添加輔助線構造全等三角形

全等三角形是幾何部分的基礎，對一些幾何題，我們可以通過添加輔助線證明三角形全等來找到解決辦法，下面舉例說明常見輔助線的作法.

一、倍長中線法

例1 數學興趣小組在一次活動中進行了探究、實驗，請你和他們一起解決問題吧．

[發現問題]他們在探究實驗活動中遇到了下面的問題：如圖1，AD是△ABC的中線，若已知AB=5．AC=3，求AD的長的取值范圍．

[探究方法]通過探究他們發現，延長AD至點E，使ED=AD，連接BE，可以得到△ADC≌△EDB.利用全等三角形的性質可將已知的兩邊長與AD轉化到△ABE中，進而求出AD的長的取值范圍．

[方法小結]從上面的思路可以看出，解決問題的關鍵是將中線AD延長一倍，構造出全等三角形，我們把這種方法叫作“倍長中線法”．

（1）請你利用上面解答問題的思路方法，寫出求解AD的長的取值范圍的過程．

[問題解決]

（2）如圖2，CB是△ACE的中線．CD是△ABC的中線．且AB=AC．有下列四個結論：①∠ACD=∠BCD；②CE=2CD：③∠BCD=∠BCE;④CD=CB.

請寫出所有正確結論的序號：____．

分析：（1）依據所給思路證明全等三角形，推出AC=BE=3.再利用三角形的三邊關系求解.（2）延長CD至點F，使DF=CD，連接BF.先證△ADC≌△BDF．再證△CBE≌△CBF，即可判斷.

解：（1）如圖1，延長AD至點E，使ED=AD，連接BE.

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB， CD=BD，

∴△ADC≌△EDB（SAS）.

∴AC=BE=3.

∵AB=5．

∴5-3＜AE＜5+3．即2＜2AD＜8.

∴1＜AD＜4.

（2）如圖3，延長CD至點F，使DF=CD，連接BF.

仿（1）證△ADC≌△BDF（SAS），得BF=AC， ∠ABF=∠A．

∵AC=AB．

∴BF=AB，∠ACB=∠ABC.

∵B為AE的中點，

∴BE=AB=BF．

∵∠CBE=∠ACB+∠A.

∠CBF=∠ABC+∠ABF，

∴∠CBE=∠CBF.

又CB=CB，BE=BF，

∴△CBE≌△CBF（SAS）．

∴CE=CF=2CD，∠BCE=∠BCD.

∴正確的結論是②③．填②③，

二、翻折法

例2 如圖4，已知AD為△ABC的中線，點E，F分別在邊AB，AC上，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證BE+CF＞EF.

分析：欲證BE+CF＞EF，易聯想到三角形的三邊關系，因此需要設法把BE，CF，EF放在同一個三角形中，因為∠1=∠2，∠3=∠4，所以把△BDE和△CDF分別沿DE和DF翻折，DB和DC都恰好落在AD上．又知DB=DC．故翻折后點B和點C重合，這樣即可把所求線段放在同一個三角形中．

證明：如圖5，在DA上截取DN=DB.已知AD為△ABC的中線，則DN=DB=DC.

連接NE，NF.

∵DB=DN，∠1=∠2，DE=DE，

∴△BDE≌△NDE（SAS）.

∴BE=NE．

同理CF=NF.

在△EFN中。有NE+NF＞EF.

∴BE+CF＞EF．

三、截長補短法

例3 如圖6，在△ABC中，角平分線AD，CE交于點O，∠B=60°，求證AC=AE+CD．

分析：在線段AC上截取AF=AE，只要證明CF=CD即可解決問題．

證明：如圖7，在線段AC上截取AF=AE，連接OF.

∵∠B=60°，

∴∠BAC+∠ACB=120°.

∵AD和CE分別平分∠BAC和∠ACB，

∴∠OAC+∠OCA =60°.

∴∠AOC=120°.

∴∠AOE=∠COD=60°.

∵OA=OA，∠OAE=∠OAF，AE=AF，

∴△AOE≌△AOF（SAS）.

∴∠AOE=∠AOF=60°.

∴∠COF=∠COD=60°.

又OC=OC，∠OCF=∠OCD，

∴△COF≌△COD（ASA）．

∴CF=CD.

∴AC=AF+CF=AE+CD.