數據意識形成的表征、價值與教學實施

關鍵詞：百分數；統計意義；隨機性；單元整體教學；數據意識；應用意識

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1673-4289（2024）11-0025-05

“百分數”是小學數學中十分重要的核心內容，既是學生數概念形成與發展的重要補充進階，又是學生數據意識這一核心素養發展的重要學習載體。“百分數”作為一種重要的統計量的表達形式，內容獨特且內涵豐富，“百分數”的教學既要幫助學生深刻認識其本質內涵，又要幫助學生深化理解其統計意義，從整體上把握“百分數”教學的豐富性與價值性。本文基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學課標2022年版”）中百分數內容的變化調整和北師大版小學數學教材“百分數”編排路徑的綜合解構與分析，對“百分數”內容進行單元整體教學的重塑與建構，以期深刻理解課程內容，整體把握與設計教學。

一、數據意識的內涵與表現

按“數學課標2022年版”課程內容指向，“百分數”是小學數學“統計與概率”領域發展數據意識這一核心素養的重要內容。因此要深刻把握“百分數”的教學，首先要明晰“數據意識”這一素養主題的本質內涵與學習表現，進而明確“百分數”在“數據意識”素養培育中的學習坐標與教育價值。

“數學課標2022年版”提出了指向數學核心素養目標的“三會”表達——會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界，其中數學語言素養在小學階段的主要表現之一是數據意識。《義務教育數學課程標準（2011年版）》首次將“數據分析觀念”列為數學課程十大核心概念之一，指出“數據分析是統計的核心”；“數學課標2022年版”將“數據分析觀念”調整為更符合小學生認知水平和學習規律的“數據意識”，體現了數學教學育人價值的轉變。數據意識高度關注數學與現實世界的聯系，要求學生初步感悟數學與現實世界的交流方式，感悟數據的意義和價值，有意識地運用真實數據表達、解釋與分析現實世界中的不確定現象。

數據是統計學的基本語言，數據意識作為統計思維的基礎，彰顯了統計學與數學在思維方式上的差異。“統計學的研究依賴于對數據的感悟……通過對數據的歸納整理、分析判斷，得到的結論也可能是不同的……很難說哪一種方法是對的，哪一種方法是錯的，我們只能說，能夠更客觀地反映實際背景的方法要更好一些。”各版本數學課程標準區分了小學、初中和高中三個階段的不同要求：小學階段側重于“數據意識”，初中階段側重于“數據觀念”，高中階段側重于“數據分析”，體現了數學核心素養在不同學段發展的一致性和階段性。

小學數學統計內容定位于描述性統計范疇，概率內容僅要求定性判斷，重點聚焦學生對數據意義的感悟、對不確定現象與作用的初步體會。小學階段數據意識主要是指對數據的意義和隨機性的感悟，形成數據意識有助于理解生活中的隨機現象，逐步養成用數據說話的習慣。數據意識的主要表現有：

感悟數據的意義——知道數據是統計的基本語言，統計是靠數據“張開嘴巴”說話的；知道數據有它的實際意義，可以幫助解決現實問題和分析某種隨機現象；知道數據是豐富多樣的，但最重要的是數據的來源和真實性。

體會數據收集的過程——知道現實世界中許多問題應當先做調查研究，收集數據；知道無論是不是同樣的問題，都需要收集不同的數據；知道數據來源于抽樣、測量與試驗，抽樣、測量與試驗的方法對數據分析有很大影響。

感悟數據的變異性——知道數據變異的原因很多；知道不同的事情會得到不同的數據，相同的事情每次收集到的數據也可能不同，但只要具備足夠多的數據就可能從中發現規律，且數據越多，發現的規律就越穩定、可靠。

體會數據整理的價值——會依據一定標準對物體、圖形或數據進行分類，能根據數據的特點進行排序或分組，能對異常數據作出判準或釋理，知道怎樣合理呈現數據整理的結果。

感悟數據蘊含的信息——通過對數據的簡單分析，感受數據背后隱藏的信息，能初步理解平均數和百分數的統計意義，會用平均數和百分數解決現實中相關的簡單實際問題。

感悟數據的不同的表達方式——認識并能讀懂各種媒體中的各種簡單統計圖表，知道同一組數據可以用不同方式表達，能根據問題的背景和數據的特征合理選擇統計圖表、統計量等方式表示和分析數據，解釋所表達的意義。

感悟概率的意義——知道概率是對不確定現象或事件發生可能性大小的度量，能結合實際情境對一些簡單的隨機現象發生的可能性的大小作出定性描述。

二、聚焦統計意義的“百分數”主題單元內容的本質分析

“百分數”是小學數學“統計與概率”領域“數據的收集、整理與表達”“隨機現象發生的可能性”雙主題下統計量學習的重要內容。數據的收集、整理與表達是小學階段統計教學的核心內容，包括數據的收集，運用統計圖表、平均數、百分數等。隨機現象發生的可能性是通過數據或理論模型來刻畫隨機現象，是對不確定現象的描述，幫助學生從不確定的角度觀察世界，隨機性即“偶然中的必然”，可能性本質即隨機現象，是非確定性的，須根據較多數據進行推斷，即通過特殊結果推斷一般結論。百分數因其自身的統計意義和特征兼顧，跨越了“統計與概率”領域兩個主題內容的學習。

百分數作為小學數學第三學段的學習內容，是統計量表達的一種形式。百分數的本質意義與學習坐標如圖1所示。百分數的本質是對兩個數量倍數關系的表達，這一點與比、分數在“率”層面的意義表達有著異曲同工之處。百分數的意義內涵和本質特征可以從兩個層面來把握：一方面，百分數可以表達確定性數據，即兩個數量之間相對穩定的倍比關系。比如食品中的成分含量、稅率、折扣、成數、恩格爾系數等；另一方面，百分數可以表達隨機性數據，即通過統計量意義的百分率數據刻畫不確定性的隨機事件或現象。比如某足球運動員罰點球命中率、套圈游戲命中率、某城市的降雨概率、經濟增長率等。百分數像一把丈量的尺子，便于人們比較事物不可度量的屬性、變化程度等；運用百分數刻畫數據的分布，可以更好地反映一組數據中的信息，以便作出合理預測、判斷和科學決策。百分數的學習可以幫助學生形成數據意識，發展應用意識和創新意識。

三、指向數據意識的“百分數”單元整體教學的重塑

在重構單元整體教學之前，我們要重點明確以下三個基本問題。

問題一：“百分數”主題單元指向的核心素養表現是什么？

“數學課標2022年版”強調，要注重建立具體學習內容與核心素養主要表現的關聯。同時“數學課標2022年版”提出了核心素養的11個核心詞，基于前述“百分數”主題單元內容的本質分析，“百分數”單元教學主要指向的數學核心素養即數據意識和應用意識。數據意識的七個表現說明，數據意識的重點是對數據的意義、內涵、背后“故事”以及數據隨機性的感悟；應用意識的重點是有意識地運用數學的概念、原理和方法解釋和解決現實世界中與數量和圖形相關的實際問題，二者都有助于利用數據解決問題、用數據說話的數據思維的培育。百分數因其自身天然的統計量意義能夠進一步幫助學生發展數據意識和應用意識，感悟數據的隨機性。

問題二：“百分數”主題單元聚焦的核心觀念及基本問題是什么？

“數學課標2011年版”對百分數的教學要求是：結合具體情境，理解百分數的意義；會進行小數、分數和百分數的轉化；能解決百分數的簡單實際問題。“數學課標2022年版”對百分數的教學要求是：結合具體情境，探索百分數的意義；能解決與百分數有關的簡單實際問題，感受百分數的統計意義；在簡單的實際情境中應用百分數，形成數據意識和初步的應用意識。

從“理解”到“探索”，從“技能”到“思維”，從“解題”到“做事”，課標的教學要求變化凸顯了應用百分數的統計意義和隨機性表達解決實際問題的重要性。基于這樣的變化以及前述數據意識和百分數的本質內涵分析，我們確定了“百分數”主題單元具體核心觀念如下：（1）百分數的本質是兩個數量倍數關系的表達，百分數可以用來表達一種相對穩定的倍比數量關系，也可以用來表達相對隨機的數量關系，并具有預測功能。（2）運用百分數刻畫數據的分布，可以更好地把握一組數據的信息，為隨機事件或現象的判斷、預測提供依據。（3）在解決實際問題的過程中經歷調查研究、收集數據，形成數據意識，積累思考和做事的經驗，發展應用意識。由此確定學生思考的基本問題：百分數和分數、比之間有著怎樣的內在聯系？百分數如何凸顯其特殊的意義與獨特的價值？如何應用百分數的雙重意義特征解釋和解決現實世界的實際問題？

問題三：“百分數”主題單元學習目標如何確定？

基于上述兩個關鍵問題，制定“百分數”單元學習目標如下：（1）遷移目標——經歷收集、整理數據的全過程，形成數據意識，遷移百分數及相關知識、經驗、方法解決實際問題。（2）理解目標——結合現實情境，加強百分數中數量關系的理解與分析，理解百分數在解釋和解決實際問題中的價值和作用。（3）知能目標——在理解百分數意義的基礎上能對現實生活中兩個數量關系加以分析，并能用百分數的確定與不確定性的雙重意義解釋和解決相對復雜的實際問題。（4）情感目標——培育尊重事實、用數據說話的思維品質，學會用數學的眼光觀察、思考和解決現實生活中的問題，感悟數學學習的價值，培養勇于探索、客觀理性、實事求是、質疑反思的科學精神。

基于上述單元核心觀念統領，在確定單元基本問題、學習目標的基礎上，研究者對“百分數”單元整體教學進行建構（如圖2）。

四、基于數據意識與統計意義的“百分數”的教學建議

（一）基于真實情境解決真實問題，引入百分數統計量表達的必要性

真實情境下具有挑戰性的真實問題更能激發學生突破固有的思維定式。百分數統計量的教學要注重解決真實情境中稍復雜的問題，要從現實生活中的真實問題著手，創設貼近兒童現實生活的真實情境，設計引發認知沖突的關鍵問題，幫助學生感悟百分數對于問題解決的重要性，感悟百分數引入的需求和必要性，體會百分數學習的獨特價值，發展數據意識和應用意識。

比如，創設“選派哪名球員罰點球”的真實問題情境，既是解決現實世界中的真實問題，又利用了隨機數據引入百分數，能夠幫助學生更好地理解百分數的意義、價值和必要性，形成數據意識和應用意識。再比如，“評價兩個班男生一分鐘仰臥起坐成績哪個班好一些”的問題情境，學生可以借助百分數比較，既可以比較“優秀率”，也可以比較“合格率”，感受百分數可以用來描述、刻畫和分析數據的集中趨勢、離散程度等分布特征，運用百分數刻畫數據的分布，可以更好地把握一組數據的信息。

（二）聚焦感悟數據意義與隨機性，凸顯百分數統計量的雙重特征

百分數統計量的教學要聚焦對數據的意義和隨機性的感悟，這是數據意識形成的核心。百分數教學要在單元課群的建構中，圍繞學習主題，注重凸顯百分數統計量的雙重特征，整體把握百分數的雙重本質意義。“數學課標2022年版”將百分數內容從“數與代數”領域調整到“統計與概率”領域，是為了更加凸顯百分數作為統計量表達隨機數據的統計意義，盡管如此，我們依然不能忽視百分數表達確定數據的兩個數量倍比關系意義，這是百分數的原始本質。百分數對確定性數據與不確定數據的雙重意義表達，就像百分數的兩條腿，能更好地幫助學生理解百分數作為一把標尺在解釋與解決問題中的獨特價值。因此，在百分數教學中，要創設大量豐富的真實問題情境，通過開展深度對話，鼓勵學生展開交流、質疑、爭辯、批判，發展學生的“四能”，在積累問題解決經驗的同時，幫助學生感受百分數的雙重意義特征和獨特的應用價值。

比如，可以創設“合格率”“成活率”“出勤率”“含糖率”“近視率”等百分數表達確定數據的情境，引導學生課前收集、課上交流、課后反思，或結合扇形統計圖幫助學生直觀理解，感受百分數是部分與整體之間相對穩定的倍比關系的表達。同時還可以通過“乙花店的面積是甲花店的120%”這類例子，幫助學生體會百分數不僅可以表示部分與整體的關系，還可以表示部分與部分的關系，即感悟百分數是兩個獨立量之間倍比關系的表達，有助于人們進行比較、判斷和預測。此外，我們還可以在“命中率”這樣的問題情境中，幫助學生感悟百分數作為統計量表達數據的隨機性。比如學生在交流之后確定由命中率較高的奇思去罰點球，可進一步追問“奇思這次去罰點球一定能進嗎”，再次引發討論感受百分數表達數據的隨機性。再比如“姚明加盟NBA聯賽的第一年，罰球命中率為81.1%”的信息情境，有四種說法：姚明加盟NBA聯賽的第一年，罰球總數一定是1000個，罰進個數為811個；姚明加盟NBA聯賽的第一年，沒罰進的個數占罰球總數的18.9%；姚明加盟NBA聯賽的第一年，每場比賽的罰球命中率都是81.1%；姚明加盟NBA聯賽的第二年，罰球命中率也一定是81.1%。這四種說法，哪些是正確的？既幫助學生理解百分數作為統計數據收集、整理的途徑來源，又幫助學生感悟百分數表達確定數據與隨機數據雙重意義的有機融合，有助于學生更好地形成數據意識和應用意識。

（三）注重開展統計實踐的全過程，突出百分數統計量的應用性

學生數據意識的培養應滲透于整個主題學習過程中。百分數統計量的教學要注重開展統計實踐的全過程，在大問題和大任務的引領下，突出百分數的應用性，漸次提升學生的核心素養，發展數據意識和應用意識。統計的全過程一般包括三個階段：一是在現實世界的真實情境中產生收集和整理數據的需求，二是在問題解決中經歷數據表述和分析的過程，三是在預測和判斷中感悟數據的隨機性。

比如，在“水結冰的奧秘”情境中解決“增加或減少百分之幾”的問題，可以將數學與科學教材的相關學習內容進行有機整合，讓學生經歷統計實踐的全過程，經歷從自然現象出發，收集和整理數據、用百分數解釋和解決問題的完整過程，幫助學生從“單一解題”走向“綜合做事”，體會百分數用于“比較”的應用價值，發展數據意識和應用意識。一般來說，自然界中的物體存在“熱脹冷縮”現象，可是水結冰以后體積會增大，針對這一現象，鼓勵學生發現并提出問題：水結冰前后體積變化了多少？可以通過什么途徑解決這個問題呢？引導學生設計實驗，擬定實驗計劃，包括實驗的名稱、目的、器材、步驟、數據記錄、結果、結論等。接著實施實驗，可在課后按計劃完成實驗，收集、整理、分析數據，得出結論。最后回顧實驗過程，篩選真實有效的數據，反思解決問題的全過程，總結收獲，遷移提出新問題，理解百分數在表達體積變化程度上的倍比關系的確定意義與其重要的統計意義，突出其直觀、便于比較、刻畫規律等普遍應用性的獨特價值。從調查研究、收集整理數據、發現規律，到解釋規律、科學語言表達、解決實際問題，深入發展數據意識和應用意識。

總之，百分數作為一種統計量的教學，不僅僅是簡單地掌握百分率的計算方法，更重要的是幫助學生理解統計意義，特別是百分數表達不確定數據的隨機性，形成數據意識。正如國際著名數理統計學家陳希孺所言：“統計規律的教育意義是看問題不可絕對化，習慣于從統計規律看問題的人在思想上不會偏執一端。”百分數的教學不只是知識與技能的傳授和訓練，應升華為一種意識、一種思想的浸潤。它在確定之外同時提供了一種不確定的思維方式——隨機思想，滲透隨機思想是我們整體把握百分數教學的核心。