巧構(gòu)全等三角形　妙解格點作圖題

在正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點稱為格點，所謂格點作圖，就是用無刻度的直尺，借助正方形網(wǎng)格的屬性作圖．格點作圖不僅能考查同學們對圖形的觀察力，還能考查同學們的創(chuàng)新意識和“用數(shù)學”的能力，解決格點作圖問題時，常需要構(gòu)造合適的全等三角形來幫忙，下面舉例說明．

一、構(gòu)造X型全等三角形作線段的中點

例1 如圖1，在正方形網(wǎng)格中，A，B均為格點，求作AB的中點O．

解析：如圖2，作線段BC＝AD，且BC∥AD。連接CD交線段AB于點O．易證△BOC≌△AOD，則AO=BO，故點O即為所求．

點睛：此題也可在豎直方向上作等線段BC，AD，用同樣的方法構(gòu)造兩個全等三角形．

二、構(gòu)造全等的直角三角形作線段的平行線

例2 如圖3，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C均為格點，求作CD∥AB.

解析：如圖4，作Rt△DCB，構(gòu)造△DCB≌△ABC，則有∠DCB=∠ABC，從而CD∥AB，故CD即為所求．

點睛：由上述作法知BD=CA，∠DBC=∠ACB=90°，BC=CB，用“SAS”可以判定△DCB≌△ABC.

三、構(gòu)造雙垂直的全等三角形作垂線

例3 如圖5，在正方形網(wǎng)格中，A，B均為格點，過點A求作AM⊥AB.

解析：如圖6，作Rt△ABC，構(gòu)造△AMD≌△ABC，則有∠CAB=∠DAM.因為∠CAB+∠BAD=90°，所以∠DAM+∠BAD=90°，即∠BAM=90°。故AM即為所求．

點睛：本題應(yīng)用正方形網(wǎng)格的特征，易知AC=AD，CB=DM，∠ACB=∠ADM=90°，用“SAS”可以判定△AMD≌△ABC.

四、構(gòu)造箏型全等三角形作角

例4 如圖7，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C均為格點，求作∠PAC=∠BAC．

解析：如圖8，過點B作AC的垂線，垂足O在AC的延長線上，延長BO到點P，使BO=PO.連接PC，PA，∠PAC即為所求，

點睛：因為BO=PO，∠BOC=∠POC=90°，AO=AO，用“SAS”可以判定△ABO≌△APO，所以∠PAC=∠BAC．

試金石

1.如圖9．在正方形網(wǎng)格中，A，B，C均為格點，求作CD∥AB.

2．如圖10，在正方形網(wǎng)格中，A，B，P均為格點，過點P求作PM⊥AB.

3．如圖11，在正方形網(wǎng)格中，已知A，B，C均為格點，求作∠ACB的平分線CP.