再議全等三角形

一、全等圖形

幾何學是數(shù)學的重要分支，主要研究圖形的形狀、大小和位置，每個圖形都有自身的形狀，如等邊三角形、正方形、圓形等；又有固定的大小，如長度、角度、周長、面積等．如果兩個圖形G和G，不僅形狀相同，而且大小相等，則稱它們全等，記作C≌G'．

人們容易想到，“全等”與“重合”相關，如果兩個圖形全等，那么將它們置于同一位置時兩者一定重合，例如，圖1是循環(huán)再生標志，它由三個全等的彎曲箭頭組成．將其中一個箭頭剪下來，適當?shù)胤诺搅硪粋€箭頭上，兩者一定重合，反之，兩個圖形保持形狀、大小不變，適當改變位置后，如果兩者能重合，則兩個圖形一定全等，因此，兩個圖形能否重合，是判斷它們是否全等的實驗方法．然而在許多情況下，圖形無法移動或不易移動，而且重合實驗也會出現(xiàn)誤差，所以幾何學必須研究如何用推理方法判斷兩個圖形全等．

二、全等三角形

對于一個封閉的平面圖形，一般總可以經過三角剖分轉化為若干個三角形（或近似的三角形）．因此，研究全等三角形是研究全等多邊形以及其他全等平面圖形的基礎．

在平面上取定不在同一直線上的三個點，以它們?yōu)轫旤c一定能畫出三角形，并且只能畫出一個三角形．這說明一個三角形的形狀和大小可以由三個頂點的相對位置唯一確定．因此，要考慮兩個三角形是否全等，只要考慮它們三個頂點之間的相對位置是否相同．

如圖2，三角形頂點之間的相對位置，取決于頂點之間的距離（即三角形的邊長a，b，c）和頂點連線之間方向的變化（即三角形內角的大小），這就啟發(fā)人們借助三角形的基本元素（邊和角）尋求三角形全等的判定條件，反過來，如果兩個三角形的三條邊對應相等，三個角對應相等，則這兩個三角形一定可以重合，這就是說，具備這六個相等關系的三角形一定全等．

這六個相等關系其實是互相聯(lián)系的，其中具有決定意義的相等關系有三組，它們是“邊角邊”（SAS）、“角邊角”（ASA）、“邊邊邊”（SSS）．這三組邊角相等關系成為全等三角形的基本判定條件．

在教科書中，有引導同學們對全等三角形的基本判定條件進行實驗性探究的內容．但那只是對它們的驗證，而非嚴格的邏輯證明，在有嚴格邏輯體系的歐氏幾何中，它們是經過證明后得出的判定定理，如果你想對此有所了解，可以閱讀下面介紹的證明方法．

1．對“邊角邊”（SAS）的證明

這一證明方法最早見于歐幾里得的名著《原本》第一卷，其中用到了“平面圖形可以不改變形狀和大小從一個位置移動到另一個位置”這一結論．

已知：如圖3，在△ABC與△A'B'C'中，AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'．

求證：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要證兩個三角形全等，會想到用非實驗方法證明它們能夠完全重合，三角形的形狀、大小可以由它的三個頂點的相對位置確定，因此只要證明兩個三角形的各對應頂點能夠重合，問題就解決了．

證明：移動△A'B'C'到△ABC之上．因為∠A=∠A'，所以可將∠B'A'C，與∠BAC疊合，使點A'與點A重合，點B’落在射線AB上，點C'落在射線AC上，又因A'B'=AB，A'C'=AC，所以點B’落在點B上，點C，落在點C上，即點A'，B'，C'分別與點A，B，C重合．根據(jù)兩點確定一條直線，知線段B'C'與BC重合，則△ABC與△A'B'C'重合，因此，△ABC≌△A'B'C'．

2．對“角邊角”（ASA）的證明

這一證明方法也用到了“平面圖形可以不改變形狀和大小從一個位置移動到另一個位置”．

已知：如圖4．在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'AB=A'B'，∠B=∠B'.

求證：△ABC≌△A'B'C'.

證明：移動△A'B'C，到△ABC之上，因為∠A=∠A'，所以可將∠B'A'C'與∠BAC疊合，使點A’與點A重合，點B'落在射線AB上，點C’落在射線AC上，又因A'B'=AB，所以點B'與點B重合．因為∠B=∠B‘，△A’B'C’中∠A'和∠B'位于線段A'B'的同側，所以點C’落在射線BC上，因為兩射線AC和BC僅有唯一交點C，而點C‘落在這兩條e2f711a5d05496c79d06a33d598c61eb8ef21e5b910049dd07785f6c55768c48射線上，所以點C，與點C重合，因此，△ABC與△A'B'C'重合，即△ABC≌△A'B'C'．

3．對“邊邊邊”（SSS）的證明

先證明“等腰三角形的兩個底角相等”，為證明“邊邊邊”判定方法做準備．

已知：如圖5，在△ABC中，AB=AC．

求證：∠B=∠C．

證明：將△ABC水平翻轉一下，得到△ACB，如圖6．在△ABC與△ACB中，因為AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，所以△ABC≌△ACB（SAS）.又因∠B和∠C在△ABC與△ACB中是對應角，所以∠B=∠C.

下面證明“邊邊邊”（SSS）．這一證明方法仍用到了“平面圖形可以不改變形狀和大小從一個位置移動到另一個位置”，并利用了“等腰三角形的兩個底角相等”．

已知：如圖7，在△ABC與△A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'.

求證：△ABC≌△A'B'C'．

證明：以下先討論∠BAC和∠ABC均為銳角的情形．

如圖8所示，移動△A'B'C'到△ABC之下，因為AB=A'B'，所以可將點A，與點A重合，點B，與點B重合，連接CC'，因∠BAC和∠ABC均為銳角，所以CC’與線段AB的交點O在點A，B之間，因為AC=A'C'，BC=B'C'，所以根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等推出∠ACC’=∠A'C'C，∠BCC'=∠B'C'C.進而得∠ACB=∠A'C'B'．因此，△ABC≌△A'B'C’（SAS）.

當∠BAC和∠ABC中有直角或鈍角時，線段CC‘與線段AB的交點O是線段AB的端點或在線段AB的延長線上，對這些情形，可以作類似的證明．

以上介紹了三角形全等的三個基本判定條件的證明，一般初中數(shù)學教科書中對它們未作證明，是降低難度的簡化處理方式，對同學們的基本要求是掌握這三個判定條件，會用它們判定三角形全等．更進一步的要求，是能以它們?yōu)榛A，推導出三角形全等的另一些判定條件，如“角角邊”（AAS）、“斜邊、直角邊”（HL）等．

關于全等三角形的問題各色各樣，但萬變不離其宗，下面給出一個構造全等三角形解決問題的例子．

例 如圖9，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中點．AE⊥CD，垂足為點F，AE交BC于點E．問：∠ACD與∠BDE有何關系？

解：過點B作AB的垂線BG.作AE的延長線，它與BG相交于點C．因為∠BAC=90°，所以∠ACD與∠ADC互余．又AE⊥CD，所以∠ADC與∠BAC互余，因此，∠ACD=∠BAG．在△CAD和△ABG中，∠CAD=90°=∠ABG，∠ACD=∠BAG，AC=AB，所以△CAD≌△ABG （ASA） ，AD=BG.又AD=BD.所以BD=BC.在△BDE和△BGE中，因為∠DBE=45°（它是等腰Rt△ABC的一個銳角），所以∠DBE=∠GBE.又BD=BG，BE=BE，所以△BDE≌△BGE（SAS），∠BDE=∠G.因為∠BAC與∠G互余，所以∠BAG與∠BDE互余，又∠ACD=∠BAG．所以∠ACD與∠BDE互余．

回顧：上例的解法中構造了△ABG．由此產生了兩組全等三角形，即△CAD≌△ABG，△BDE≌△BGE.這一解法看似有些難以想出，其實只要合理思考便會自然形成，題目中∠ACD與∠ADC互余是容易看出的關系，而∠ADC與∠BDE相等是符合圖形的合理猜想，因此應設法證明這一猜想．構造全等三角形是證明兩角相等的常用方法，結合本題的已知條件，便容易想到如何添加輔助線了．