)布了由HazelightStudios開發(fā)的動作類冒險游戲《雙人成行（ItTakesTwo）》。游戲需要兩名玩家一同冒險，游戲中男主科迪和女主小梅被魔咒變成了玩偶，困在一個奇幻世界里，兩人需要一起克服挑戰(zhàn)，才能重返現(xiàn)實世界。在游戲中的第二章節(jié)——“太空之旅”中就涉及大量的視覺空間推理的場景。筆者以此為例，設(shè)計了以兩人小組制合作完成挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)方式，并提供了如下情境。

師：（播放《雙人成行（ItTakesTwo）》游戲片段）為了返回現(xiàn)實世界，男主和女主接下來要前往哪里冒險？

生：奇幻的太空。

師：在太空冒險可不簡單，男主和女主分別獲得了什么道具，有什么用途？

生：女主獲得了無重力鞋子，可以踩在任意的墻壁上。男主可以任意變大和變小。

師：變大變小很好理解，“無重力鞋子”是什么意思？

生：就是沒有重力的限制，穿上這個鞋子就可以吸在墻上了，不會掉下來。

師：從科學(xué)上看是這樣，從數(shù)學(xué)的角度還有更多的信息（出示圖2）。

師：從圖2中看，這樣的能力可能會對挑戰(zhàn)帶來哪些問題？

生：玩家的視角會發(fā)生變化。

師：還有嗎？

生：不同的能力需要在合適的地方使用。

這里學(xué)生雖然沒有明確提出“信息”這個詞，但是已經(jīng)意識到空間中的挑戰(zhàn)需要關(guān)注空間中的信息選擇合適的技能，為后續(xù)的推理打好了基礎(chǔ)。圖2中的左圖是科迪的能力圖示，隨著他變大變小時體積和體重的變化，相應(yīng)對空間物體的操作能力也會隨之變化。圖2中的右圖是小梅的能力，由于無重力鞋子可以擺脫重力，附著在垂直或傾斜的平面上，且游戲界面是分屏操作的，玩家視角為3D視角和第一視角自由切換，這樣就會帶來一個問題——視角不一致。當(dāng)女主走上與水平面垂直的立面時，我們看到的是女主視角，此時男主看到的女主與自己是異面垂直的位置關(guān)系。這樣的位置關(guān)系在一般的空間中并不常見，因此，筆者選擇這部分游戲關(guān)卡旨在填補(bǔ)學(xué)生視覺空間推理的思維空白。

（二）明確挑戰(zhàn)任務(wù)，驅(qū)動推理意識

1.基于內(nèi)涵：圍繞推理形式展開設(shè)計

游戲情境喚醒了學(xué)生的空間推理意識，讓學(xué)生開始有意識地關(guān)注空間中的信息。緊接著，教師要提供具體的挑戰(zhàn)任務(wù)，驅(qū)動學(xué)生展開對信息識別和加工。筆者基于視覺空間推理的內(nèi)涵，結(jié)合游戲內(nèi)容，設(shè)計了三道關(guān)卡（見表1）。

關(guān)卡的難度曲線平緩上升，推理形式從單一走向復(fù)合，保證學(xué)生在完成挑戰(zhàn)時興趣和情緒層層遞進(jìn)，不斷放大游戲體驗和學(xué)習(xí)體驗，在不自覺中提升素養(yǎng)與能力。

2.依托理念：“先思考，后操作”實施推理教學(xué)

以游戲技術(shù)為素材進(jìn)行視覺空間推理教學(xué)時，要特別注意技術(shù)是工具而不是目的，技術(shù)是為了填補(bǔ)傳統(tǒng)視覺空間推理教學(xué)的空白，游戲的過程是為了調(diào)動學(xué)生運用推理意識解決問題的積極性。也就是說，教師不能不假思索地直接讓學(xué)生開始上機(jī)操作，這樣會讓學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到游戲本身上，假設(shè)學(xué)生通過不斷嘗試找尋到關(guān)卡的破解方法，但實際上并沒有任何推理的思維活動，也就感受不到推理的存在。為了規(guī)避這樣的思維誤區(qū)，教師應(yīng)當(dāng)在動手操作前讓學(xué)生先進(jìn)行推理思考，明確合理的思路，然后以此為依據(jù)實際操作，在操作中驗證自己推理結(jié)果的正確性。只有這樣，才能讓學(xué)生對推理本身產(chǎn)生深刻的感受。以第一關(guān)“快，把管道接上！”為例，筆者進(jìn)行了如下教學(xué)。

教師出示第一關(guān)游戲場景（如圖3）。

師：從游戲畫面里你發(fā)現(xiàn)了什么有用的信息？

生：管道有兩處斷裂了，這里有一些按鈕。

教師演示按下按鈕1一次，提問：看到了什么？

生：斷裂的兩處管道旋轉(zhuǎn)了，有一處剛好接上。

師：怎么旋轉(zhuǎn)的？

生：順時針旋轉(zhuǎn)了90°。

教師再次按下按鈕1。（學(xué)生發(fā)出惋惜聲）

師：發(fā)生了什么？

生：剛接上的水管斷開了。

師：這兩根水管的旋轉(zhuǎn)有什么共同點？

生：是同時進(jìn)行的。

師：像這樣，兩根水管同時旋轉(zhuǎn)，繼續(xù)按下按鈕1，它們可能會同時接上嗎？請做出判斷，并說明理由，可以畫一畫，寫一寫。

“先思考，后操作”的意圖是讓推理占據(jù)主導(dǎo)地位，教師在演示時，學(xué)生會不自覺地捕捉變化的信息，分析哪些信息有用，并結(jié)合目標(biāo)探索解決的辦法，整個過程就是在進(jìn)行視覺空間推理。上述對話中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下先對水管的運動規(guī)律進(jìn)行了初步歸納，有了這樣的鋪墊，筆者適時拋出核心問題“繼續(xù)按下按鈕1，它們可能會同時接上嗎”，就是在鼓勵學(xué)生按照這樣的規(guī)則去推演接下來可能會發(fā)生的情況，并從中尋找解決問題的辦法，在不自覺中讓學(xué)生運用推理意識展開對信息的加工與處理。

3.數(shù)學(xué)方法：“圖示化表達(dá)”呈現(xiàn)推理過程

有了前面的鋪墊，學(xué)生此時的目標(biāo)十分明確，就是探索出兩處水管的運動規(guī)律。學(xué)生對信息處理的方式包含：圖像、文字、符號或者數(shù)學(xué)語言等。下面是學(xué)生推理的圖解過程（見表2）

這里，學(xué)生用形狀替代水管，并使用枚舉法畫出了水管前五次的運動結(jié)果。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第一次和第五次的結(jié)果重復(fù)了，且沒有一組符合目標(biāo)方向，這也就得到了推理的第一個事實：一直按下按鈕1無法使水管接上。這里需要教師配合游戲演示，發(fā)現(xiàn)推理結(jié)果和實際操作一致。由于這樣的方式無法解決問題，學(xué)生面對困境自然也會尋求新的思路，畫面中的其他按鈕就自然會被學(xué)生關(guān)注。那么，基于“先思考，后操作”的理念，這里先對按鈕的規(guī)則進(jìn)行理解，也就是引入新的推理的規(guī)則，讓學(xué)生再次進(jìn)行推理。下面是筆者的引導(dǎo)過程。

師：看來一個按鈕無法幫助我們解決問題，讓我們按下按鈕1，緊接著按下按鈕2，看看會發(fā)生什么？

生：右上角的水管沒有跟著旋轉(zhuǎn)，按鈕2起到固定水管的作用。

師：松開按鈕2，按下按鈕3，再按下按鈕1，發(fā)生了什么？

生：左下角的水管不動，右上角的水管旋轉(zhuǎn)，說明按鈕3和按鈕2一樣，都是固定用的。

師：結(jié)合按鈕1、按鈕2和按鈕3，你能順利找到接通水管的方法嗎？

基于數(shù)學(xué)方法的表征是建立在教師對學(xué)生推理結(jié)果的引導(dǎo)后的思維活動，是學(xué)生視覺空間推理意識發(fā)展的關(guān)鍵一環(huán)，它應(yīng)當(dāng)優(yōu)先于學(xué)生的實際操作。在沒有任何支撐的情況下，教師鼓勵學(xué)生以自己喜歡的、熟悉的圖表、圖像或文字等方式，將推理過程以可視化的方式再現(xiàn)，并按照應(yīng)循的規(guī)則推理出正確的結(jié)果，讓學(xué)生的推理意識自然得到提升。

（三）智能交互，突圍推理難點

1.沉浸式操作：形成推理“自覺”

教師的引導(dǎo)可以幫助學(xué)生進(jìn)行推理，而要形成真正的推理意識還需要學(xué)生形成獨自處理情境的能力。因此，教師讓學(xué)生自己來操作，借助沉浸式的思考環(huán)境，形成推理“自覺”。在第二關(guān)“神奇按鈕”中，教師不再一步步引導(dǎo)學(xué)生，而是一開始就把問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生仿照教師的行為，一邊操作，一邊思考。需要特別注意的是，這里并沒有讓學(xué)生以“通關(guān)”為目的進(jìn)行操作，而是讓學(xué)生以推理出“通關(guān)的方法”為目的進(jìn)行嘗試。以下為筆者與學(xué)生的對話。

師：下面，老師不再給你們提供幫助，你們需要自己按下按鈕，找到一條可以通關(guān)的路線。強(qiáng)調(diào)一下，我們的任務(wù)是找路，不要把時間花在通關(guān)上。

（教師給學(xué)生提供手柄或鍵盤、電腦）

推理“自覺”是學(xué)生形成推理意識的關(guān)鍵，這一步需要學(xué)生在此前掌握一定的基礎(chǔ)：信息捕捉能力、信息分析能力、圖示化表達(dá)能力和推理能力等。正是有了前面的鋪墊，即使沒有教師的提示，學(xué)生也能根據(jù)自己的嘗試、思考和推理，整理出正確的路線圖（如圖5）。

從圖5中可以看出，學(xué)生能夠結(jié)合兩個畫面的信息，在按下左邊畫面中按鈕的同時，發(fā)現(xiàn)右邊畫面方塊會“彈”出來的變化規(guī)律，同時，以這樣的規(guī)律繼續(xù)嘗試按不同的按鈕，發(fā)現(xiàn)它們遵循同樣的規(guī)律，并能夠把左邊的按鈕和右邊的方格一一對應(yīng)起來，掌握了空間定位的要求。

2.記憶儲存：聚焦推理難點

在視覺空間推理的形式中，心理旋轉(zhuǎn)難度最大。一個主要原因是在日常的教學(xué)中我們?nèi)鄙龠@樣的推理環(huán)境，因此教師借助技術(shù)和游戲資源助力實現(xiàn)；第二是思維難度較高，學(xué)生需要綜合思考不同平面的物體運動情況，這就帶來較重的認(rèn)知負(fù)荷。而且，這種轉(zhuǎn)換會讓學(xué)生感到“別扭”，因為它往往是兩種相反的視角。同時，空間中的運動極為抽象，短暫的觀察難以在大腦中建立深刻的表象，有些復(fù)雜的問題需要學(xué)生反復(fù)觀察運動的軌跡、特征等才能推理出正確的規(guī)律。

合理運用信息技術(shù)可以反復(fù)儲存記憶的功能，學(xué)生不再需要記憶每一步的變化情況，而是通過直觀觀察就可以得到不同平面內(nèi)同一物體的運動規(guī)律，這樣就把思維從大量的記憶任務(wù)中解放出來，將注意力集中到推理運動規(guī)律上去。

從下頁圖6中可以看出，男主和女主處于兩個互相垂直的平面，在女主的視角里，正方體的平臺可以推動的方向是：前、后、左、右；而在男主的畫面里，正方體的平臺移動的方向卻是：上、下、左、右。

因此，學(xué)生要想把男主拉上平臺，需要掌握方塊的運動規(guī)律，推理出正確的移動方塊的辦法。由于這樣的視角學(xué)生之前從未見過，缺乏類似經(jīng)驗，因此教師可以鼓勵學(xué)生多次操作，只要學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律都要給予肯定。

師：通過操作，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：推動方塊往右移動，在另一個圖就是向下移動；推動方塊向前移動，就是向右；向后拉動方塊，就是向左移動，推動方塊向左移動，就是向上。

師：能否用簡潔的方式表達(dá)出他的意思？

生：可以借助表格。

師：知道了運動規(guī)律，你能根據(jù)男主和女主所在位置，制訂路線嗎？

生：先向后1格，再向右3格，接上男主后，向左4格，最后向前3格。

有了技術(shù)的支撐，極大地減輕了學(xué)生的記憶負(fù)荷，突破了空間推理的難點。因此，學(xué)生也能順利推理出處于垂直平面方塊的運動規(guī)律，并發(fā)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)學(xué)生知道規(guī)律后，教師不要立即讓學(xué)生上機(jī)操作，而是先模擬出正確的操作路線，通過拋出引導(dǎo)性問題“你能根據(jù)男主和女主所在位置，制定路線嗎”，引導(dǎo)學(xué)生反過來關(guān)注男、女主所在空間中的位置，然后判斷、分析并思考出一條合理化路線。至于下一步操作，不過是在驗證推理的結(jié)果而已，無形中提升了推理意識的主體地位，強(qiáng)化了推理的價值。

（四）數(shù)據(jù)化分析，優(yōu)化推理評價

基于技術(shù)的視覺空間推理不僅包含推理的環(huán)境創(chuàng)設(shè)、過程的優(yōu)化和思維的提升，對推理的反饋評價也提供極大的便利。在評價時，學(xué)生需要在規(guī)定的時間內(nèi)通過三道關(guān)卡，時間可以看成評價指標(biāo)之一。考慮到學(xué)生操作的熟練度等客觀問題，評價還需要關(guān)注推理過程中學(xué)生處理信息和表達(dá)信息的方式。此外，小組合作生態(tài)也應(yīng)納入評價體系，以此倒逼小組優(yōu)化組間合作氛圍（見表3）。

評分細(xì)則：滿分為100分，推理過程與結(jié)果占總分的50%、關(guān)卡完成時間占總分的30%、小組合作生態(tài)占總分的20%；其中，推理過程與結(jié)果無圖或文字等描述扣10分，思路不清晰扣10分，思路正確但結(jié)果錯誤扣5分。關(guān)卡完成時間從高到低排名，第一名30分，在第一名用時的基礎(chǔ)上每超過15秒扣1分，最多扣除5分；小組合作生態(tài)出現(xiàn)負(fù)面情緒、爭執(zhí)酌情扣分。小組最終得分由每一項等分乘占比后匯總。

從表3中可以看出，教師更重視學(xué)生推理過程的表達(dá)，也就是推理意識的形成過程，至于學(xué)生完成關(guān)卡的時間由于不同學(xué)生操作能力的不同，這里并沒有提出嚴(yán)格的要求，同時兼顧了培養(yǎng)學(xué)生的合作意識。

總之，信息技術(shù)對視覺空間推理的培養(yǎng)確有極大的幫助，可以填補(bǔ)許多視覺空間推理的空白，衍生出許多合適的策略和方式幫助學(xué)生發(fā)展推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）