建構等量模型巧解濃度問題

濃度問題是百分數(shù)應用題中的典型問題。為了幫助學生提高解決百分數(shù)相關實際問題的能力，增強模型意識，發(fā)展數(shù)學思維，筆者精心設計濃度問題專項練習，以不變量為切入點，利用不斷進階的問題，引導學生抓住等量關系構建解決濃度問題的數(shù)學模型。

一、解決簡單問題，關注不變量

課堂伊始，筆者出示題目“有濃度為16%的食鹽水溶液1000克，現(xiàn)在要將其稀釋成濃度為10%的食鹽水溶液，需要加多少克水？”，并引導學生思考這里的食鹽水溶液指什么。學生回答“食鹽水溶液=食鹽+水”。筆者點撥：溶液由溶質(zhì)和溶劑混合形成，“溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量”。筆者追問：16%的食鹽水溶液表示什么意思？學生回答：表示食鹽的質(zhì)量占食鹽水溶液質(zhì)量的百分之十六，也就是“食鹽水溶液質(zhì)量[×]16%=食鹽質(zhì)量”。筆者繼續(xù)追問：問題情境中，哪些量是變化的，哪些量是不變的？學生回答：食鹽水溶液的濃度和質(zhì)量是變化的，食鹽的質(zhì)量是不變的。筆者順勢強調(diào)：“不變量”指在問題情境中一直保持不變的量，如這個問題中食鹽的質(zhì)量，因為加水稀釋的過程只增加了溶劑“水”的量，而沒有增加溶質(zhì)“食鹽”的量。由此，學生抓住了解決這道題的關鍵——食鹽的質(zhì)量不變。

學生先計算原來食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量，即1000×16%=160（克），而現(xiàn)在160克食鹽在食鹽水溶液中只占10%，所以學生用“160÷10%”計算出加水后食鹽水溶液的質(zhì)量為1600克，接著用“1600-1000”計算出加600克水。在學生抓住不變量并用算術方法解題后，為引導學生建立等式模型，筆者引導：如果16%濃度的食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量用“1000×16%”表示，那么10%濃度的食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量如何表示？你能根據(jù)不變量列方程解決問題嗎？學生設需要加水的質(zhì)量為[x]克，加水后新的食鹽水溶液的質(zhì)量是“1000+[x]”克，根據(jù)新的食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量與起初食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量相等，可以建立方程“（1000+[x]）×10%=1000×16%”，解方程得到[x]=600，即需要加600克水。隨后，筆者追問：這道題的算術解法和方程解法有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？學生思考后回答：用算術方法解題時，我們由“總量×部分量占總量的百分比=部分量”倒推可知，要求總量，就要用“部分量÷部分量占總量的百分比”；而用方程解題時，我們設未知數(shù)，根據(jù)找到的不變量列等式求解。筆者點撥：算術方法是根據(jù)數(shù)量關系，通過已知量推導出未知量，體現(xiàn)的是逆向思維；而方程方法是把未知量視為已知量參與運算，體現(xiàn)的是順向思維。

鞏固練習環(huán)節(jié)，筆者出示下題：如果已經(jīng)有10%的食鹽水溶液2000克，要將其濃度增加到20%，需要蒸發(fā)掉多少克水？這道題和例1同源，學生很快發(fā)現(xiàn)“食鹽的質(zhì)量不變”這個關鍵點，先表示出10%濃度食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量“2000×10%”，接著設定需要蒸發(fā)掉的水為[x]克，用“2000-[x]”表示水蒸發(fā)后濃度為20%的食鹽水溶液的質(zhì)量，然后用“（2000-[x]）×20%”表示20%濃度的食鹽水溶液中食鹽的質(zhì)量，最后建立方程“（2000-[x]）×20%=2000×10%”，求出[x]=1000，即要蒸發(fā)掉1000克水。

二、探析變式問題，增強模型意識

在接下來的教學中，筆者提出了一個新的挑戰(zhàn)：如果有含鹽量為10%的食鹽水溶液40千克，需要加多少千克食鹽才能將其制成含鹽量為28%的食鹽水溶液？學生發(fā)現(xiàn)這個問題中的不變量不再是溶質(zhì)“食鹽”的質(zhì)量，而是溶劑“水”的質(zhì)量。學生抓住水的質(zhì)量不變的關鍵點解答：先用“40×（1-10%）”表示含鹽量為10%的食鹽水溶液中水的質(zhì)量，然后設需要加食鹽的質(zhì)量為[x]千克，則加食鹽后含鹽量為28%的食鹽水溶液的質(zhì)量為“40+[x]”千克，此時溶劑“水”的含量為“1-28%”、質(zhì)量為“（40+[x]）×（1-28%）”，最后建立方程“40×（1-10%）=（40+[x]）×（1-28%）”，解得[x]=10，即需要加10千克食鹽才能將其制成含鹽量為28%的鹽食水溶液。此外，有部分學生用算術方法作答，先用“40×（1-10%）”求出含水36千克，再倒推出加食鹽后食鹽水溶液的質(zhì)量用“36÷（1-28%）”計算，結果是50千克，最后用“50-40”求出加入的食鹽質(zhì)量為10千克。這個過程不僅加深了學生對濃度問題中不變量的理解，使他們認識到不變量可以是溶質(zhì)，也可以是溶劑，還幫助他們鞏固了運用不變量解決問題的技巧。

隨后，筆者拿出一個表面有褶皺的蘋果并引導：“老師一周前買了一個質(zhì)量為200克的蘋果，假設這個蘋果含有90%的水分，一個星期后蘋果里的水分蒸發(fā)了一部分，水分含量變成了80%。你能計算出現(xiàn)在這個蘋果的質(zhì)量嗎？”問題呈現(xiàn)后，筆者沒有馬上讓學生作答，而是引導：在水分蒸發(fā)的過程中哪些量發(fā)生了變化？哪些量沒有變化？此時，學生遇到了障礙：研究對象從溶液變成了蘋果，無法直接找到溶劑和溶質(zhì)。筆者繼續(xù)引導：如果我們把蘋果想象成水分和果質(zhì)（蘋果中水分以外的部分）分離的兩個部分，你們能找出對應的“溶劑、溶質(zhì)、溶液”嗎？學生回答：水分對應“溶劑”，果質(zhì)對應“溶質(zhì)”，蘋果對應“溶液”，并且蘋果水分含量和蘋果質(zhì)量發(fā)生了變化，而果質(zhì)沒有變化。在此基礎上，學生先用“200×（1-90%）”即初始的蘋果質(zhì)量乘果質(zhì)所占的百分比表示果質(zhì)的質(zhì)量，抓住這個問題中的不變量，然后設現(xiàn)在蘋果的質(zhì)量為[x]克，而現(xiàn)在的果質(zhì)占比是“1-80%”，所以果質(zhì)質(zhì)量為“[x]×（1-80%）”，最后列方程“[x]×（1-80%）=200×（1-90%）”，解得[x]=100。這樣練習后，學生建立了解決此類問題的一般模型“抓不變量—設變量[x]—利用不變量列方程”，認識到了抓不變量在解題中的重要性，鞏固了利用不變量建立等量模型的能力，發(fā)展了抽象思維能力。

三、設置進階問題，優(yōu)化解題方法

在濃度問題的教學中，筆者通過下題引導學生深度學習：一個容器內(nèi)有濃度為25%的糖水，若加入20千克水后，糖水的濃度變?yōu)?5%，這個容器內(nèi)的糖水含糖多少千克？學生發(fā)現(xiàn)盡管糖水的濃度和質(zhì)量發(fā)生了變化，但無論加入多少水，糖的質(zhì)量不變。這個發(fā)現(xiàn)激發(fā)了他們設立未知數(shù)的思考，他們習慣于設要求的未知數(shù)為[x]，但通過實際分析發(fā)現(xiàn)，設糖的質(zhì)量為[x]無法構建等量關系。為了突破這一困境，學生展開討論，認識到只有明確原來糖水的質(zhì)量，才能表達出糖的質(zhì)量這一不變量。因此，學生設原來糖水的質(zhì)量為[x]千克，那么原來糖水中糖的質(zhì)量可用“[x]×25%”表示，即0.25[x]千克，加入20千克水后，糖水的質(zhì)量變?yōu)椤癧x]+20”千克。基于這些信息，根據(jù)加水后糖水的濃度為15%，學生建立方程“（[x]+20）×15%=0.25[x]”，解得[x]=30，即原來糖水的質(zhì)量是30千克。接著，學生用“30×25%”計算出原來糖水中糖的質(zhì)量為7.5千克。

通過前述例題學生發(fā)現(xiàn)，鎖定不變量之后可以直接求得不變量（部分量），也可以根據(jù)之前學習的部分量（不變量）與總量的百分比關系，借助反向推理，用算術方法解決問題，但遇到較復雜的問題時，方程等量模型的直觀性優(yōu)勢更明顯。

（作者單位：宜昌市伍家崗區(qū)楊岔路小學）