課程思政背景下常微分方程課程教學研究

摘 要：常微分方程是理論聯系實際最廣泛的課程之一，而且它有豐富的思政元素。該文首先論述常微分方程課程思政的必要性，其次給出課程思政的實現途徑，最后結合極限環知識點、數學建模競賽和新冠感染疫情防控3個熱點問題給出具體實施案例。該文通過對課程思政在常微分課程中的融入研究，期望能夠為國家培養更多德才兼備之人。

關鍵詞：課程思政；常微分方程；教學；極限環；數學建模

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）29-0181-04

Abstract： Ordinary Differential Equations is one of the most extensive courses in combining theory with practice， and it has rich ideological and political elements. This paper first discusses the necessity of ideological and political courses in Ordinary Differential Equations， and then givesrealization methods. Finally， the paper gives specific implementation cases based on three hot issues， such aslimit loop knowledge， mathematical contest in modeling and COVID-19 prevention and control. This paper has a certain reference for the implementation of the ideological and political course of Ordinary Differential Equations.

Keywords： curriculum ideology and politics; Ordinary Differential Equations; teaching; limit loop; mathematical modeling

基金項目：2022年度安徽省高等學校省級質量工程重點項目“基于課程思政背景下數學專業《常微分方程》教學改革研究與實踐”階段性成果（2022jyxm544）；2021年度安徽師范大學校級研究生課程思政教研項目“生物數學”階段性成果（無編號）；2023年度安徽師范大學校級“課程思政”示范項目“常微分方程”階段性成果（無編號）

第一作者簡介：張道祥（1979-），男，漢族，安徽天長人，博士，教授，碩士研究生導師。研究方向為微分方程理論及其應用。

2016年12月，習近平總書記指出：“使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應。”同時，教育部提出：“要將各類課程與思想政治理論課相融合，將‘立德樹人’作為教育的根本任務，既要育才也要育人。”在早期，高校在育人方面所做的工作大多是開設思政課程，即將思政課程設為高校必修課，并組織學生集中學習。而課程思政的提出，要求所有專業課程都要承擔起立德樹人的教育責任，在專業課中融入思政元素[1]，避免僅通過思政課程這一唯一途徑來實現思想政治教育，從而提高高校教學質量。

課程思政不是在課堂上口號化機械化地輸出思政內容，而是強調潛移默化。強行施加課程思政會破壞專業課程的完整性與嚴謹性，學生也難以將兩者結合起來，這不利于專業課知識的吸收與價值觀的塑造，反而事倍功半，所以要注意方式方法。由于不同專業有不同的人才培養目標，故需要結合專業特點與長處，深入挖掘課程所包含的精神內核與思想價值，從專業課的發展歷程、主要用途等方面，增強課程的育人功能。

常微分方程作為數學專業的一門必修課程，是研究自然現象、物理工程等領域的強有力工具，有著廣泛的實際應用。然而，在傳統的常微分方程教學中，學生可能更加善于套用公式求解方程，而不清楚如何利用常微分方程來解決實際問題。現如今在課程思政的大背景下，高校需對專業課程教學模式進行改革，將思政教育與專業知識進行有機結合，做到知識傳授與價值引領相結合[2]。常微分方程科學思維嚴密、邏輯性強、發展前景廣闊，提升常微分方程的教學質量對于培養學生的探究精神、邏輯、創新思維與解決實際問題的能力都有著巨大作用，從而為國家儲備更多的應用數學方面人才。

一 課程思政的實現途徑

（一） 課程有廣度——知識傳授

1 優化知識體系

常微分方程的內容對于同學們來說具備一定的難度，為使同學們對該課程有一個整體把握，教師可對教學內容進行分類。例如，首先將常微分方程的求解方法歸為一類。這是開設常微分方程最基礎的知識性目標，即明確要求同學們會分辨并求解各類常微分方程，如一階微分方程、高階微分方程及線性微分方程組。在學習了不同種類型的常微分方程解法后，老師可帶領同學們進行歸納總結，或讓同學們于課后在筆記上自行整理。這蘊含著對癥下藥，具體問題具體分析的思想內涵。其次將相關理論知識分為一類，如解的存在唯一性定理，解的線性相關線性無關性。這部分內容可對不同層次的學生提出不同程度的要求，在講解該部分內容時也要更加區分步驟詳細講解，照顧不同學生的感受。最后，將微分方程的應用歸為另一類。該體系搭建既穩固又有廣度，同時也符合學生的認知規律。

2 靈活教學手段

新冠感染疫情影響下，部分高校不得已以線上授課的模式展開教學。線上教學評價褒貶不一，而教師要做的就是不斷利用線上優質教學資源與各授課平臺的手段優化教學，如測試發布、自動批改、限時任務、錄屏回放和小測結果統計等，教師可充分利用教學平臺，幫助同學們掌握知識。而在傳統的線下教學中，教師亦可借助線上資源與平臺，如在每講解完一類微分方程的特定解法時，可在學習通發布一個限時小練習，及時了解學生的掌握情況。這同時也是保留教學過程的一種途徑，方便教師課后反思教學過程中存在的問題，不斷優化教學設計。教師還可布置相關線上課程視頻任務，要求同學們自行觀看學習。在最終的成績評定環節中，若教師在教學過程中貫穿了較多的網絡教學方式，則網絡后臺學生的學習數據可作為平時成績評定的參考標準，教師亦可增加平時成績在總成績中的比重，做到重過程輕結果[3]。

3 注重協作建設

課程思政是一項龐大的系統性工程，注重培養團結協作精神有助于將思政元素更好地融入到學科建設中。

例如，對于高校，若不同高校割裂開來，只專注自身，則授課老師工作量巨大。因此，高校之間可成立常微分方程課程思政教研小組，合力完成升級版本的常微分方程教學方案；也可選擇常微分方程課程思政已經做到非常出色的高校，制作慕課發布在網絡上，供大家學習參考；同時，還可將課程思政的出色程度作為衡量高校教學成果的評估內容，采取獎勵機制，激發高校教師的備課欲望。而對于學生，若在教學過程中多組織集體教學活動，則有利于加強同學們相互之間的團結協作精神。因此，在常微分方程教學過程中，可成立互助幫扶小組，讓同學們互相合作，取長補短；也可采用分組學習比賽的模式，將學生隨機分組，通過問答或者匯報等比賽方式幫助同學們復習重要知識點，最終得分最高組勝出。這樣一來，便更好地拉近了高校之間、學生之間的距離，增強了新時代的社會凝聚力。同時，學生在課堂中不僅學習了科學文化知識，還能體會到團結協作帶來的精神力量。

（二） 課程有深度——能力培養

常微分方程作為理工科課程，具備思維嚴密、邏輯性強、應用性強等特點，若將傳統文化或法律法規強加于教學，則顯得格格不入，效果也不理想。所以，可從數學思維與實際應用的角度融入思政，培養學生的創新精神與科學思維能力，做到既育才也育人。

1 數學思維

教師培養學生正確的數學思維有助于其更好地掌握常微分方程中的相關知識。如在用常數變易法解線性常微分方程時，將常數變易為待定函數，這一巧妙的構思對學生非常有啟發。教師可引導提問學生是否在其他學科中有過類似的處理方法，有何區別，有何聯系。在解伯努利微分方程時，先要處理該方程，利用變量代換將其化為線性微分方程，再利用常數變易法求解，也可以直接通過通解公式得出結果[4]。隨著課程的學習，同學們會發現常數變易法還可以求解高階線性非齊次微分方程及線性微分方程組，其過程更為復雜[5]。通過常數變易法的教學，可以看出知識的傳授需先易后難，學生對于知識的接受曲線也是一個螺旋式的上升過程，并非垂直到達。同學們在初次接觸常數變易法時，可能對變易過程還難以理解，但在課后不斷的練習鞏固中，當到達某一高度再回看時，便會有“一覽眾山小”的感覺了[6]。

2 實際應用

常微分方程屬于應用性強的知識，高校所用的常微分教材都不會僅僅介紹理論知識。

為了讓同學們走出書本，最終讓常微分方程作為解決實際問題的有效武器，高校可鼓勵同學們積極參加各類數學建模比賽，利用微分方程建立的數學模型更好地對實際加以模擬，從而預測未來。在模型的建立過程中，同學們需要不斷地修改模型與驗證模型，從而補足知識上的空缺，這有助于同學們對于常微分方程的掌握程度產生質的飛躍。從會解到會列，再到實際應用，是科學思維的拔高也是應用意識的提升。與此同時，可由教師在課后布置相關熱點問題，并適量結合時政熱點，如病毒感染無癥狀患者與確診患者是否可用同一傳染病模型描述等，作為平時分的加分項目，激起同學們的探究欲望；也可自己擬題，培養探究精神與創新思維。

（三） 課程有溫度——價值塑造

1 歷史文化

微分方程理論誕生于經濟迅速發展的17世紀，為順應生產力的發展，社會對于數學水平的提升有著極高要求。微分方程最早出現在伽利略觀察自由落體運動時，發現物體的加速度為常數的研究中；而牛頓是第一位著手解微分方程的數學家，萊布尼茲則最早利用常微分方程解決實際問題。此后，伯努利、歐拉、克萊羅和拉格朗日等數學家，均對常微分的發展起到了非常重大的作用[7]。

任何學科的發展都不是一帆風順的。盡管課本上將常微分方程知識點由易到難劃分得十分明確，但這是很多數學家耗盡無數日夜鉆研所得的成果，是各位優秀的數學家不斷研究試錯、排除萬難才得到的結論。經過該部分學科歷史的介紹，同學們對于微分方程的發展史有了基本的了解，也體會到科學家們孜孜不倦的探究精神，而當下的我們直接享用著他們的研究成果，理應格外敬畏。同時，對于微分方程發展史的了解也激發了同學們對于當代常微分方程中仍存在的問題產生研究欲望。

2 愛國情懷

任何一門學科的最終目的都是服務于社會，數學自然也不例外。教師在教學過程中，要善于關注數學知識與實際問題的聯系，并融入國情元素，擴大格局，進而培養學生的愛國情懷。例如，對于一階線性齊次微分方程的學習，為了運用“馬爾薩斯人口模型”的基本原理，可以設計案例“請用數學方法證明毛澤東‘星星之火，可以燎原’的論斷”。研此題，首先學生會查閱資料了解當時的歷史背景，理解“星星之火，可以燎原”的出處及其含義，再引發思考，深入題目本質，探究基本原理。做這個題目的過程中，不僅鞏固了常微分方程的基本知識，還了解了中國共產黨的一些發展史，培養了愛黨愛國的精神。

二 常微分方程課程思政具體案例

（一） 結合極限環知識點

1900年，希爾伯特（D.Hilbert）在世界數學家大會上提出了23個重要的數學問題。在20世紀之初，他所提的這些數學問題，激起了全球數學家的一股研究熱潮。其中的第16個問題，中國數學家將其做到了極致。該問題為：常微分方程=的極限環的最大數目H（n）及位置分布，其中Qn（x，y），Pn（x，y）是n次多項式。該問題引起不少數學家的關注，但研究進程緩慢。在1955年，一位蘇聯科學院院士提出H（2）=3，此后也有兩位數學家發聲肯定該結果。然而，中國數學家史松齡創造性地構造出了一個有4個極限環的系統，并加以證明，這表明，H（2）=3的結論是錯誤的。文章一經發表，便否定了當時數學界主流觀點H（2）=3這一錯誤結論，引起轟動，中國數學家揚眉吐氣。緊接著，同年，陳蘭蓀和王明淑也找到了一個有4個極限環的例子。這一世界數學難題，經過中國數學家不斷試錯與創新，思索與探究，終于有所突破。隨后，1982年，李承治通過個系數，給出一個具體的條件，構造出一個系統，能判定也有4個極限環，且得出位置分布。中國數學家沒有沉溺于之前的成就無所事事，而是選擇更加深入地探索。時至如今，平面二次系統的極限環問題，H（2）=4這一結果仍領先世界，為最新結論，沒有被突破或者推翻，也就是說世界上暫時還沒人能夠給出一個H（2）=5的例子。

在常微分極限環一節的課程教學中，教師可講述這樣一個數學難題的探究過程。中國數學家們在那個科研條件十分艱苦的條件下，勇于質疑，投身科研。數學家們投身科研的毅力與追求卓越的精神給了同學們動力，樹立了榜樣。

該常微分方程課程思政案例，在知識層面將常微分的難度與深度拔高到一個全新的層次，可以看出在常微分方程背后，依然有更廣更深更細致的難題有待解決，而這些也是數學學者們共同的研究任務，同學們可結合興趣加以深究；胸懷祖國的愛國精神，追求極致與嚴謹治學的科學精神，敢為人先與勇攀高峰的創新精神，迎難而上與攻堅克難的吃苦精神，這些同學們都需帶著崇敬之心加以悉心學習。

（二） 結合數學建模競賽

從1970年，中國第一顆人造地球衛星“東方紅一號”，搭載“長征一號”運載火箭發射成功，以及此后的“嫦娥”探月工程，“天宮”載人空間站、“天問”探測器等，一次次的成功書寫著中國的航天神話。2023年，神州十六號發射成功，兩位乘組航天員會師太空，一時間占滿各種熱搜詞條。作為常微分方程的授課老師，需要挖掘其中的常微分知識，帶領學生體會火箭發射問題的解決過程，而解決途徑就是數學建模。故在常微分課程進行到大半的時候，教師可借用此熱點問題，分析火箭發射問題，講解利用微分方程進行數學建模的這一過程，使學生掌握建模的基本步驟與方法。例如，教師可引用以下問題的解決過程。

火箭發射的時候是垂直向上發射的，靠著火箭攜帶的燃料向下噴射產生的推力迅速上升，航天工程中常見的三級火箭接力助推，逐級地把火箭燃盡的結構一一丟棄，減輕火箭本身的質量，達到最大高度。此問題將討論的是單級小型火箭的發射和上升過程，利用微分方程建立模型，討論火箭上升高度的方法。

為簡化模型，假設不考慮空氣阻力，則火箭的發射、上升過程為：火箭垂直地面發射，燃料以一定的速率燃燒，火焰向下噴射對火箭產生向上的推力；在上升的過程中，火箭要克服地球引力，不考慮克服空氣阻力，使得火箭加速向上飛行；當燃料燃盡，火箭仍然可以依靠已經獲得的速度繼續上升，一直到速度為零，火箭達到最高點。

該過程中依靠的一個基本的物理規律就是牛頓第二定律。分析受力，火箭運動過程中，受到燃料燃燒的阻力，這由燃料的特性決定，可視為恒定；還受到地球的引力，由于火箭上升高度相對于地球半徑來說很小，可視為地球引力常數g。

設火箭初始質量為m0，燃料質量為m1，燃料燃燒速率為r，推力為F。t=0時，火箭從地面x=0垂直向上發射，x（t）為火箭高度，x′（t）為速度，x″（t）為加速度，m（t）為火箭質量，隨著燃料的燃燒，m（t）=m0-rt，t1表示燃料燃盡的時間，則有t1=；t2時刻火箭達到最高點，此時x′（t）=0；則可以建立以下方程：

在燃料燃燒階段，即0≤t≤t1時，有（m0-rt）x″（t）=F-（m0-rt）g ；

在燃料燃盡后，即t1≤t≤t2時，有（m0-m1）x″（t）=

-（m0-m1）g。

可對上述微分方程帶入數值依次求解，求出火箭所能到達的最大高度。

講解完此例后，一方面，教師可總結利用常微分方程進行數學建模的傳統方法及一般步驟：如模擬近似法、微元分析法等。而在實際的建模過程中，由于問題復雜，需要學生對以上方法加以綜合運用，這需要大量的練習與實踐。常微分方程課程上難以對眾多的問題展開講解，但建模思想的啟蒙為學生打開了新的大門。所以，教師需要鼓勵學生多參加建模比賽，這對學生解決問題能力的訓練與創新思維的提升有著巨大的推動作用。另一方面，教師可就中國的航天成就在精神層面對學生加以思政教育：“兩彈一星”，神州載人，北斗指路，嫦娥奔月，天問探火......從無到有，從仿制到研制，從單個衛星到一個個太空系統，航天事業的飛快發展帶動了通信、遙感等各領域的進步。這是航天工作者夜以繼日奉獻自我的成果，當代青年需肩負時代重任，緊隨國家號召，甘于奉獻，爭當人才。

（三） 結合新冠感染疫情防控

一門課程首節課的質量高低，一定程度上影響著學生們對于該門課程的學習興趣。在常微分方程整套課程的首節課，即第一章的1.1節“常微分方程模型”的教學中，就可以結合社會熱點——疫情防控，教師可通過介紹傳染病模型開展此門課程的教學。以下是具體的教學內容和思政元素。

在傳染病SI模型中，假設考察地區人口數為N，未感染者與感染者在時間t時數量分別為S（t）與I（t），單位時間內感染者能夠傳染的人數與當時的未被感染人數成正比，即k為傳染系數，則有

=k（N-I）I，

從假設中可以得出防疫隔離措施的重要性。檢測、預測、預防疫情，任何人不得獨善其身，戰勝疫情是每位公民的職責。

結合疫情防控教學常微分方程模型可融入如下思政元素。

1 愛國意識

疫情形勢關乎國家命運，我們應該主動配合國家政策，積極為國家防疫貢獻出自己的一份力量。一方有難，八方支援，一方疫情嚴重，其余各省應盡全力支援人力及物力。

2 社會擔當

國家興亡，匹夫有責。當疫情形勢嚴峻時，人人都身負重責。高校應鼓勵學生經常鍛煉以提升自身免疫力，降低感染風險。只有每一個小人物承擔起屬于自己的一份責任，才能夠以小我成就大我，迎接祖國燦爛的明天。

3 奉獻品格

白大褂下是醫務人員的汗水；志愿者們為了守護大家的安危甘居防疫前線，置自身于危險之中；科研工作者們在黑暗中不斷摸索道路。國家有難、人民有危險時，總有人挺身而出。而作為新時代新青年的我們，更應當用知識武裝自己，不負國家，不負人民，奉獻自己，回報社會。

三 結束語

常微分方程作為應用型課程，是理論聯系實際的重要工具。常微分方程的教學方式也需要不斷優化，緊隨時代潮流。本文舉出常微分方程課程思政的三個方向，并列舉了一些教學過程中的具體方式。但是課程思政不是刻意為之，常微分方程本身就暗含了很多的課程思政元素，教學中融合課程思政也是自然而然的一個過程。希望課程思政在常微分課程中的融入，能夠為國家培養更多德才兼備之人。

參考文獻：

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