比薩斜塔引出的經典幾何問題

比薩斜塔是意大利比薩城的一座鐘樓，因為地基和土壤的緣故，整座塔向東南方向傾斜了4°左右，成為奇觀，在網絡上，有很多網友拍攝的比薩斜塔的照片，其中不乏利用“借位”拍出的一些背著斜塔、扶著斜塔、被斜塔壓著的創意照片，在眾多照片中，有一張特別發人深思（如圖1）．在這張照片中，著名的比薩斜塔看起來竟然是直立在地面上的，完全沒有傾斜！

有人認為，拍攝者故意歪拿著相機，讓鏡頭中的比薩斜塔看起來是豎直的，但如果那樣的話，地面看起來應該是“斜”的呀！照片中，塔和地面都沒斜，它們之間的夾角真的是直角！

其實，站在三維空間的角度去思考，這就不奇怪了，剛才不是說過嗎，比薩斜塔是向東南方向傾斜的，那如果從東南方向或者從西北方向去拍攝，拍到的斜塔就是直的了．

我畫一個這樣的示意圖，大家就明白了，如圖2，假設長方體的下底面是地平面，斜線AB代表比薩斜塔，如果從正前方看，斜塔AB和地平線AC形成了一個明顯的夾角，但是，如果從右側看，斜塔AB和地平線AD則是垂直的，換句話說∠BAD等于90°，為了看出這一點，只需要觀察圖3中那個陰影截面，這個截面顯然是一個長方形，而∠BAD是這個長方形的一個內角，肯定就是90°了，當然，如果你從左側看，斜塔和地面形成的角仍然是∠BAD，這本質是相同的，這兩種可以把斜塔拍攝成直塔的方向，實質上是同一條直線上的兩個不同的方向．

有趣的是，把斜塔拍攝成直塔，也僅有這兩個方向可行，換到任何別的方向，斜塔看起來都是斜的，事實上，我們可以證明，如果有一座塔，從兩個不共線的方向看過去都是垂直于水平地面的，那么這座塔就會從任何方向看過去都垂直于水平地面，即這座塔一定是一座直塔，早在古希臘時代，人們就已經知道了這一點，并且給出了嚴格的證明，這就是歐幾里得的《幾何原本》第11卷里的命題4：如果一條直線與平面上的某兩條相交直線垂直，那么這條直線與該平面上的每一條直線都垂直，美國數學家喬治，波利亞對數學教育領域貢獻很大，他在《數學的發現》一書中分析了很多與數學思想、數學解題思路相關的案例，在書中，上面這個命題的證明過程被當作一個典型案例來進行分析，波利亞的證明思路和歐幾里得的稍有不同，在這里，我們采用波利亞的思路，給大家介紹一下證明的方法．

如圖4，O，A，B，C是水平面內的四個點，其中點C是直線AB上的任意一點．P是水平面上方的一點，已知∠AOA＝∠BOP=90°，我們要證明∠COP也是90°．為了證明這個結論，我們需要證明什么？延長PO，在延長線上截取OQ=OP連接CQ，CP為了證明∠COP是直角，我們只需要證明△COP≌△COQ.這里用到了“從后往前推”的思想．

這個思路是怎么想到的呢？波利亞是這樣解釋的，如果證明一個事情有些困難，不妨回想一下這件事情最初的定義，什么是直角？直角就是和自己的補角相等的角，在證明兩個角相等時，全等三角形是一個有力的工具．

在這個圖中，我們能得出什么？由于∠AOP=∠AOQ=90°，OP=OQ，OA是公共邊，根據“SAS”可以得出△AOP≌△AOQ．根據同樣的道理可得到△BOP≌△BOQ.這兩對全等三角形告訴我們，AP=AQ，BP=BQ.這里用到了“從前往后推”的思想．

我們還能推出更多的東西．在△ABP和△ABQ中，AP=AQ，BP=BQ，AB是公共邊，由“SSS”可知△AB≌△ABQ，因此得到∠PAC=∠QAC．在△ACP和△ACQ中，AP=AQ，∠PAC=∠QAC，AC是公共邊，由“SAS”可知△ACP≌△ACQ，進而得到CP=CQ.最后，在△COP和△COQ中，OP=OQ，CP=CQ，OC是公共邊，由“SSS”可知△COP≌△COQ，所以∠COP=∠COQ.而∠COP+∠COQ=180°，所以∠COP=∠COQ=90°．這樣，我們就證明了OP⊥OC.在證明過程中，我們用了五次全等！

這很可能是大家看到的第一個立體幾何證明，到了高中，大家會系統地學習立體幾何．了解直線和平面垂直的含義，剛才證明的結論，其實就是直線和平面垂直的判定定理，如果你想了解更多有關的知識，可以看看《幾何原本》《數學的發現》或者高中數學課本中的相關章節．

2024年6月號“數學潛能知識競賽”獲獎名單

（括號內為輔導老師）

劉錦林（朱付來） 朱智航（桂雷） 黃瀟瀟 黃雋 李海燕 王麒霖 夏友好

2024年6月號“數學潛能知識競賽”參考答案

1.B 2.D 3.24 4. 4b／3a