多元表征助力分段計費問題教學

分段計費問題是人教版數(shù)學五年級上冊“小數(shù)乘法”單元解決問題領域的內容，是分段函數(shù)在現(xiàn)實情境中的具體表現(xiàn)。理解計費標準是解決分段計費問題的關鍵，而教材中的問題情境以語義表征的形式呈現(xiàn)，較為抽象。為幫助學生實現(xiàn)深度理解和有意義建構，筆者抓住多元表征展開教學。

一、線段圖表征，理解分段計費

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》要求“重視數(shù)學內容的直觀表述，處理好直觀與抽象的關系”，進而說明“幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑”。基于此，筆者引導學生將抽象的問題以線段圖表征，讓學生畫線段圖分析、理解問題，使抽象的計費標準直觀化，以實現(xiàn)深度理解。

教學中，筆者先以教材中出租車收費的問題情境為載體，引導學生圍繞計費標準中的“3千米及以內”“超過3千米的部分”“不足1千米按1千米計算”等關鍵信息展開交流，進而明確：這里的計費標準表達的是行駛里程與車費之間的關系，一段里程以3千米為界分成兩段計費，每一段的數(shù)量和單價各不相同；行駛里程6.3千米要按7千米計算。接著，筆者引導學生根據(jù)交流所得共識畫線段圖，表示出租車的計費標準。然后，筆者選取學生的典型作品（如圖1、圖2），引導學生發(fā)現(xiàn)兩幅作品雖然畫法不同，但都是分成兩段畫的，并且前一段的費用固定不變，后一段的費用隨著行駛里程的變化而變化，兩段的費用和就是乘坐出租車的總費用。

以上教學，學生通過線段圖這一載體將其個性化的思維過程變得可視化，清晰地表示出行駛里程與車費之間的數(shù)量關系，建立了分段計費問題的直觀模型。同時，直觀模型為學生采用多種方法解決問題提供了思路。

二、算式表征，建構數(shù)學模型

解決問題時，教師不僅要引導學生用直觀的圖形解釋問題，還要引導學生用抽象的算式解決問題，實現(xiàn)從圖形直觀到算式抽象的過渡，更好地把握vCHlPRlEL0zZOTiHvbYzFpdtwhzXjH++21SZWjC85A8=問題情境中的數(shù)量關系，建構數(shù)學模型。

基于學生對計費標準的清晰理解，筆者引導學生列算式表征問題并通過計算解決問題。有了線段圖的直觀呈現(xiàn)，學生用分兩段計算再求和的方法算出了出租車行駛6.3千米的總費用，也就是把6.3千米看作7千米，先用“7-3”算出后一段里程為4千米，再用“1.5×4”算出后一段的費用為6元，最后用前3千米的起步價7元加上后一段的費用6元，得出總費用13元。

隨后，筆者讓學生繼續(xù)用此方法計算行駛里程為7.8千米、10.5千米時出租車的總費用。學生正確計算后，筆者引導學生觀察不同里程對應的算式，在不斷變化的里程和費用中找到不變的關系——“起步價+（總路程－起步路程）×單價=總價”，從而構建分段計費問題的數(shù)量關系模型。

在基本模型的基礎上，筆者通過喚醒學生已有的“嘗試調整”解決問題的經(jīng)驗，引導學生用先假設每千米費用都是1.5元，再加上前3千米少算的費用的方法解決問題。其算式表征如下。

把6.3千米看作7千米。

假設：1.5×7=10.5（元）

少算：7-1.5×3=2.5（元）

應付：10.5+2.5=13（元）

不管是分兩段計算再求和還是先假設再調整，兩種策略都體現(xiàn)了學生對分段計費問題數(shù)量關系的準確把握。最后，筆者引導學生思考兩種方法的共性，即在解決問題過程中都抓住了“以3千米為分界線”這個關鍵點。

三、列表表征，凸顯分段界限

列表不但可以清楚地表示行駛里程與費用這兩個變量之間的關系，而且能直觀呈現(xiàn)以3千米為分界點的兩段里程與它們的費用之間的不同關系，從而凸顯“分段界限”這一核心要素。

在回顧與反思環(huán)節(jié)，筆者引導學生采用累加的方法，從1千米開始填寫車費，一直填寫到7千米，形成完整的表格（如下表）。

之后，筆者追問學生行駛里程為8千米、9千米、10千米的出租車費用。學生在不斷向后推算的過程中進一步感受3千米之后費用隨著行駛里程的變化而變化。由于表中數(shù)據(jù)變化特征明顯，學生很容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：前3千米內的費用不變，總是7元；3千米以后，每多1千米就多1.5元。筆者適時引導學生用自己喜歡的方式表示這種變化趨勢，學生借助已經(jīng)學習的折線統(tǒng)計圖相關知識，形象地用手勢表示。在此過程中，筆者引導學生關注手勢的運動軌跡，讓學生思考手勢應該在什么地方發(fā)生變化，從而幫助學生明確變化的節(jié)點就是分段計費的分界點——3千米。借助表格中的數(shù)據(jù)及其變化，輔以直觀手勢演示，學生進一步理解了分段計費問題的特征，明確了解決分段計費問題的關鍵在于抓住分界點。

四、圖象表征，滲透函數(shù)思想

分段計費問題體現(xiàn)了函數(shù)關系，為了滲透函數(shù)思想，教師可以引導學生依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)將行駛里程與車費之間的關系繪制成圖象，直觀地呈現(xiàn)它們之間的變化關系。

課堂上，筆者先呈現(xiàn)沒有標記數(shù)據(jù)的坐標圖，引導學生通過觀察，發(fā)現(xiàn)橫軸代表行駛里程，縱軸代表出租車費。接著，筆者引導：如果把出租車的行駛里程和收費情況在這幅圖中表示出來，圖象會是什么樣呢？筆者示范第一段圖象的繪制：0千米代表起點，對應車費為0元，用空心的小圓圈表示；行駛里程在大于0且小于等于3千米的范圍內都是7元，在圖中以一條平直的線段呈現(xiàn)，代表這一段范圍內車費都是7元。然后，學生嘗試接著畫：由于從3千米開始，每增加1千米就加收1.5元，所以從3千米到4千米這一段都是8.5元，用左端為空心圓的一條短橫線表示，以此類推，形成如圖4所示圖象。

學生在筆者引導下觀察圖象，發(fā)現(xiàn)它一段一段地上升，也就是車費隨著行駛里程的增加而增加，并且每段的價格相同。不同的表征形式可以從不同角度呈現(xiàn)和解釋分段計費問題的結構，最后，筆者通過溝通線段圖、算式、列表和圖象四種表征形式，引導學生發(fā)現(xiàn)：雖然它們的形式不同，但都在表示第一段（3千米及以內）的起步價不變，第二段（超過3千米的部分）車費隨著行駛里程的變化而變化。這樣教學，學生不但對分段計費問題形成了全面而又深入的理解，實現(xiàn)了知識的有意義建構，而且感悟到函數(shù)思想。

（作者單位：武漢市光谷喻家山學校）