基于SOLO分類理論的數(shù)學符號意識

SOLO分類理論以等級描述為顯著特征，界定了從低到高的五個進階式思維結(jié)構水平：前結(jié)構水平、單點結(jié)構水平、多元結(jié)構水平、關聯(lián)結(jié)構水平和拓展抽象結(jié)構水平。基于SOLO分類理論的學業(yè)評價能客觀、有效地測評學生的符號意識素養(yǎng)水平，顯示學生的數(shù)學思維層次。筆者基于SOLO分類理論，結(jié)合符號意識的內(nèi)涵，構建了符號意識的“4水平（不涉及前結(jié)構水平）、12層次”評價框架，為教師合理制定符號意識培養(yǎng)目標和教學方案，科學測評學生符號意識的發(fā)展水平提供借鑒。

一、單點結(jié)構水平：感知與識別

數(shù)學符號的感知與識別水平的表現(xiàn)包括知道數(shù)學符號可泛指任意數(shù)或一類數(shù)，也可指特定的未知數(shù)。基于此，我們可將符號意識的感知與識別水平細分為3個層次：①感知數(shù)學符號讀寫的基本規(guī)范；②識別數(shù)學符號在特定情境下的含義，了解字母表達與數(shù)字表達的異同點；③辨析不同情境下數(shù)學符號的不同意義。與之對應的測評題目如下。

（1）省略乘號，改寫下面的式子。

[4×b=] [x×5=] [a×c=] [1×x=] [x·x=] [y×6=]

（2）“1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……”你可以用一句話就說完這首兒歌嗎？

（3）以下兩句話中，[a]和[b]的含義有什么不同？①交換律[a+b=b+a]。②小明今年[a]歲，爸爸今年比小明大28歲，爸爸今年（[a+28]）歲。

以上3道題分別對應符號意識的感知與識別的3個層次水平，既可用紙筆測試的方式進行評價，又可通過談話交流的方式進行評價，有助于教師了解學生對數(shù)學符號的初步感知情況。

二、多元結(jié)構水平：理解與運算

數(shù)學符號的理解與運算應該突出“一般化”思想。數(shù)學符號的形式運算可幫助學生掌握一種研究路徑，使所得結(jié)論具有一般性，從而凸顯數(shù)學符號的本質(zhì)。以字母a，b，c代表任意數(shù)為例，這一做法規(guī)避了逐一列舉數(shù)字的繁瑣，不但能降低表述的重復性，而且能為數(shù)學結(jié)論的推廣與拓展奠定基礎。再如，長方形面積公式S=ab這一符號化表達不僅適用于任何特定尺寸的長方形，還展現(xiàn)出強大的通用性。借助這一公式，我們可將長方形面積計算的邏輯拓展至平行四邊形等幾何圖形的面積求解中，無需重新推導相關公式。基于此，我們可將符號意識的理解與運算水平細分為3個層次：①理解數(shù)學符號運算結(jié)果具有一般性；②掌握數(shù)學符號的形式運算方法；③根據(jù)數(shù)學符號運算結(jié)果進行簡單的分析、推理。與之對應的測評題目如下。

游戲規(guī)則：首先用骰子隨機擲出兩個數(shù)字，組成一個兩位數(shù)，接著將這個兩位數(shù)十位上的數(shù)字乘2后加4，然后將所得結(jié)果乘5，最后加上個位上的數(shù)字。比一比，誰能更快地計算出最后的結(jié)果。

作答此題，層次1的學生表現(xiàn)是能想到用數(shù)學符號輔助思考；層次2的學生表現(xiàn)是能運用數(shù)學符號進行運算，即假設十位上的數(shù)字為[x]，個位上的數(shù)字為[y]，則這個兩位數(shù)可寫成[10x+y]，按照游戲規(guī)則，結(jié)果可用數(shù)學符號表示為[（2x+4）×5+y=][10x+][20+y=（10x+y）+20]；層次3的學生表現(xiàn)是能在符號運算的基礎上進行分析與解釋，說明“只要把隨機產(chǎn)生的兩位數(shù)直接加20，就可以快速計算出最后的結(jié)果”，并知道這樣的計算具有一般性，如原來的兩位數(shù)是36，最后的結(jié)果就是56。

以上題目可以幫助教師實施過程性評價和表現(xiàn)性評價，了解學生處于理解與運算水平的哪個層次，精準把握學生符號意識的具體發(fā)展情況。

三、關聯(lián)結(jié)構水平：聯(lián)想與推理

符號意識的聯(lián)想與推理水平重在推理。合情推理是一種從特殊到一般的推理形式，經(jīng)常用于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這種推理所得猜想雖然不一定正確，但它是創(chuàng)新和發(fā)明的源泉。演繹推理是一種從一般到特殊的推理形式，經(jīng)常用于證明猜想，能夠體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴謹性。在小學階段，通過類比、歸納等推理方法得出猜想，并聯(lián)想數(shù)學符號的特性進行演繹推理來驗證猜想，是培養(yǎng)學生有序思維、一絲不茍的數(shù)學理性精神的有效方法。基于此，我們可將符號意識的聯(lián)想與推理水平細分為3個層次：①探索數(shù)學符號在特定情況下的數(shù)值，根據(jù)結(jié)果得出猜想；②運用類比、歸納等推理方法，通過聯(lián)想得到猜想；③從一般的概念、公理出發(fā)，對猜想進行初步的演繹推理論證，并正確判斷結(jié)論的真假。與之對應的測評題目如下。

根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征，自主探索能被9整除的數(shù)的特征，并嘗試通過簡單的推理進行證明。

層次1的學生表現(xiàn)是先用特殊的數(shù)值進行嘗試，如18，135，4068這些數(shù)都能被9整除，進而猜想能被9整除的數(shù)的特征是：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)相加的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。層次2的學生表現(xiàn)是聯(lián)想被3整除的數(shù)的特征以及9和3的倍數(shù)關系，通過類比推理得出上述猜想。層次3的學生表現(xiàn)是根據(jù)已有認知，以一類數(shù)為例進行演繹推理（中學生可拓展至對任意多位數(shù)的推理證明）。如以三位數(shù)[abc]為例進行如下演繹推理：[abc=]100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）=9（11a+b）+（a+b+c）。

通過讓學生經(jīng)歷“嘗試→猜想→推理→結(jié)論”的思維過程，教師不但可以評價學生對數(shù)學符號的聯(lián)想與推理情況，而且可以促進學生深度學習，幫助學生提高利用數(shù)學符號解決問題的能力，發(fā)展抽象思維和推理能力。

四、拓展抽象結(jié)構水平：抽象與表達

數(shù)學符號的抽象與表達的評價點是學生能否對具體的研究問題進行符號化抽象，從而避免無關信息對問題解決的干擾，更好地建立數(shù)學模型，并從多樣化的數(shù)學符號表達中篩選出合適的表征方式，助力問題的有效解決。促進學生符號意識發(fā)展的關鍵是提高學生的數(shù)學符號表達能力，基于此，我們可將符號意識的抽象與表達水平細分為3個層次：①能根據(jù)實際問題抽象出有研究價值的數(shù)學符號；②能用多種形式的數(shù)學符號（如圖形、表格、關系式等）進行表征；③能對數(shù)學符號的多樣化表達進行相互轉(zhuǎn)換，并從中選擇最合適的表達形式，實現(xiàn)問題的解決。與之對應的測評題目如下。

（1）小明在果園里摘水果，請你先分別選擇合適的數(shù)學符號表示蘋果、梨、桃子和李子的數(shù)量，再用數(shù)學符號表示出它們的總數(shù)和平均數(shù)。

（2）小明用完全相同的小正方體積木搭建一個高塔，并且希望這個塔在視覺上呈現(xiàn)出某種規(guī)律。從最下層依次往上的積木個數(shù)分別是33，31，29，27……請你幫助小明找出這個規(guī)律，并用多種形式（如圖形、表格、關系式等）表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（3）請你觀察并記錄家里某盆植物的生長情況，探究植物的高度隨著天數(shù)而變化的規(guī)律，嘗試建立數(shù)學模型描述并預測這盆植物的生長速度。

以上3道題分別對應3個層次水平，層次1的學生表現(xiàn)是能進行簡單的符號設定和數(shù)量比較，理解數(shù)學符號在記錄信息中的基本作用。層次2的學生表現(xiàn)是通過表格、圖形等方式表征數(shù)量關系，從不同的視角呈現(xiàn)數(shù)據(jù)。層次3的學生表現(xiàn)是通過數(shù)據(jù)記錄、形式轉(zhuǎn)換和簡單應用，理解數(shù)學符號在問題解決中的重要作用，具有一定的符號轉(zhuǎn)換與選擇能力。分層次的測評題目能促進學生從簡單符號設定到多樣化符號表征再到符號轉(zhuǎn)換與應用，實現(xiàn)符號意識的發(fā)展。

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學校）

［本文系江蘇省陶行知研究會立項課題“小學數(shù)學探究式作業(yè)設計的實踐研究”（課題編號：JSTY14861）和江蘇省現(xiàn)代教育技術研究2022年度立項課題“基于現(xiàn)代信息技術的小學數(shù)學探究式學習的實踐研究”（課題編號：2022-R-104093）的成果］