借助單位“1”探究濃度問題

濃度問題是人教版數學六年級上冊第六單元的內容，是在學生學習了分數乘除法、按比分配、百分數意義的基礎上教學的。教師要引導學生結合單位“1”的概念多角度思考，建立“一題多解”的思維。

一、聯系舊知，辨析概念內涵

濃度問題實質上是百分數問題，它和發芽率、命中率、出勤率、成活率等問題同時出現在教材中。濃度問題是學生容易出錯的題型，他們往往錯誤地認為濃度是溶質與溶劑的百分比。筆者抓住新舊知識之間的關系設置問題情境，幫助學生形成對濃度的正確理解。

新課伊始，筆者呈現問題情境：“周日的早晨，小賢為媽媽沖泡了一杯濃度為30%的糖水，媽媽嘗了一口，感覺太甜，于是加入開水稀釋，稀釋后感覺甜度剛剛好。”由此，筆者提出這個情境中濃度具體指什么的問題。學生回答：“這里的濃度就是甜度。媽媽感覺太甜，就是說糖水的濃度高了。”筆者引導：“有哪些辦法能讓糖水的濃度變低？”學生回答：“要么增加水，要么減少糖。這個情境中用的就是增加水的辦法。”筆者繼續提問：“你能聯系百分數的意義說說濃度具體表示誰占誰的百分比嗎？”有的學生認為濃度是糖占水的百分比，有的學生持反對意見。持反對意見的學生認為，糖水是由糖和水混合得到的，糖水應該是單位“1”，另外，水和糖都是糖水的一部分，糖與糖水、水與糖水都是部分與整體的關系，所以濃度應該是糖占糖水的百分比，而不是糖占水的百分比。這樣，學生在具體情境中聯系單位“1”、百分數等知識準確理解了濃度的意義，有效突破了“水”是總量（單位“1”）的錯誤認識。

二、豐富過程，理清數量關系

尋求等量關系、建立解題模型是本節課的重難點。筆者通過富有啟發性的現實情境，引導學生用數學的眼光解讀問題，理清問題中的數量關系，逐步抽象出數學模型。

課堂上，筆者引導學生寫出表示含糖率的等式。一名學生提出：依據分數與百分數的關系，以及求一個數是另一個數的幾分之幾可以用除法計算，我們可以推理出“糖的質量÷糖水的質量=含糖率（30%）”，結果要記得加上“%”。另一名學生補充：三個量中，只要已知其中的兩個量，就可以利用乘除法各部分間的關系得出第三個量，如“糖的質量÷含糖率=糖水的質量”“糖水的質量×含糖率=糖的質量”。筆者肯定了學生的想法并提問：有沒有一種可能，只要知道三個量中的一個量就可以推出另外兩個量？學生一時陷入茫然，筆者讓學生先思考再小組討論。小組討論后，學生發現：依據分數與除法的關系，如果把30%寫成分數的形式，分子30就是糖的份數，而分母100是糖和水的總份數，只需要用“100-30”即可得出水是70份，這里的30，70，100均指份數，不代表具體數量，但只要知道3個份數中某1個份數對應的量，就可以求出另外兩個量。

三、題組對比，深化問題理解

濃度問題的題型豐富，變式多。小學生容易理解的解法一般是“抓不變量”，即尋找溶液配比前后的不變量，依靠不變量建立等量關系。教學中，筆者充分利用教材提供的素材，設計以下三個層次的問題，引導學生多角度歸納問題的外在特點與內在聯系，發現數量間的對應關系，進而體會解決問題方法的多樣性和一致性。

筆者先出示第一組題目（①一個分數，分子加3；②一個分數，分母減5；③一個分數，分子、分母同時加3；④一個分數，分子、分母同時減5），讓學生找找其中什么量沒有變。學生回答：第①題中分母不變，第②題中分子不變，第③題和第④題中分子和分母的差不變。這道題為學生分析變化量和不變量奠定了基礎，降低了學習難度。

然后，筆者出示第二道題目：小賢要喝濃度為20%的糖水，如果有糖20克，應該加水（ ）克；如果有水20克，應該加糖（ ）克。學生獨立作答后匯報：把糖水的質量看作單位“1”，將其平均分成100份，第一問中糖占其中的20份，對應的數量剛好是20克，20克÷20份=1克，說明每份數剛好是1克，而水有80份，則可用“1×80”得出應該加水80克；第二問中水有20克，對應的份數是80份，所以每份數用“20÷80”計算，得出每份是0.25克，而糖還是20份，則可用“0.25×20”計算出應該加糖5克。筆者通過單位“1”不變的簡單題型，引導學生用“量率對應”的策略解題，分別計算部分量，實現了知識的遷移，提高了思維的靈活性。

最后，筆者出示第三道題目：在30克濃度為20%的糖水中加多少糖能得到濃度為40%的糖水？學生讀題后，筆者提問：題目中20%和40%分別表示什么？學生結合具體情境認真思考兩個分率的含義，并在小組內交流。通過組內討論，學生得出：20%指加糖前糖占糖水的20%，40%指加糖后糖占糖水的40%。筆者引導：題目中有兩個分率，必定對應兩個單位“1”，這兩個單位“1”是否統一？學生發現：20%對應的單位“1”是原來的糖水，40%對應的單位“1”是現在的糖水，因為加糖后糖的質量變了，糖水的質量也變了，所以單位“1”變了。筆者追問：單位“1”變了怎么解題？題目中有沒有不變量？筆者給學生獨立思考的時間，讓學生自己找出不變量。幾分鐘后，學生發現題目中只有水的質量沒變。筆者在黑板上畫出線段圖，并用彩色粉筆標注線段中量與率的對應關系，將抽象問題具象化、復雜問題簡單化。據此，學生得出兩種解法：一是先用“30×（1-20%）”求出水的質量是24克，再用“24÷（1-40%）”求出現在糖水的質量是40克，因為現在的糖水比原來的糖水增加的部分就是加糖的質量，所以可以用“40-30”求出加糖10克；二是利用加糖前后水的質量不變列方程解答，即假設加糖[x]克，先用30×（1-20%）表示出原來糖水中水的質量，再用（30+[x]）×（1-40%）表示出現在糖水中水的質量，因為加糖前后水的質量沒有變化，所以30×（1-20%）=（30+[x]）×（1-40%），解方程可得[x]=10，也就是加10克糖。

筆者通過設置不同的題型，循序漸進地引導學生深化對濃度問題的理解，形成了不同的解題策略，獲得了“抓不變量”的解題技巧。

（作者單位：武漢市江夏區實驗小學熊廷弼路校區）

濃度問題是小學數學中的重要問題，包括加濃問題、稀釋問題、濃縮問題、混合問題等。這類問題條件相對復雜、變式較多，具有較強的探索性和趣味性。教學濃度問題有利于強化學生運用百分數相關知識解決問題的能力，培養學生的模型意識，發展學生的數學思維。