指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)踐作業(yè)設(shè)計(jì)

【摘 要】教師要從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高作業(yè)質(zhì)量，創(chuàng)新作業(yè)形式，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)踐問題，突顯作業(yè)的探究性、實(shí)踐性、應(yīng)用性與綜合性，使學(xué)生獲得積極的參與感、真實(shí)的體驗(yàn)感和成功的滿足感的同時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光，發(fā)展空間想象能力，根植數(shù)學(xué)思想，助推思維進(jìn)階，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，提升核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)眼光 空間想象 數(shù)學(xué)思想 思維進(jìn)階 數(shù)學(xué)文化

新課標(biāo)堅(jiān)持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向，對作業(yè)設(shè)計(jì)提出了更高的要求。教師要在作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)以單元核心概念為中心，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高作業(yè)質(zhì)量，創(chuàng)新作業(yè)形式，溝通現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，凸顯作業(yè)的探究性、實(shí)踐性、應(yīng)用性與綜合性，讓學(xué)生在完成作業(yè)的過程中，經(jīng)歷分析、比較、抽象、推理等高階思維過程，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的再構(gòu)建和再創(chuàng)造，促進(jìn)思維生長，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)作業(yè)效能的多維度提升。

下面，以蘇教版數(shù)學(xué)六年級下冊第二單元“圓柱和圓錐”的教學(xué)為例，探討如何基于單元內(nèi)容的系統(tǒng)把握設(shè)計(jì)實(shí)踐作業(yè)，助力單元整體目標(biāo)的達(dá)成和學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

一、調(diào)查性作業(yè)——培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，即引導(dǎo)學(xué)生留心觀察生活，能發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣。

在教學(xué)“圓柱的表面積”后，筆者讓學(xué)生調(diào)查生活中的各種圓柱形物體，拍下相關(guān)照片，再聯(lián)系實(shí)際提出與面積有關(guān)的問題，自主思考如何解決，要求學(xué)生用圖文結(jié)合的方式記錄自己調(diào)查的情況，再測量相關(guān)數(shù)據(jù)并求出相應(yīng)的面積。

學(xué)生通過細(xì)致調(diào)查，發(fā)現(xiàn)生活中有關(guān)圓柱和圓錐的問題大致有四類：第一類是求兩個(gè)底面積和側(cè)面積，如求做一個(gè)圓柱形茶葉罐、油桶的表面積；第二類是求一個(gè)底面積與側(cè)面積，如求制作不加蓋的水桶、筆筒等所需材料面積；第三類是求圓柱的側(cè)面積，如壓路機(jī)前輪向前滾動(dòng)一周壓過的路面面積，做落水管、通風(fēng)管、煙囪等所需材料面積等；第四類是求一個(gè)底面積，如圓柱形水池所占地面的面積等。

通過到生活中尋找原型，提出并解決與圓柱有關(guān)的真實(shí)問題，學(xué)生學(xué)會(huì)了用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)生活，用數(shù)學(xué)的思維發(fā)現(xiàn)和解決問題，體會(huì)到在解決實(shí)際問題時(shí)思考要全面細(xì)致、需要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行具體分析，培養(yǎng)了提出和發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力，感悟了數(shù)學(xué)分類思想，同時(shí)感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

二、操作性作業(yè)——發(fā)展空間想象能力

在立體圖形的學(xué)習(xí)過程中，教師要格外重視操作的價(jià)值和意義。操作性作業(yè)將知識(shí)性、趣味性與實(shí)踐性融為一體，能激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，促使學(xué)生積極思考，以主動(dòng)的狀態(tài)投入作業(yè)中，獲得深刻的具身體驗(yàn)，加深對抽象知識(shí)的理解，發(fā)展空間想象能力。

比如，在學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的特征之后，筆者布置了操作性作業(yè)：先思考，想象將圓柱和圓錐分別切成兩個(gè)部分，可以怎么切？截面是怎樣的圖形？請利用生活中的物體，如蘿卜、香蕉、火腿腸、黃瓜、超輕黏土或橡皮泥等制作出一個(gè)圓柱或圓錐，再親自動(dòng)手切一切，驗(yàn)證自己的想法，用筆畫一畫或者用拍照片、錄視頻等方式記錄下來。

學(xué)生通過實(shí)踐操作，發(fā)現(xiàn)了切的方法主要有三種：橫切、豎切和斜切，不同的切法切出來的截面也各不相同，但都會(huì)增加兩個(gè)切面。針對切圓柱，方法有：①攔腰橫著切，切面是圓形；②沿底面直徑豎著切，切面是長方形；③任意斜著切，切面是橢圓形。針對切圓錐，方法有：①攔腰橫著切，切面是圓形，它比底面的圓小，且越往上切，切面的圓越小；②沿底面直徑豎著切，切面是一個(gè)等腰三角形；③隨意斜著切，切面是一個(gè)不規(guī)則圖形。

學(xué)生先用動(dòng)態(tài)的眼光觀察圓柱和圓錐，在空間想象中體會(huì)到“面源于體”，然后在具體切的操作過程中切身體驗(yàn)不同的切法，進(jìn)而理解不同立體圖形切開后截面形狀不同的原因，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)藏其中的變化規(guī)律，感悟到數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)聯(lián)。

再如，教學(xué)“圓柱和圓錐的體積計(jì)算方法”后，筆者布置了如下操作性作業(yè)：先想象，一張長方形紙繞其中一條邊旋轉(zhuǎn)一周，能得到什么立體圖形？有幾種情況？哪種情況的體積更大？將一張長方形紙卷起來，可以形成什么立體圖形？有幾種情況？哪種容積大？將一個(gè)直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)，會(huì)形成什么立體圖形？有幾種情況？哪種情況的體積大？動(dòng)手做一做、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)和卷一卷，再測量相關(guān)數(shù)據(jù)并計(jì)算、比較，最后記錄自己的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生通過操作，發(fā)現(xiàn)長方形紙繞一條邊旋轉(zhuǎn)一周可以形成圓柱體，具體有兩種情況：一種是以長方形的寬為軸旋轉(zhuǎn)，長方形的寬與圓柱的高相等，長方形的長與圓柱的底面半徑相等，得到的是一個(gè)“矮胖型”圓柱；另一種是以長方形的長為軸旋轉(zhuǎn)，長方形的長與圓柱的高相等，長方形的寬與圓柱的底面半徑相等，得到的是一個(gè)“高瘦型”圓柱。通過計(jì)算、比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)同一個(gè)長方形，得到的“矮胖型”圓柱的體積更大。將一張長方形紙卷成圓柱體，也能得到“矮胖型”“高瘦型”兩種圓柱，且“矮胖型”圓柱的容積更大。將一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)，也可以形成兩種不同的圓錐體。以直角三角形的哪條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)，這條直角邊就與圓錐的高相等，另一條直角邊就與圓錐的底面半徑相等。通過計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“矮胖型”的圓錐體積比較大。

想象激發(fā)了學(xué)生迫切想要?jiǎng)邮衷囈辉嚨膹?qiáng)烈欲望。他們在有趣的轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)和卷一卷的活動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)了從二維平面向三維立體的轉(zhuǎn)化，體會(huì)了點(diǎn)、線、面、體之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，感受到“面動(dòng)成體”之美，發(fā)現(xiàn)了隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，豐富了空間想象能力，增強(qiáng)了空間觀念，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)表達(dá)能力，感受到數(shù)學(xué)的趣味性，思維逐步從低階走向高階。

三、實(shí)驗(yàn)性作業(yè)——根植數(shù)學(xué)思想

實(shí)驗(yàn)性作業(yè)是指將真實(shí)素材與動(dòng)手動(dòng)腦融合在一起，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，經(jīng)歷具身實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生積極思考，主動(dòng)運(yùn)用知識(shí)并進(jìn)行創(chuàng)造，培養(yǎng)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯恳庾R(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

在教學(xué)“圓柱的體積”后，筆者布置學(xué)生回家完成“測算土豆體積”的實(shí)驗(yàn)性作業(yè)，要求記錄自己的實(shí)驗(yàn)與測算過程，并寫下自己的發(fā)現(xiàn)與體會(huì)。學(xué)生運(yùn)用排水法做了實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)如果將土豆全部浸沒在水中，那么，土豆的體積就與上升的那部分水的體積相等。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，把求不規(guī)則圖形體積這一復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為求圓柱體積的簡單問題，感悟了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生還想到：如果把土豆從杯子中取出，水位會(huì)下降2厘米。還有的學(xué)生進(jìn)一步思考：如果土豆沒有全部浸沒在水中，上升的水的體積與土豆的體積就不相等。隨著思考的深入，學(xué)生的認(rèn)知不斷完善，理解了“完全浸沒”和“不完全浸沒”兩種情況的異同，進(jìn)而建立等量關(guān)系的模型，即上升（或下降）的水的體積等于土豆浸沒在水中部分的體積，等量替換、等積變形的數(shù)學(xué)思想也于無形中在學(xué)生頭腦中根植。

在完成此項(xiàng)實(shí)驗(yàn)性作業(yè)的過程中，學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，促進(jìn)了數(shù)學(xué)化的觀察、個(gè)性化的思考和經(jīng)驗(yàn)化的積累，培養(yǎng)了推理意識(shí)、模型思想和應(yīng)用能力。

四、探究性作業(yè)——助推思維進(jìn)階

探究性作業(yè)是指學(xué)生在核心問題的引領(lǐng)下，基于自身已有經(jīng)驗(yàn)、思維方式展開探索活動(dòng)，達(dá)成任務(wù)目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)作業(yè)。學(xué)生在完成探究性作業(yè)的過程中，能培養(yǎng)推理意識(shí)、探究能力、分析和解決問題的能力，有效促進(jìn)思維從低階走向高階。

在學(xué)完本單元全部內(nèi)容之后，筆者設(shè)計(jì)了如下探究性作業(yè)：

（1）看一看：普通一次性紙杯是什么形狀的？

（2）猜一猜：普通一次性紙杯的側(cè)面展開圖是什么形狀的？

（3）剪一剪：用剪刀把普通一次性紙杯的側(cè)面剪開，觀察、驗(yàn)證自己的猜測。

（4）算一算：先思考怎樣求普通一次性紙杯的側(cè)面積和容積，再測量相關(guān)數(shù)據(jù)，并計(jì)算。

普通一次性紙杯在生活中很常見，學(xué)生對它也非常熟悉。它是圓臺(tái)形的，可以看成一個(gè)直角梯形以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)出來的幾何體，它的上下底面是大小不同的圓。學(xué)生已經(jīng)積累了比較豐富的幾何圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也體會(huì)到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用。基于以上生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生積極思考、自由猜測、動(dòng)手驗(yàn)證、主動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)了紙杯的側(cè)面展開圖不是梯形，并進(jìn)一步探索出用數(shù)格法、稱重法、實(shí)物法、剪拼法、面積求差法等不同方法求紙杯側(cè)面積，用倒水法與容積求差法求紙杯容積。

通過對紙杯側(cè)面積和容積的探究，學(xué)生對紙杯的結(jié)構(gòu)、形狀等有更深層的了解。他們從不同的角度思考問題，化新知為舊知，解決了復(fù)雜的新問題，積累了合理選擇策略和方法解決問題的經(jīng)驗(yàn)，感悟轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展空間觀念，形成模型意識(shí)與初步的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，思維能力也不斷地拔節(jié)生長。

五、閱讀性作業(yè)——感受數(shù)學(xué)文化的魅力

閱讀性作業(yè)，就是結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，布置通過閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)文化材料，運(yùn)用已有的知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)，重新有意義地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知、靈活地解決實(shí)際問題。《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等數(shù)學(xué)名著中的經(jīng)典題目，祖沖之、劉徽、陳景潤等數(shù)學(xué)家的故事等，都可以作為作業(yè)設(shè)計(jì)的素材。新穎的形式、有趣的故事能讓數(shù)學(xué)作業(yè)充滿生機(jī)與趣味，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)欲望，拓寬其數(shù)學(xué)視野，使其感受數(shù)學(xué)文化的博大精深，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，厘清解決問題的思路，形成良好的閱讀習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在本單元學(xué)習(xí)的最后，筆者將數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容融入作業(yè)中，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀中實(shí)踐。在課堂所教方法的基礎(chǔ)上，提供的閱讀材料介紹了古人計(jì)算圓柱和圓錐體積的方法，使學(xué)生的認(rèn)知得到擴(kuò)充和延伸，并融通了兩種方法之間的聯(lián)系，進(jìn)一步豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)，讓學(xué)生領(lǐng)略古代數(shù)學(xué)的思想和方法，提升綜合應(yīng)用能力。

關(guān)于實(shí)踐作業(yè)的設(shè)計(jì)，教師需要根據(jù)單元教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)踐問題，設(shè)計(jì)調(diào)查性、操作性、實(shí)驗(yàn)性、探究性、閱讀性等各種類型的作業(yè)，使其成為常規(guī)作業(yè)的有益補(bǔ)充，從而讓學(xué)生在實(shí)踐作業(yè)中獲得積極的參與感、真實(shí)的體驗(yàn)感和成功的滿足感的同時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光，發(fā)展空間想象能力，感悟數(shù)學(xué)思想方法，助推思維的有序進(jìn)階，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，提升核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

趙麗麗.依托單元作業(yè)實(shí)現(xiàn)“教—學(xué)—評”一致：以“圓柱和圓錐”單元為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2023 （3）.

注：本文系2021年江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“指向深度學(xué)習(xí)的小學(xué)‘做數(shù)學(xué)’的實(shí)踐研究”（批準(zhǔn)號C-c/2021/02/176）階段性研究成果。