數形結合，巧判全等

幾何是初中數學的重要內容，對培養學生的邏輯推理、空間想象等數學素養有著重要作用。在實際教學中，學生容易混淆全等的概念和判定方法，對“兩條邊夾一個角”的判定條件理解得不夠透徹，難以舉一反三、靈活運用。因此，如何幫助學生真正理解全等三角形判定的本質，提高學生發現、提出并解決幾何問題的能力，是每一位數學教師值得思考和探索的問題。

一、教材分析

人教版八年級上冊數學教材第十二章專門講述全等三角形，首先引入全等圖形的定義，繼而從三角形全等的充要條件出發，引出邊角對應相等的概念，最后通過學生動手操作得出“邊、角、邊”（SAS）判定全等三角形的方法，并用經典例題加以鞏固。

二、學情分析

八年級學生已具備一定的幾何基礎，能根據三角形全等的定義判斷兩個三角形是否全等，對應用三角形全等性質解決一些簡單問題也有初步經驗。但部分學生對邊、角在全等三角形中的對應關系還不夠清晰。另外，在運用已學判定方法解決幾何問題時，學生往往不能很好地將抽象的判定規則與具體的問題情境結合起來。

三、教學目標

（一）會用數學的眼光觀察現實世界

1.識別日常生活中的全等圖形，特別是全等三角形。

2.培養從具體實物中抽象出幾何關系的能力。

3.發展空間想象能力，增強幾何直觀能力。

（二）會用數學的思維思考現實世界

1.運用邏輯推理分析全等三角形的判定條件。

2.培養通過舉反例否定命題的批判性思維。

3.發展類比推理和歸納概括的數學思維方法。

（三）會用數學的語言表達現實世界

1.準確使用數學術語描述全等三角形的概念和性質。

2.用簡潔清晰的數學語言表述SAS判定定理。

3.培養用數學符號和圖形表達幾何關系的能力。

四、教學重難點

（一）教學重點

1.理解全等三角形的概念，明確邊角對應相等的關系。

2.在操作探究中歸納SAS全等三角形判定定理，理解判定的充分性。

3.能應用SAS的判定初步解決一些簡單的幾何問題。

（二）教學難點

1.“兩邊夾角”對應關系的建立，尤其是探究活動中兩組夾角的對應。

2.對SAS判定條件的理解，特別是兩邊和夾角的選取對結論成立的關鍵作用。

3.舉一反三，學會從多角度思考全等三角形的判定，并能應用多種方法解題。

五、教學過程

（一）創設情境，引入新知

師：同學們，上節課我們學習了全等三角形的定義和性質，大家還記得嗎？現在老師有兩張三角形的圖片（如圖1所示），你們仔細觀察一下，這兩個三角形有什么關系？

生1：它們看起來形狀和大小都是一樣的。

師：沒錯，這兩個三角形實際上是全等的。那大家思考一下，我們怎樣判斷兩個三角形全等呢？

生2：要看它們的邊長和角度是不是分別相等。

師：很好！如果兩個三角形的三條邊和三個角都分別相等，那它們就是全等的。我們把這個結論叫做全等三角形的性質。大家看板書，若△ABC≌△DEF，則有三組邊分別相等，三組角也分別相等。這些邊怎么對應，角又怎么對應呢？

生3：應該是AB對應DE，BC對應EF，AC對應DF；∠A對應∠D，∠B對應∠E，∠C對應∠F。

師：回答得非常準確！這種對應關系體現了全等圖形之間元素是一一對應的。那么反過來，如果兩個三角形有三組邊和三組角分別相等，我們能說它們全等嗎？

生：可以，因為這和全等三角形的性質是一樣的。

師：大家的思路很好！我們把它叫做全等三角形的判定，它與性質是互逆的關系。可見，判定兩個三角形全等需要六組條件，每組條件寫出來（板書邊角符號）都比較復雜。同學們想一想，我們能不能減少一些條件，用最少的條件來判定兩個三角形全等呢？

生：六個條件太多了，應該可以減少一些，好像三個條件就可以……

師：看來同學們已經有了一些思路，這節課我們就來探究全等三角形判定的條件，看看到底哪幾個條件可以簡潔地判定兩個三角形全等，這既是本節課的重點，也是難點所在，需要大家積極動腦筋、動手操作、勇于質疑，在探究中感悟。讓我們一起走進三角形全等判定的世界吧！

（設計意圖：本環節通過情境導入，激發學生探究三角形全等判定條件的興趣。教師先呈現兩個全等三角形的圖片，引導學生回顧上節課學習的全等三角形的定義，進而思考如何判定兩個三角形全等。學生在回顧中復述出全等三角形“三邊三角”分別相等的性質，并在教師的引導下明確了邊角對應相等的關系。教師進一步追問性質的逆命題能否成立。學生經過思考給出肯定答復，從而自然引出全等三角形的判定問題。）

（二）探究發現，構建模型

師：同學們，根據剛才的討論，我們嘗試從最少的條件入手，看能不能判定兩個三角形全等。大家思考一下，如果只有一個條件，會有幾種情況？

生：兩種。一種是一條邊對應相等，另一種是一個角對應相等。

師：很好，我們先來看第一種情況。（教師在黑板上畫出兩個三角形，如圖2所示）大家觀察，如果我們只知道△ABC和△DEF有一組對應邊相等，如AB=DE，請問這兩個三角形全等嗎？

生：不一定，除了AB和DE相等，其他邊和角的關系不確定，所以三角形的形狀和大小可能不同。

師：對，光有一組對應邊相等還不能判定全等。我們可以用剛才學過的方法，列出反例。請同學們拿出三角板，在AB邊的兩端各拿一個頂點比畫，看能不能畫出形狀不同的三角形。

（學生操作）

生1：我畫出了一個鈍角三角形。

生2：我畫的是直角三角形，和他的不一樣。

師：看來大家都找到了反例。（展示學生的三角板）這說明只有一組對應邊相等，無法判定兩個三角形全等。我們再看第二種情況，一個角相等行不行呢？請同學們還是用三角板，在給定角的兩邊比畫。

生：只固定一個角，另外兩個頂點可以隨意移動，畫出的三角形有很多種，它們肯定不全等。

師：沒錯，單一個角相等也不行。我們把結論寫在黑板上（板書：一組對應邊相等或一組對應角相等，都不能判定兩個三角形全等）。這個過程就是我們常說的“舉反例”，即找到符合條件但結論不成立的例子，從而否定原命題。

師：由于一個條件不夠，我們再來看兩個條件的情況。同學們討論一下，兩個條件會有哪幾種組合？

生：我們組覺得，第一種是兩組對應邊相等，第二種是兩組對應角相等，第三種是一組對應邊和一組對應角相等。

師：總結得很全面。我們逐個分析，先看兩組對應邊相等的情況。（出示圖3）大家觀察，這兩個三角形的AB和A′B′相等，AC和A′C′也相等，請問這樣能確定它們全等嗎？請拿出圓規，以A和A′為圓心，AB為半徑畫兩個圓弧，想象一下BC連接點的位置。

生：我發現BC的位置可以在圓弧上任意選取，所以另一個頂點的位置不確定，兩個三角形不一定全等。

師：用圓規畫出的圖像非常直觀地反映了這一點。（展示學生圓規作圖）可見兩組對應邊相等也不能判定全等。我們再看兩組對應角相等，請同學們比較自己的兩個三角板，它們的兩個內角分別相等，但邊長能任意變化，對嗎？

生：對，角相等但邊不等時，兩個三角形的形狀相似但大小不同，不能判定全等。

師：最后一種情況是一邊一角，這需要同學們思考一下。（出示圖4）如果我們固定AC和∠BAC，BC的長度還能任意變化嗎？

生：BC還可以隨意伸縮，改變BC的長度，所以不能確定另一個三角形。

師：對，你們分析得很準確。這說明一邊一角也不行。現在我們可以得出結論了。（板書：兩組對應邊相等、兩組對應角相等或一邊一角對應相等，都不能判定兩個三角形全等）

師：剛才我們分別舉例說明了一個條件、兩個條件不足以判定全等，背后的根本原因是什么呢？大家再思考一下。

生：我覺得是因為限定的條件不足，沒有完全確定三角形的形狀和大小，所以可能畫出不同的三角形。

師：只有完全確定三角形的形狀和大小，才能確定全等，這啟示我們在探索全等判定時，要考慮所給條件能否唯一確定三角形。這也是探索的突破口。

師：三個條件的情況就留給大家課后思考了，下節課我們再來分享。現在請同學們梳理一下本節課的探究過程和方法，看看你有什么收獲和感悟。

（設計意圖：引導學生用類比推理和歸納概括的方法，逐步探究“一個條件”和“兩個條件”判定三角形全等的可能性。在探究過程中，教師啟發學生用反例說明判定的不充分性，并指導學生通過三角板操作、圓規作圖等直觀演示加深對反例的理解。尤其在總結“兩個條件”的不同組合時，學生分工合作，逐一列舉、分析，體現了歸納推理能力的提升。最后教師引導學生對探究過程進行反思，是學生能較好地概括出判定三角形全等條件選取的關鍵所在，并對“一個條件”和“兩個條件”的情況形成系統認識。）

六、教學反思

1.動手操作與幾何推理的結合還不夠緊密。雖然安排了折疊、拼接等動手活動，但探究活動偏重于現象感知，對背后的數學原理挖掘不深。

2.習題設計的梯度有待優化。教師可適當補充一些開放性問題，鼓勵學生提出多種解法，同時要加強與實際生活的聯系，讓學生感受全等知識的應用價值。

總之，幾何教學要在夯實知識基礎的同時，著力培養學生的空間直觀、邏輯推理等數學素養。教師應積極創設有利于學生主動探究、合作交流的課堂情境，引導學生在動手實踐中感悟幾何本質，在問題解決中體驗數學思想，不斷提升學生運用數學知識的意識和能力。這是一個長期的過程，需要教師在反思中不斷優化教學，讓學生真正成為幾何學習的主人。

（作者單位：青海省西寧市第七中學）

編輯：溫雪蓮