怎樣比較指數式與對數式的大小

比較指數式與對數式的大小問題常以選擇題、填空題的形式出現，這類問題的難度一般不大.但若同學們找不到合適的解答方法，仍會陷入解題的困境.本文結合例題，談一談比較指數式與對數式大小的三種措施，供大家參考.

一、借助中間量

在比較對數式與指數式的大小受阻時，我們不妨借助中間量來比較二者的大小.可以根據兩個要比較的函數式的范圍，嘗試找到合適的中間量.通常以1、-1、0、e等為中間量，這樣可以通過換底，將這些中間量進行變換.

例1.設a=log52，b=，c=log73，則正確的是（）.

A.alt;blt;c B.clt;alt;b C.clt;blt;a D.alt;clt;b

解：a=log52lt;log5==b，c=log73gt;log7==b，所以alt;blt;c，故本題選A.

取為中間量，利用換底公式將其變形為=log7=log5，即可根據對數函數的單調性比較出三個對數式的大小.

二、利用函數的性質

對于函數名稱相同的兩個函數式，通常可以通過放縮、比較，構造出同底、同真數、同指數的對數式或指數式，這樣便可以直接根據對數函數和指數函數的單調性、周期性、奇偶性、對稱性來比較兩個函數式的大小.

例2.已知f（x）=x?2|x|，a=f（log3），b=-f（log3），c=f（ln 3），試比較a，b，c的大小.

解

解答本題，需先根據奇函數的性質將a、b、c的自變量轉化到（0，+∞）范圍內；然后比較其自變量的大小；再根據函數f（x）的單調性進行比較，即可解題.

三、數形結合

有時我們可以直接根據函數的解析式畫出函數的圖象，然后借助函數的圖象來比較指數式和對數式的大小.在作圖時，通常要找出圖象中的交點、臨界點，這樣有助于我們根據圖象快速比較出函數式的大小.

例3.若π-x1=log2（x1+1），π-x2=log3x2，π-x3=log2 x3，則x1，x2，x3的大小關系為.

解：在平面直角坐標系內作出函數y=（）x，y1=log2（x+1），y2=log3x，y3=log2 x的圖象，如圖所示.

由圖可知x1lt;x3lt;x2.

我們需先根據三個要比較的函數式的特征構造出函數y=（）x，將問題轉化為比較y=（）x、y1=log2（x+1）、y2=log3x、y3=log2 x交點的大小；然后畫出四個函數的圖象，即可借助圖象快速比較出x1、x2、x3的大小.

四、作差（商）

對于一些同類型的指數式或對數式，通常可以將二者作差（商），再將其差與0比較，將商與1比較，即可比較出兩個函數式的大小.

例4.比較log23，log34，log45的大小.

解：

運用作差法比較兩個函數式的大小，往往要通過換底、分解因式，運用完全平方公式、平方差公式等將差式變形、放縮，以快速比較出差式與0的大小.

比較指數式與對數式大小的措施較多，但無論運用哪種措施，都要根據指數與對數函數的運算性質和公式，對函數式進行適當的變形，再靈活運用指數函數和對數函數的圖象和性質解答.

（作者單位：江蘇省鹽城市伍佑中學）