課本拓展　收獲滿滿

課本是源，題目是流，千變萬化的題目，考查的都是課本上的基礎知識，因此，在學習時要注重對課本上的概念和例題、習題進行深入挖掘，下面我們就對“角的平分線的性質”這一節的相關例題、習題進行拓展研究，幫助同學們更好地掌握這部分內容．

一 課本知識拓展——關注焦點

（1）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；（2）判定點在角的平分線上的方法：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．

這兩個知識點主要應用在三角形中，因此把它們放在三角形中解讀．

如圖1，在△ABC中、PE⊥AB于點E，PD⊥BC干點D，PF⊥AC于點F.如果BP是∠ABC的平分線，根據角的平分線的性質，就有PE=PD.

若要說明點P在∠BAC的平分線AG上，則只需用判定點在角的平分線上的方法，證明PE=PF即可，若要說明∠C的平分線不經過點Ｐ，則能說明PD≠PF即可．

二 課本例習題拓展——揭示共同點

認真研讀課本第50頁的例題和練習的第2題可以發現，這一例一練雖然條件不同、圖形不同、結論也不同，但解題用到的知識點和方法是一樣的，現把它們進行變式拓展．

例1 （課本第50頁的例題拓展）如圖2，△ABC中．BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.求證：點P在∠A的平分線上．

分析：要證明點P在∠A的平分線上，就是要證明點P到∠A兩邊的距離相等．

證明：如圖2，過點P作PD⊥BC于點D，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F．

∵點P在∠ABC的平分線BP上，PD⊥BC，PE⊥AB，

∴PD=PE．

同理PD=PF

∴PE=PF．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，

∴點P在∠A的平分線上．

啟示：由例1的解答可知：（1）三角形的三條角平分線相交于一點，該點到三邊的距離相等，反之也成立，即：三角形內部到三角形三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.（2）無論是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，三角形三條角平分線的交點都在三角形的內部．

例2 （課本第50頁練習第2題拓展）如圖3．△ABC的兩個外角的平分線BP，CP相交于點P，AG是∠BAC的平分線，求證：AG經過點P.

分析：要證明AG經過點P．就是要證明點P在∠BAC的平分線AG上，因此只要證明點P到∠BAC兩邊的距離相等即可.

證明：如圖3，過點P作PF⊥BC于點F，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．

∵點P在∠MBC的平分線BP上，PM⊥AB，PF⊥BC，

∴PM=PF．

同理PN=PF

∴PM=PN．

∵PM⊥AB，PN⊥AC，PM=PA，

∴點P在∠BAC的平分線AG上，即AG經過點P.

啟示：由例2的解答可知：（1）三角形兩個外角的平分線的交點在第三個內角的平分線上，或者說三角形一個內角的平分線經過與其不相鄰的兩個外角的平分線的交點.（2）三角形兩個外角的平分線的交點到三角形三邊所在直線的距離相等．

三 課本應用題拓展——謹防易錯點

例3 （課本第55頁第6題變式）如圖4，三條直線型公路相交構成了△ABC．通信公司欲在長方形的區域內建若干個信號發射塔，使公路上來往的車輛獲得較好的通信信號，塔基的位置要求到三條公路的距離相等．滿足條件的塔基位置共有幾個？請畫出示意圖．

分析：由課本第55頁第6題可知，△ABC內部存在一點，滿足塔基到三條公路的距離相等．由課本第50頁第2題可知，在△ABC的邊BC的外側區域存在一點，滿足塔基到三條公路的距離相等；同理，在邊AB和邊AC的外側區域分別存在一點，滿足塔基到三條公路的距離相等．

解：如圖5，P是△ABC的內角的平分線的交點，P1，P2，P3分別是△ABC的外角的平分線的交點，滿足條件的點共有四個，分別是P，P1，P2，P3.

啟示：課本第55頁第6題要求在三角形內部求滿足條件的點，顯然只有一個點，例3是在長方形的區域里求滿足條件的點，所以有四個點.

試金石

1．△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，點P是△ABC兩條角平分線的交點，若△APB的面積是1.5，那么△BPC的面積是____，△APC的面積是____．

2.點P在△ABC內部，且點P到三角形三邊的距離相等，∠A=50°，求∠BPC的度數．

參考答案

1.2 2.5

2．∠BPC=115°.