借助問題驅動，發展核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握教學內容的本質。提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發學生學習數學的興趣，培養良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創新意識的發展。”在平時的教學中，教師只有正確把握教學方向，優化教學設計，才能幫助學生有效理解知識的本質，把握數學的本質，靈活運用知識，掌握思想與方法，構建知識體系，從而能有意識地用數學的眼光觀察現實世界，會用數學思維思考現實世界，會用數學語言表達現實世界。

一、教學內容分析

“函數的基本性質（1）”是上教版高中數學教材必修一第五章第二節“函數的基本性質”的第一課時。本章是在初中和上一章學過的一次函數、反比例函數、二次函數、冪函數、指數函數和對數函數這些具體函數基礎上歸納共性，討論函數的基本性質。對于函數的奇偶性，教材從學生熟悉的兩個特殊函數入手，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，比較系統地介紹了函數的奇偶性。另外，由于初中關于“軸對稱”“中心對稱”缺少嚴格的、可以用來進行代數檢驗的定義，在本教材中用一句話點明了軸對稱、中心對稱的實質。最終讓學生體會到利用函數奇偶性研究函數的性質可以獲得事半功倍的效果，為后續研究函數的其他性質做鋪墊。

二、教學目標及重、難點

教學目標：

1.經歷函數奇偶性概念的形成過程，理解偶函數與奇函數的概念與圖象特征，體會數形結合、從特殊到一般等數學思想方法，發展直觀想象、數學抽象的素養。

2.會在簡單情形下利用定義證明函數為奇函數或偶函數，發展邏輯推理素養。

教學重點：理解偶函數和奇函數的概念和圖象特征。

教學難點：奇函數、偶函數的圖象特征的代數表達形式及其推理論證。

三、教學過程

（一）觀圖激趣，引入新課

教師用多媒體展示圖1、圖2，讓學生欣賞生活中的“對稱美”。

（設計意圖：通過欣賞現實生活中具有對稱美的圖片，激發學生的學習興趣，并為學習函數的奇偶性作鋪墊。）

（二）復習舊知，溫故求新

【問題1】下列函數中，哪些函數的圖象關于軸成軸對稱？

（1）y=x2； （2）y=x3； （3）y=x-1； （4）y=x-

思考1：如何判斷函數圖象是否關于y軸成軸對稱呢？

我們知道一個圖形關于直線l軸成軸對稱，是指該圖形上的任意一點關于直線l的對稱點也在此圖象上。

思考2：如何借助一個圖形關于直線成軸對稱得到一個函數圖象關于軸成軸對稱呢？

一個函數圖象關于軸成軸對稱，是指該圖象上的任意一點關于軸的對稱點也在此圖象上。

（設計意圖：借助已學過的冪函數，尋找函數圖象關于y軸成軸對稱的函數，一方面對所學知識復習鞏固，另一方面為問題2做鋪墊。）

（三）探究概念，領悟內涵

【問題2】函數y=f（x），x∈D圖象具有關于y軸成軸對稱的特征，其相應的自變量與函數值的對應關系是如何體現這個特征的？

借助函數y=x2說明f（x）=x2（見表1）。

觀察并猜想：函數y=x2，x∈R的圖象關于y軸成軸對稱，那么對于任意給定的x0∈R，都有-x0∈R，并且f（-x0）=f（x0）。

證明：在函數y=x2，x∈R的圖象上任取一點P（x0，y0），則y0=x02。

由于點P（x0，y0）關于y軸的對稱點為P′（-x0，y0）（如圖3所示）。因為函數y=x2的圖象關于y軸成軸對稱，那么P′（-x0，y0）也在函數圖象上，即-x0∈R，y0=（-x0）2，從而得到（-x0）2=x02。

思考3：由特殊函數推廣到一般函數結論是否依然成立呢？

求證：已知函數y=f（x），x∈D的圖象關于y軸成軸對稱，那么對于任意給定的x∈D都有-x∈D，并且f（-x）=f（x）。

證明：在函數y=f（x），x∈D的圖象G上任取一點P（x0，y0），就有x0∈D，并且y0=f（x0）.由于點P（x0，y0）關于y軸的對稱點為P′（-x0，y0）（如圖4所示）。 如果函數y=f（x），x∈D的圖象關于y軸成軸對稱，那么P′（-x0，y0）也在函數圖象G上，即-x0∈D，并且y0=f（-x0），得到f（-x0）=f（x0）.這說明，如果函數y=f（x），x∈D的圖象關于y軸成軸對稱，那么對于任意給定的x∈D，-x∈D均成立，并且f（-x）=f（x）。

【問題3】如果自變量與函數值的對應關系滿足：對于任意給定的x∈D，均有-x∈D，并且f（-x）=f（x）時，那么該函數圖象具有關于y軸成軸對稱的特征嗎？

分析：即證明圖象上的任意一點關于y軸的對稱點也在此圖象上。

證明：如果對于任意給定的x∈D均有-x∈D，并且f（x）=f（-x），那么在函數y=f（x），x∈D圖象G上取任意一點P（x0，y0）且x0∈D（如圖5所示），即y0=f（x0）.它關于y軸的對稱點P′（-x0，y0），由于滿足-x0∈D，并且f（-x0）=f（x0），即點P′的坐標為（-x0，f（-x0）），則y0=f（-x0）.即點P′（-x0，f（-x0））也在該函數圖象上，因此該函數的圖象關于軸成軸對稱。

學生活動：閱讀教材偶函數的定義。

（設計意圖：從特殊到一般，從具體到抽象，先猜想再證明。通過問題2、3，得到“函數的圖象關于y軸成軸對稱”等價表達形式。）

【問題4】思考下列問題：

1．判斷函數y=x2，x∈［1，-2］是否為偶函數。

2.已知函數y=f（x），x∈D“任意給定的x∈D，有-x∈D”是“該函數為偶函數”的 條件。

3．判斷下列命題真假。

（1）已知函數y=f（x）（x∈R），是一個偶函數，則f（-2）=f（2）。

（2）已知函數y=f（x）（x∈R），若f（-2）=f（2），則函數y=f（x）是一個偶函數。

例1 證明：函數y=2x4-3x2是一個偶函數。

證明：函數y=2x4-3x2的定義域為R，

記f（x）=2x4-3x2，在R中任取一個實數x，都有-x∈D，并且f（-x）=2（-x）4-3（-x）2=2x4-3x2=f（x）

因此，y=2x4-3x2是一個偶函數。

（設計意圖：通過問題4進一步理解偶函數定義中的關鍵詞，體會到函數的奇偶性是函數的整體性質。通過例1并進一步向學生展示用偶函數的定義證明一個函數是偶函數，并歸納證明的步驟。）

（四）類比方法，自主探究

學生活動：閱讀教材中奇函數的定義，完成下列表格。（見表2）

（設計意圖：學習函數奇偶性的定義后，學生可以自行選擇解題方法，進而掌握判定函數奇偶性的方法。）

（五）例題講解，鞏固新知

例3 是否存在定義在R上的，且既是奇函數又是偶函數的函數？若存在，求出所有滿足此條件的函數；若不存在，說明理由。

解：這樣的函數是存在的，函數y=0，x∈R就是一個滿足這些條件的函數。

設滿足這些條件的函數為y=f（x），對任意給定的實數x0，一方面因該函數是奇函數，故f（-x0）=-f（-x0）；另一方面，因該函數是偶函數，故f（-x0）=f（x0）。

因此f（x0）=-f（-x0），即f（x0）=0，所以這樣的函數只有一個，即y=0，x∈R。

【問題6】既是奇函數又是偶函數的函數是唯一的嗎？

函數y=0，x∈D（只要任意給定的x∈D，均有-x∈D即可）。

（設計意圖：在掌握偶函數、奇函數的定義的基礎上，將本節課的探究難度再一次提升，進一步理解并探究既是奇函數又是偶函數的函數，并得出相關的結論。）

（六）歸納小結，整體認知

1.本節課的主要知識是什么？

2.本節課感悟到了哪些思想和方法？

（設計意圖：通過反思式問題設置讓學生進行開放式的自主小結，積累探究經驗，深化相關思考與認識，形成良好的認知結構。）

（七）課后作業，拓展提高

【基礎練習】

1.若函數y=f（x）的定義域為R，則y=f（x）為奇函數的充要條件為（ ）

A.f（0）=0；

B.對任意x∈R，f（x）=0都成立；

C.存在某個x0∈R，使得f（x0）+f（-x0）=0；

D.對任意給定的x∈R，f（x）+f（-x）=0都成立。

2.設偶函數y=f（x）的定義域為［-5，5］，若當x∈［0，5］時，y=f（x）的圖象如圖6，則不等式xf（x）＜0的解是 。

3.證明下列函數是奇函數。

（1）y=2x-2-x；（2）y=log2（1+x）-log2（1-x）

【能力拓展】

1.已知y=f（x）是奇函數，y=g（x）是偶函數，且f（-1）+g（1）=3，f（1）+g（-1）=5，則g（1）= 。

2.（1）設y=f（x）為定義在R上的奇函數，y=gx為定義在R上的偶函數，對任意實數x，都有f（x）+g（x）=3x，求y=f（x）與y=g（x）的表達式。

（2）對于定義在R上的任意函數y=h（x），是否總存在R上的奇函數y=f（x）和偶函數y=g（x），使得對任意實數x，都有h（x）=f（x）+g（x）。

【探究提高】

1.已知函數y=f（x）的圖象關于x=1對稱，研究函數y=f（x）的表達式滿足的條件。

2.已知函數y=g（x）的圖象關于點（1，0）對稱，研究函數y=g（x）的表達式滿足的條件。

四、教學反思

（一）創設_{407031ba9cb47dbd6b4a54f979fbae08}情境，體現學科育人價值

本節課通過生活中存在的對稱美引入課題，讓學生感受到數學來源于生活，借用中國傳統的剪紙文化，不僅提高了學生的學習興趣，還滲透學科育人價值，讓學生充分地在教學活動中去觀察、思考、探究。

（二）問題驅動，有序開展遞進探究

問題驅動是一種有效的教學方法，它通過提出問題、思考問題和解答問題的方式，促進學生的學習和知識掌握。在有序開展遞進探究的過程中，問題驅動發揮著關鍵作用。

問題驅動可以激發學生的好奇心和探究欲望、有助于構建有序的學習過程以及培養學生的批判性思維和創新能力，還可以幫助學生更好地掌握知識、提升能力。因此教師應根據學生的實際情況、教學內容、教學目標及教學重難點，設計具有一定結構的問題，并注重問題間的聯系。在教學過程中，教師還應關注學生的學習反饋，及時調整教學策略，通過不斷追問和引導，使學生的認知慢慢被打開，頗有一種“螺旋式上升”的意味在其中。

本節課借助函數圖象的對稱特征，歸納為點的對稱關系，由點的對稱關系，通過問題驅動學習，層層遞進，抽象出坐標的關系進而形成偶函數、奇函數定義的符號語言。經歷了由形得數，由數思形的過程，體會到數形結合的思想方法，以及從特殊到一般，具體到抽象的研究過程。從感性到理性，從數、形兩個維度深刻解析了函數的奇偶性的概念。

（三）問題解決，發展學科核心素養

數學學科核心素養是數學課堂目標的集中體現，是在數學學習過程中逐步形成的。問題解決是發展學科核心素養的重要途徑之一。

本節課的設計上，從生活中的圖形過渡到學過的函數，通過問題1，引出函數圖象關于y軸成軸對稱，發展直觀想象素養。通過問題2、問題3，得到“函數的圖象關于y軸成軸對稱”等價表達形式，進而得到偶函數的概念，并從中獲得研究函數性質的一般方法。通過類比偶函數的研究過程得到奇函數的概念，并自主探究“函數的圖象關于原點成中心對稱”等價表達形式，提升學生歸納推理能力，發展數學抽象素養和數學邏輯推理素養。

在教學過程中，教師通過引導學生自主探究、積極思考和解決問題，可以幫助學生深入理解學科知識，提升學科能力，進而發展學科核心素養。通過自主探究、合作交流共享“智慧之光”，通過反思開展深度學習，學生逐步學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界，促進了“四基”。“四能”在課堂教學中的落實，能有效提升學生的核心素養。

（作者單位：上海音樂學院附屬黃浦比樂中學）

編輯：曾彥慧