落實整體教學觀念 促進核心素養發展

［ 摘 要 ］數學課程要培養的核心素養具有階段性、連續性、整合性等特點，“四基”是發展這些核心素養的有效載體．在促進數學核心素養發展的教學研究與實踐中，需要教師樹牢整體教學觀念，即通過一節課或幾節課關注更大范圍（如一個單元、一個主題，甚至跨學科主題等）的教學，旨在突出教學內容的整體性．研究者以“二次函數的圖象及性質”的教學實踐為例，探討如何以函數為主題開展教學，并在課堂教學中抓住函數概念本質，整體把握函數學習的特點和規律，注重內容的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統性．

［ 關鍵詞 ］整體教學觀念；數學核心素養；二次函數

數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能．義務教育數學課程具有基礎性、普及性和發展性 ［1］ ．數學課程要培養的核心素養具有階段性、連續性、整合性等特點，“四基”是發展這些核心素養的有效載體 ［2］ ．

在落實素養發展的教學研究與實踐中，有很多研究與探索，例如主題教學、單元教學、大概念教學以及深度學習，它們的一個共同特點是不提倡傳統的圍繞單一課時（即課時教學）展開的零散教學，而是通過一節課或幾節課關注更大范圍（如一個單元、一個主題，甚至跨學科主題等）的教學，突出教學內容的整體性，也就是整體教學觀念 ［3］ ．

如何整體把握教學內容，突出數學本質，發展學生的核心素養？筆者以“二次函數的圖象及性質”的教學為例，探討如何在課堂教學中抓住函數本質，從整體上把握函數學習的特點，注重內容的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統性.下面，就以函數為主題展開教學．

提出研究問題，討論研究思路

二次函數是學生在學習了一次函數后研究的第二個具體函數．在教師對函數主題學習特點的整體把握下，學生在學習一次函數時逐步積累了研究函數的基本活動經驗，初步掌握了研究函數的一般方法．因此，二次函數的教學思路是由師生共同討論確定研究對象、研究內容，學生以學習小組為單位自主展開研究．

師：上節課我們從實際問題中抽象出了一類具體函數 — —二次函數，你能舉一些現實生活中二次函數的例子嗎？

生 1：圓的面積 S是它的半徑 r的二次函數．

生2：用20米的柵欄圍成一個 矩形的小花園，小花園的面積y是 它的一邊長x的二次函數.

師：同學們舉的這些例子都非 常好，接下來，我們會特別關注在 這些問題中變量之間的變化規律， 看它們有什么共性.這其實就是要 研究二次函數的什么呢？

經過討論之后，學生漸漸打開

了思路：自變量x的取值范圍、函 數值y的取值范圍、函數的圖象、 函數的增減性、兩個函數圖象的位 置關系（平移、旋轉等）、函數的應 用……

師：我們學過了一次函數，那 時是怎么研究函數的圖象和性質的？

你有什么經驗？

生3：先畫一些特殊函數的圖象，再由圖象歸納性質。

生4：也可以不畫圖，從解析 式直接分析它的圖象和性質.

師：同學們的想法都非常好. 有的同學提到先用描點法畫一些特 殊函數的圖象，由圖象歸納性質， 這是我們之前常用的方法，數形結 合，非常直觀.此外，同學們還注 意到了從特殊到一般去歸納函數的 性質，非常棒.有的同學提出也可 以不畫圖，從解析式直接分析它的 性質，然后再用圖象去驗證，這種 方法比較抽象，也非常棒.

師：今天，同學們以學習小組為 單位，商討選擇一種思路來自主研究 二次函數的圖象和性質，然后各小組 可以匯報和交流你們的研究成果.

小組合作學習，自主展開研究

全班學生分成5個組，每組約6 人，學生以學習小組為單位自主研 究二次函數的圖象和性質.教師進 行課堂巡視觀察，根據各組研討情 況適度參與小組討論.通過這部分 內容的學習，讓學生進一步了解， 盡管研究對象在變，但研究數學概 念的基本思想方法不變，從而分階 段逐步加深學生對函數的理解，體 現整體把握下的螺旋上升原則.

1.確定研究規劃路線圖

學生類比一元二次方程的研究 經驗，制定二次函數的圖象和性質 的研究規劃路線圖.

按照從簡單到復雜、從特殊到 一般的順序，以“二次函數的圖象 和性質”的研究規劃路線圖為路徑， 大約通過6節課完成二次函數的圖象和性質的研究過程，每節課的研 究成果，都為后一節課的研究提供 基本活動經驗和思路，同時根據研 究進程微調研究路線圖.

在此過程中，學生可以充分感 受到配方法、圖象平移法等方法起 到的重要作用，不斷體會到數形結 合思想的作用，不斷領悟幾何直觀 的價值意義.學生在深入理解函數 的本質，關注函數研究的一般方法 的過程中，逐漸形成簡化的、本質 的、對未來學習更有支持意義的、 內在邏輯性較強的函數的知識結構， 形成科學的思維習慣.

2.自主展開研究活動

這部分內容以“獨立探究和小 組交流”的學習方式展開.學生們 借助以往學習函數的活動經驗自主 研究新函數，即二次函數.師生互 動，生生互動，課堂氛圍和諧愉快， 學生的思維深度參與，不斷碰撞， 研究熱情高漲.

大部分小組是從特殊函數入手， 畫出函數圖象，再抽象概括二次函 數的圖象特點和性質，這說明大部 分學生已經可以比較熟練地自主研 究一個新函數.有的小組思考得很 深，從函數解析式的特征入手，得 出猜想，然后畫出函數的示意圖， 驗證猜想，再進一步分析或概括出 函數的性質，數形結合更加深入.

函數圖象是研究函數性質的直 觀載體，從圖象上可以觀察函數的 變化規律，整體上把握函數性質， 但是難以深入局部和細節.而通過 函數的解析式可以對函數的性質進 行細微的“解讀”，但很抽象，不直 觀.教師在巡視指導過程中，若發 現學生在討論過程中出現了有價值 的問題，應引導學生深入分析原因， 及時調整研究方向，以期抓住函數 的本質特征.在小組自主開展研究 的過程中，可使學生不斷地感受和深入理解“函數解析式和函數圖象” 的關系.

二次函數不同于一次函數，函 數解析式的結構從“一次”提升到 了“二次”，函數圖象的形態并不確 定.學生在使用描點法時，可能不 確定某點或某段上的函數值，不能 準確地描述函數圖象的整體走勢， 此時，教師應引導學生借助函數解 析式，分析函數值，猜測圖象大致 的走勢，再利用幾何畫板、圖形計 算器等軟件或學具繪制函數圖象， 進而驗證猜想的正確性，研究函數 特征，回歸到解析式，“再認識”函 數特征.

3.小組匯報研究成果

5個學習小組從“研究角度、 研究方法和研究成果”幾個方面進 行匯報交流，有的小組還采用了思 維導圖的方式呈現匯報內容，贏得 了同學們的一致稱贊.

下面選取一部分小組匯報進行說明：

【研究對象：二次函數y=ax2（a≠0）】

小組1我們先取一些特殊的二 次函數畫圖，例如y=x2（a>0的函數 代表），y=-x2（a<0的函數代表）， 然后抽象概括性質，發現了一些比較

典型的函數特征：圖象有最低點或最 高點，對應可以得到函數的最小值和 最大值；圖象是對稱的，是一個軸對 稱圖形；一個圖象中包括下降和上升 兩個變化趨勢，因此二次函數的增減 性比一次函數要復雜些，需要分區域 說明；圖象經過的象限也和一次函數 不同；和坐標軸的交點竟然重合到了 一點（0，0）……

小組2我們研究了最一般的 二次函數y=ax2（a≠0）的圖象和 性質，由于a不確定就沒有先畫圖， 而是從解析式出發分析了它的圖象 特點和一些性質，邊分析邊畫了一些圖，驗證了猜想，也發現了更多 的性質.

我們先關注了自變量x的取值 范圍是全體實數，而函數值y就有 點意思了.如果a>0時，x2具有非 負性，所以不論自變量x取什么值， 函數值y都是“大于等于零”的， 它的圖象就不會分布在第三象限和 第四象限；如果a<0時，函數值y 都是“小于等于零”的，它的圖象 就不會分布在第一象限和第二象限， 所以我們進行了分類，分a>0和a< 0兩類情況進行研究.

當a>0時，在第一象限內，由 于當x>0時，由y=ax2（a>0）可 知，x越大，y越大，所以圖象應該 是上升趨勢.在第二象限內，由于 x<0，由y=ax2（a>0）可知，x越 大，y越小，所以第二象限的圖象是 下降趨勢，從而得出了函數的增減 性.（當a<0時的情況，具體匯報 過程略）

第1小組通過畫圖，發現了二 次函數圖象是軸對稱圖形.后來我 們研究發現由解析式y=ax2（a≠0）

可知，如果點（m，n）在函數圖象 上，那么點（-m，n）也在函數圖 象上，從而進一步證實了這個發現.

【研究對象：二次函數y=ax2+ c（a≠0）】

小組3在探究過程中，我們對 系數進行分類討論，以二次函數y= x2+1和y=x2-2為代表進行了研究. 結合上一節的研究經驗，確定的研究

角度是：自變量x的取值范圍、函數 值y的取值范圍、函數值y隨自變量x 的變化而變化的趨勢（增減性）、對稱 性（軸對稱或中心對稱）、函數的最 值、函數圖象與坐標軸的交點.

在畫圖過程中，我們發現了一

個有趣的現象：y=x2+1和y=x2- 2可以由y=x2上下平移得到對應的 函數圖象，因為是“平移”關系，也就具有同樣的函數特征，而且這 個研究結論是可以推廣到一般情況 的.在老師的引導下，我們組從 “表格”“解析式”和“圖象”三個 方面驗證和理解二次函數y=ax2+c （a#0）的圖象與y=ax2（a#0）的圖 象之間的平移關系，充分感受函數 圖象平移的原因.

因此，在后續的研究中，我們 的研究角度又多了一個：尋找與已 知函數之間的關系，如圖3.

學生在用描點法畫圖象時，先 分析函數解析式的結構特點，猜測 圖象大致的變化趨勢，再選取具有 代表性的點.教學中，我注重培養 學生嚴謹的探究態度，體會到描點 畫圖象的局限性.鼓勵學生借助幾 何畫板或圖形計算器畫精確的圖象， 得到函數特征.“式決定形，形再認 識式”，體會數形結合思想.

隨著研究的深入，二次函數的解析式變得更加具有一般性，學生需要考慮的研究角度更多，研究內容更復雜．學生通過交流、猜想、畫圖、觀察、驗證、概括等活動過程，逐步理解研究函數的基本方法，進一步學會特殊到一般、數形結合的研究思路．

回顧研究過程，梳理研究方法

1.總結研究函數的基本方法

學生回顧研究過程，梳理研究方法，不僅對函數的基本研究方法更清楚了，對函數的認識也更加深入了，這促使學生更好地理解知識本質，打通函數、一次函數、二次函數之間的關聯，建構起函數主題下比較清晰的知識脈絡，形成一般化的研究方法和認識方法.

2.梳理研究函數的基本維度

通過回顧二次函數的研究流程，明確探究一個新函數特征的研究角度和維度．

（1）自變量x的取值范圍，函數值y的取值范圍；

（2）函數值y隨自變量x的變化 而變化的趨勢（增減性）；

（3）函數圖象的對稱性（軸對稱或中心對稱）；

（4）函數的最值（函數圖象的最低點或最高點）；

（5）函數圖象與坐標軸的交點；

（6）尋找與已知函數之間的 關系.

在對基本函數進行教學的時候， 除了關注相應函數的性狀的研究之 外，還要引導學生感悟研究函數的 基本方法和研究函數問題的維度， 很好地激發學生認識新函數、解決 新問題的熱情和信心.

人們要認識客觀事物的本質，必須在感性認識的基礎上，上升到理性認識，通過思維活動才能達到對事物內部規律性的聯系及其本質的認識．思維是人腦這個高度組織起來的物質的機能，是對外部現實的能動的反映 ［4］ ．從整體上把握教學內容，通過制定具有全面性、階段性和操作性的教學目標，注重數學知識和素養的螺旋式上升，展現給學生一個科學完整的發現過程，讓學生了解知識的來龍去脈以及關于知識的“原創性”思考，理解數學的本質，進而構建自己關于數學知識體系、素養、“四基”和“四能”的認知網絡，形成系統化和結構化的思維 ［4］ ．

在具體的教學實施過程中，教師不應拘泥于主題教學、單元教學或大概念教學等概念在學術上的嚴格界定，而應將其作為實現整體把握教學的一種形式，突出它們在實現整體把握數學內容及教學方面的特殊價值，重視數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，強化對數學本質的理解，幫助學生建立起對未來學習有支撐意義的數學基礎知識結構，體會和感悟不同教學內容背后具有一致性、可遷移性的數學思想與活動經驗，形成良好的數學思維習慣，發展核心素養 ［5］ ．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準 （2022 年版）［M］．北 京 ： 北 京 師 范 大 學 出 版 社 ，2022．

［2］ ［5］ 孫曉天，沈杰．義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀［M］．北京：教育科學出版社，2022．

［3］劉曉玫．深度學習：走向核心素養 ［M］．北京：教育科學出版社，2019．

［4］溫寒江．思維的全面發展與中小學創新能力培養［M］．北京：教育科學出版社，2015．