超聲波電機二階線性時變模型的迭代學習辨識建模

摘 要：

為了提高超聲波電機（USM）轉速控制模型的精度，提出一種基于迭代學習辨識的二階線性時變模型建模方法。針對USM的非線性與時變特性，首先基于超聲波電機驅動電壓的頻率作為輸入變量，轉速作為輸出變量，建立一個描述其動態行為的線性時變模型。為提高模型辨識的精度與魯棒性，改進迭代學習辨識（ILI）算法，通過優化誤差加權范數和參數變化率范數相結合的目標函數，并且設計新的學習律，利用歸一化柯西濾波窗口進一步地構造學習律的權重矩陣。仿真與實驗結果表明，所提的二階線性時變模型在描述USM轉速運動特性方面具有較高的精度，迭代學習辨識算法展現了優良的收斂性和魯棒性，能夠有效應對時變擾動并改進USM的運動控制性能。

關鍵詞：超聲波電機；線性時變系統；迭代學習辨識；學習律；雙范數最優；轉速控制模型

DOI：10.15938/j.emc.2024.08.018

中圖分類號：TM359.9

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2024）08-0174-11

Iterative learning identification modeling of second-order linear time-variant models for ultrasonic motors

ZHOU Xinglong， SHI Jingzhuo

（College of Electrical Engineering， Henan University of Science and Technology， Luoyang 471000， China）

Abstract：

To improve accuracy of the speed control model for ultrasonic motors （USM）， a second-order linear time-varying model based on iterative learning identification （ILI） was proposed. A linear time-varying model was established with the driving voltage frequency as the input variable and the rotational speed as the output variable to capture the dynamic behavior of the USM， addressing its nonlinear and time-varying characteristics. An enhanced ILI algorithm was developed by optimizing an objective function that combines error-weighted norms and parameter variation rate norms， and a new learning law was designed with a weight matrix constructed using a normalized Cauchy filtering window. Simulation and experimental results demonstrate that the proposed second-order linear time-varying model accurately describes the speed dynamics of the USM， while the ILI algorithm exhibits excellent convergence and robustness， effectively addressing time-varying disturbances and improving the motion control performance of the USM.

Keywords：ultrasonic motor; linear time-variantrite system; iterative learning identification; learning law; two-norm minimization; speed control model

0 引 言

超聲波電機（ultrasonic motor， USM）是一種新型的微型特種電機，因其無電磁干擾、控制精度高、低速大扭矩等優勢被廣泛應用于航空航天、醫療器械和機器人等高端運動控制領域［1-4］。但由于超聲波電機包含壓電能量轉換和摩擦傳遞等呈現非線性且分散性較大的過程，無論是理論建模還是數值建模，得到的模型都過于復雜且精度較差，從而難以應用于實際工程中，故研究能夠反映超聲波電機主要動態運行特征，且結構簡單易于實現的超聲波電機模型及建模方法，成為當前超聲波電機研究的主要方向之一。目前針對超聲波電機的主要建模方式有等效電路建模法、有限元建模法、解析建模法和辨識建模法四大類［5-8］。由于等效電路建模法、解析建模法等方法存在受外界影響較大、模型復雜度高等問題，難以很好地實際應用于USM建模。辨識建模法不需要直接理論分析建模的機理復雜性，同時能較好表現USM動態特性，因而成為USM運動控制研究所采用的主要建模方式。

近年來，為應對超聲波電機時變的非線性運動特性，研究出許多辨識建模方法［9-14］。文獻［15］在辨識建模過程中分別以驅動頻率和轉子位置作為輸入和輸出變量，建立用于位置控制的USM非線性Hammerstein模型。采用模型辨識與微分進化算法相結合的方式，提高模型的精度和建模過程的效率。文獻［16］基于超聲波電機的二維預測模型，對目標函數進行微分化以得到迭代學習控制學習率。為了辨識所得模型能更好地表現超聲波電機的非線性特性，設計一種針對電機非線性的反補償法以建立新的非線性Hammerstein模型。新的辨識策略所得模型在提高迭代學習效果的同時對超聲波電機非線性進行有效的補償。文獻［17］以驅動電壓的振幅和頻率作為雙輸入變量，以轉速為輸出變量，建立超聲波電機的Hammerstein非線性模型。所建模型的非線性部分采用高斯函數和多項式組合的設計形式，簡化了模型結構；線性部分參數的辨識是通過改進的微分進化算法得到，提高了辨識所得模型的精度。文獻［9-17］等已有研究雖各有側重，但忽略了對USM時變特性的處理，使得模型應對時變擾動的能力較差，在受到干擾時不能立即做出相應變化，需等到下次迭代才能對干擾影響做出反應。

迭代學習辨識（iterative learning identification，ILI）是近年來提出的一種較為新穎的辨識方式，其可以利用迭代運算得到的非因果估計識別瞬變的參數，瞬態響應性能可以通過學習逐漸實現完全跟蹤。文獻［18］表明了迭代學習辨識可用于解決電機的閉環識別問題。文獻［19］討論了迭代學習辨識對離散時變系統的可行性。文獻［20］證明了迭代學習辨識能夠非常好地處理在有限區間上的具有重復性受控對象的完全跟蹤問題，同時具有較好的收斂性和魯棒性。文獻［18-24］說明了迭代學習辨識策略適用于USM這種復雜程度較高、模型難以確定且可重復運行的被控對象。

本文針對超聲波電機非線性和時變的特征，以超聲波電機驅動電壓的頻率為輸入變量，轉速為輸出變量，建立超聲波電機的線性時變模型。用改進的迭代學習辨識方法來辨識模型時變的參數，通過優化誤差加權范數和參數變化率范數相結合所產生的目標函數，設計迭代學習辨識的參數學習律。使用歸一化的柯西濾波窗口來設計學習律的權重矩陣，有效地平衡參數收斂性和噪聲魯棒性。并且分析不同轉速下的參數變化規律來尋求超聲波電機不同轉速下的一個統一數學模型。仿真和實驗結果表明，迭代學習辨識策略下的二階線性時變模型具有較高的精度，可以有效地描述超聲波電機轉速運動特性，電機轉速響應曲線表現出漸進的學習過程，且算法簡單易于實現。

2.2 系統階數和時間窗口的確定

本節將確定超聲波電機在線性時變系統下模型的階次m、n和時間窗口［k－p，k+q］。首先，考慮到辨識精度和所得模型對實際系統的可行性，對模型階次分別設定為m=1、n=1，m=2、n=2，m=2、n=3和m=3、n=3，辨識4種階次下模型的參數并建立相應模型，對建立的模型分別計算轉速為10～120 r/min時的誤差，如表2所示。可以發現，m=2、n=2的誤差是最小的，對應的模型更能反應出超聲波電機的轉速變化特征，所以本文超聲波電機的線性時變模型設定為

選擇合適的時間窗口［k－p，k+q］來更好地對模型參數進行辨識，設置窗口［k－p，k+q］的調節參數p和q分別為p=2、q=2，p=2、q=3和p=3、q=3，計算3種情況下的模型誤差如圖3所示，表3為所有轉速在不同窗口的誤差計算結果，可以發現調節參數p=2、q=2時，也就是時間窗口選為［k－2，k+2］時，誤差最小。

3 仿真與實驗結果分析

3.1 實驗結果

本次實驗對10～120 r/min不同轉速建立相應的轉速-控制模型。以120 r/min為例，選取11組數據，其中，10組數據進行實驗，1組數據進行模型校驗。假設數據量為N，參數的初值設為5行N列的零矩陣，將10組實驗數據迭代10次，記錄每次迭代的參數結果，用校驗組計算迭代過程中的模型輸出與實測轉速值的均方根誤差，用以確定模型的精度和算法的收斂性。

圖4為120 r/min在迭代過程中誤差的變化，圖5為每次迭代時模型的輸出結果，可以發現，誤差在前4次迭代都有較大幅的降低，在第6次迭代后誤差收斂到一個較小值。

分析參數不同初值對誤差的影響，如圖6所示，設置初值為0、0.01A、－0.01A、0.005A（A為元素全部為1的5×N的矩陣）。由圖6可以看出，不同的初值對模型的誤差影響較大。初值為0.005A時，誤差最小。

分析迭代過程中時變參數的變化如圖7～圖11所示，參數在前4次迭代時變化較大，之后逐漸收斂到穩定值。

分析不同轉速下同一個參數的變化情況，如圖12～圖16所示，可以發現，在不同轉速下，以轉速為自變量，參數a1和a2的變化曲線為截距相近但斜率不同的線性函數，b0、b1和b2在不同轉速下的變化曲線是重合的。

圖12～圖16表明，使用不同轉速給定值情況下的階躍響應數據，所建模型表達式相同，模型參數b0、b1和b2值及變化過程基本一致，但參數a1和a2的數值好像是有明顯差異的。

事實上，考慮到模型表達式分母的首項為1，圖12和圖13中a1和a2的數值相對較小。因而，圖12和圖13中a1和a2的數值差異并不代表相應的模型有明顯差異。上述差異只是在針對不同實驗數據進行迭代建模的過程中，為了追求特定實驗數據與所建模型之前的一致性而帶來的微小差異。

為了用數據說明模型之間差異的大小，現考慮式（21）所示模型的穩態增益，即

b0+b1+b21+a1+a2。

不同轉速給定值情況下，所得模型的b0、b1和b2值基本一致，即上式分子表達式差異不明顯，而差異主要體現在分母表達式1/（1+a1+a2）。使用建模所得a1和a2數據，計算表達式1/（1+a1+a2）的值，如圖17所示，請注意縱坐標的分度量是0.003。由圖17中的數據計算得到，不同曲線所代表不同模型之間的差異不大于1.86%。

由此可知，使用不同轉速給定值情況下的階躍響應數據，所建模型之間的差異很小，這些模型都是有效的。考慮到使用轉速給定值為120 r/min的實驗數據涵蓋了電機可能的調速范圍，可選該模型為電機模型。

3.2 模型結果

對轉速120 r/min的5個參數a1、a2、b0、b1、b2以轉速為自變量進行擬合并代入模型中，擬合圖像如圖18所示。

對每個轉速進行校驗，用均方根誤差來計算實際轉速值與模型輸出的差，作為評定模型計算有效性的依據。每個轉速下所求得的模型校驗誤差如表4所示。可以發現，每一個轉速下的模型誤差值都較小，實測轉速值和模型輸出較為接近。為了更直觀地觀察出模型輸出與實測轉速值的對比情況，以120、60 r/min為例，對比圖如圖19～圖20所示。可以發現，模型輸出能很好地反映出超聲波電機的實測轉速值，也進一步說明對超聲波電機建立時變的線性模型符合超聲波電機的非線性、時變的運行特征。在此基礎上，對所建立的時變模型用迭代學習辨識算法來辨識模型的時變參數，算法有著較好的收斂性和魯棒性，建立的模型精度較高。

3.3 方法對比

本節對線性時變模型、線性時不變模型和Hammerstein模型進行對比，計算3種模型下的均方根誤差，如表5和圖21所示。可以看出，線性時變系統下的誤差最小，且相對線性時不變模型和Hammerstein模型誤差有著大幅度降低。

綜上所述，從模型設計的角度講，時變的模型能很好地體現超聲波電機的時變非線性運行特征，迭代學習辨識算法能較好地辨識超聲波電機線性時變模型中時變的參數。從誤差角度來看，線性時變系統下的超聲波電機模型的誤差最小，且相較線性時不變模型和Hammerstein模型誤差降低50%以上。

4 結 論

本文針對超聲波電機時變非線性的運行特征，建立線性時變模型。通過比較模型不同階次下的均方根誤差，證明二階線性時變模型更適合于超聲波電機。用改進的迭代學習辨識策略來辨識模型時變的參數，通過設計相應的參數學習律和時變的權重矩陣，使得算法能夠有效地跟蹤快速變化的參數且對誤差有著較好的收斂性。通過使用不同轉速給定值情況下的階躍響應數據發現，所建模型之間的差異很小，轉速給定值為120 r/min的實驗數據涵蓋了電機可能的調速范圍，所以將120 r/min的模型選為電機模型。用所建模型與Hammerstein模型和線性時不變模型進行比較，線性時變模型具有較高的計算精度，模型計算值與實測轉速值吻合較好，證明所建模型的有效性。

參 考 文 獻：

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（編輯：邱赫男）

收稿日期： 2022-10-11

基金項目：國家自然科學基金（U1304501）

作者簡介：周星龍（1994—），男，碩士，研究方向為電機運動控制；

史敬灼（1974—），男，博士，教授，博士生導師，研究方向為運動控制與智能系統。

通信作者：史敬灼