尺規作圖的小思考

［ 摘 要 ］面對尺規作圖題，很多學生還不會方法，只能隨手畫一些基本尺規作圖，如角平分線、垂直平分線，解題仍停留在碰運氣階段，人也比較茫然，他們急需解決尺規作圖題的方法.本文中“先有答案，再有分析”的方法能幫助學生很好地解決尺規作圖問題.

［ 關鍵詞 ］尺規作圖；等腰三角形；相似

《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求：對于尺規作圖，學生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由 ［1］ .實際教學中，很多學生面對尺規作圖題都束手無策，只能對著圖空想，或者胡亂畫幾筆，運氣好可能解決了問題，大多數情況只能“望題興嘆”. 尺規作圖不僅是一種畫圖操作，更是數學思維和數學探究的一種過程以及知法明理的追溯.對于尺規作圖題，通過邏輯分析，再進行畫圖操作才是解決問題的正確方法.下面，以一道尺規作圖題為例，闡述筆者的一點小思考.

試題呈現

如圖1，已知點P是∠AOB內部的一點，過點P用直尺和圓規作直線CD，直線CD分別交OA，OB于點C，D，使得OC = OD.

問題解析

比較兩個數的大小，學生通常用“做差法”；證明兩條線段相等，學生通常證明全等或等角對等邊 .解決尺規作圖題也有方法 .筆者經常和學生說，“先有答案，再有分析”，就是假設畫出了一個大致滿足題意的結果圖，然后聯想已掌握的相關知識點，綜合分析這個圖滿足何種性質，最后借助分析所得性質反向畫圖 . 如圖 2，假設 CD 已經畫出，就會出現△COD，它是等腰三角形，分析等腰三角形的性質：三線合一，等邊對等角；等腰三角形判定：等角對等邊.聯想之前的解題經驗：構造全等三角形，相似三角形等思路.

解法一：如圖3，作∠AOB的角平分線OE，過P做OE的垂線，分別交OA，OB于點C，D，點C，D即為所求.

解法分析：此種解法很容易想到，學生熟悉等腰三角形的性質：三線合一，頂角平分線垂直于底邊，所以只需過P作頂角平分線的垂線.

解法二：如圖4，連接OP，作∠COE=∠DOP，截取OF=OP，連接PF，分別交OA，OB于點C，D，點C，D即為所求.

解法分析：要想得到OC=OD，可以考慮構造全等三角形，如果連接OP，那么△POD就確定了，利用等腰三角形的軸對稱性，只需構造出△COF即可.

解法三：如圖5，過P作PE∥OB，交OA于點E，截取CE=EP，交OA于點C，連接CP，交OB于點D，點C，D即為所求.

解法四：如圖6，以O為圓心，任意長度為半徑畫弧，分別交OA，OB于點E，F，過P作EF的平行線（構造平行四邊形），交OA，Sq+NrLY0RBJXMBE2HhmPLpCuR/r3d4rSHaMfyLot6CY=OB于點C，D，點C，D即為所求.

解法分析：通常以往的解題經驗對于解決新問題是有幫助的，上面的解題思路源于筆者曾在波利亞《怎樣解題》 這本書中看到過：作三角形的內接正方形.思路大致是：先依托三角形的邊做一個小正方形，然后利用位似構造內接正方形 . 所以，可以類比，先做一個等腰三角形，然后利用“A型”相似解決問題.

解法五：如圖7，作∠AOB的角平分線 OE，過 P 作 PF⊥OA，垂足為 F，作∠FPC = ∠AOE，交 OA 于點 C，連接 CP，交 OB 于點 D，點C，D即為所求.

解法分析：按照“先有答案，再有分析”的方法，已知∠AOB，如 果 △ COD 為 等 腰 三 角 形 ， 則∠OCD的大小為90° -1/2∠AOB，只需過點P作∠OCP = 90° - 1/2∠AOB.

思考

面對尺規作圖，很多學生的解題方法目前還停留在“綜合法”，即由因索果 .它來源于學生解答簡單幾何證明題的活動經驗 .簡單尺規作圖題，由題目條件往往可以推導出很多有用的信息，這樣問題基本就解決了 .而面對有難度的尺規作圖題，已知條件非常少，不能往下推導出很多有用的信息，“綜合法”幾乎就行不通了，這時候可以采用“分析法”，即由果索因，筆者將其總結為“先有答案，再有分析”，就是假設圖的結果已然畫出，再去分析它具有的性質，利用所分析的性質反向作圖，如本文中假設 C，D已經畫出，聯想等腰三角形的性質和已有的解題經驗 .尺規作圖是中學數學的重要內容，是思維訓練的重要載體，掌握它的解題方法很重要，希望“先有答案，再有分析”的方法對學生解題有所幫助.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.