在數學建模中“悟”中生有

【學習目標】

1.使學生進一步認識復雜分數問題的一致性，掌握復雜的分數實際問題的解決策略，能正確解答分數實際問題。

2.通過對比練習，發現“分數和比”相關知識與實際問題之間的聯系。培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

3.使學生進一步體會數學知識和方法在解決實際問題中的價值，增強應用意識；培養獨立思考、相互交流的良好學習習慣。

【重點難點】

1.掌握復雜分數實際問題的解決策略。

2.體會“分數和比”與實際問題之間的聯系。

【教學過程】

一、我分辨

通過視頻呈現數學建模在生活中的廣泛應用，讓學生知道掌握一種數學模型可以解決一類實際問題。

師：本單元我們學習了分數四則混合運算，請大家看屏幕上的第一題（課件出示：[25]×[37]+[25]×[47]），誰來說一說怎么算？

生：用簡便方法[25]×（[37]+[47]）。

師：（課件出示：[25]÷[73]+[25]×[47]）現在變得稍微復雜了，怎么算呢？

生：把÷[73]變成×[37]再計算。

師：（課件出示：[25]×[37]+[45]×[27]）復雜程度升級，現在你還會嗎？

生：可以類比乘法交換律，把[45]×[27]的分子部分交換位置。

師：用到了轉化的策略（師板書“轉化”）。那下面請你們來當個小老師，把（[113]+[17]）×91這題改編成復雜的計算吧。

生1：可以改編成（[113]+[17]）÷[191]。

生2：還可以改編成（[113]+[17]）×13×7。

……

師：改編得一個比一個復雜呀，一起來解決一下吧。

生1：（[113]+[17]）÷[191]，首先把÷[191]變成×91，再用乘法分配律進行簡便計算。

生2：（[113]+[17]）×13×7，把13×7看作一個整體，再運用乘法分配律進行簡便計算。

師：你能用字母形式總結一下這類型的簡便計算方法嗎？

生：字母形式應該就是（a+b）×c×d=a×c×d+b×c×d。（學生板演。）

【設計意圖】本環節通過計算練習幫助學生復習舊知識，并培養學生改編題目的能力。

二、我分析

師：看來計算是難不倒大家了，看看屏幕上這4道分數應用題你會做嗎？試試看。

課件出示：

1.一根彩帶長[45]米，剪去一些后，還剩[34]，還剩多少米？

2.一根彩帶長[45]米，剪去[34]，還剩多少米？

3.一根彩帶長[45]米，剪去[34]米，還剩多少米？

4.一根彩帶長[45]米，剪去的與剩下的比是3：1，還剩多少米？

生：第一題中的分率[34]表示還剩下全長的[34]，求還剩多少米？用[45]×[34]=[35]（米）。第二題是剪去[34]，求還剩多少米？用[45]-[45]×[34]=[15]（米）。

師：思路很清晰，在講第三題之前你們覺得這一題和上面哪一題相似？

生：第二題。

師：哪里像？哪里又不像？

生：題目和問題都很像，但題目中的[34]一個有單位另一個沒有單位。

師：有什么區別嗎？

生：[34]沒加單位表示分率。而[34]米表示具體的數量。（師板書[34]表示分率，[34]米表示數量。）

師：那么第三題怎么做？

生：直接用[45]-[34]=[120]（米）。

師：做題細心很重要，給你們點贊！最后一題，哪位小老師來講一講？

生：剪去的與剩下的比是3：1，得出剩下的占全長的[13+1]，列式是[45]×[13+1]=[15]（米）。

【設計意圖】本環節通過四個相似的問題，讓學生感受簡單問題和復雜問題、分率和數量之間的區別，以及分數應用題和比的應用題之間的聯系，提高學生分析問題、解決問題的能力。

三、我歸納

師：從第1、2題中你發現了什么？

生1：都是單位“1”的量已知，用乘法計算。

生2：第1題中的分率“還剩[34]”與問題“還剩多少米？”相對應，用一步；而第2題中的分率與問題不對應，用兩步。

師總結：是啊，單位“1”已知，用乘法。當分率與問題對應時，用一步乘法。當分率與問題不對應時，用多步乘法。（課件呈現總結并板書。）

師：根據第1、2、4題你發現了什么？

生：分數應用題可以轉化成比的問題。

師：是啊，“轉化”是我們在解決問題時很重要的一種策略，很多分數應用題都可以轉化成比的問題解決。

【設計意圖】本環節注重引導學生通過比較，發現新舊知識間的聯系和區別，建立數學模型，使學生知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑。

四、我應用

師：下面用今天你學到的方法來解決一下我們身邊的實際問題吧。

課件出示：

1.云湖實驗小學10月用水60噸，11月份用水比10月節約[16]，11月用水多少噸？

2.云湖實驗小學10月用水60噸，比11月多用水[15]，11月用水多少噸？

生1：第1題中分率與問題不對應，用多步乘法。60-60×[16]=50（噸）。

生2：第2題分率與問題也不對應，用60-60×[15]=48（噸）。

生：第2題不應該用乘法，因為單位“1”未知。

師：那怎么辦呢？

生3：可以將這題轉化成比的應用題來做，通過畫圖可以看出11月用水量和10月用水量的比是5：6，10月用水量是60噸，用60÷6×5=50（噸）。

學生投屏：

師：是啊，利用轉化的策略，結合畫圖，讓題目變得更加直觀易懂了。

【設計意圖】本環節通過一組對比練習，深化本節課的學習內容，進一步加強學生對此類數學問題的理解，提高學生應用數學模型解決相關問題的能力。

五、我總結

師：通過這節課的學習，你有哪些收獲呢？

生1：解決復雜的分數乘法應用題要關注問題和分率對不對應，分率和問題對應時，一般是一步計算，分率與問題不對應時，多步計算。

生2：分數應用題可以和比的應用題相互轉化。

生3：可以通過畫圖讓題目變得更直觀更簡單。

師：是啊，掌握獲得知識的策略和方法很重要！

【設計意圖】“授人以魚不如授人以漁。”在數學課堂上教師更應該注重培養學生讀題審題的能力，使其能夠運用對應的策略和方法幫助分析問題和解決問題。

（作者單位：江蘇省灌云縣云湖實驗小學）