高等數學課程中“極限”的教學探究

摘 要：對于高等院校中理科專業的大一新生而言，其僅是掌握中學所教的初等數學，在此基礎上，要對高等院校所教的高等數學進行探究，具有一定難度。所以，高等數學的教學應注重從初等數學跨入高等數學的銜接性教學。在過渡期的教學中，應注重引導學生形成正確的思維。該文以高等數學中有關極限內容的教學為例，分析該階段學生在學習“極限”的概念及求解時存在的問題，引導學生循序漸進地形成有關“極限”的思維，為學生今后的學習與科研打好基礎。

關鍵詞：高等數學；極限；大一新生；銜接性教學；教學措施

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2024）29-0124-04

Abstract： For freshmen majoring in science in colleges and universities， if they only master the elementary mathematics taught in middle school， it is difficult to explore the advanced mathematics taught in colleges and universities. Therefore， the teaching of Advanced Mathematics should pay attention to the bridging teaching from elementary mathematics to advanced mathematics. In the transition period， students should be guided to form correct thinking. This paper takes the teaching of limit content in Advanced Mathematics as an example to analyze the problems existing in students' learning of the concept of limit and solving it at this stage， and guides students to gradually form thinking about limits， so as to lay a good foundation for students' future learning and scientific research.

Keywords： Advanced Mathematics; limit; freshmen; bridging teaching; pedagogical measures

基金項目：廣東省普通高校特色創新項目“高階差分方程的動力學”（2020KTSCX351）；四川省高等教育人才培養質量和教學改革項目“‘五育并舉’背景下的數學創新人才培養研究”（JG2021-1057）

第一作者簡介：黎日松（1967-），男，漢族，廣東廉江人，碩士，教授。研究方向為基礎數學。

在高等院校的絕大多數專業中，高等數學是一門必修課程，而極限的概念及求解又是整個高等數學的基礎，所以能否學好高等數學這門課，很大程度在于對極限的理解和運用是否透徹。由此可見，高等院校做好新生“極限”的教學非常重要。

一 新生在學“極限”時常見問題

大一新生在學“極限”時，常見問題有以下四個。

第一，目前，新生在學習“極限”概念時的主要困難，在于中學所學的初等數學與高等數學，有較大的區別。高等數學的邏輯性和嚴謹性明顯加強，大大提高了對抽象邏輯思維的要求。而許多新生在接觸“極限”概念時，感到很抽象，難以理解。如很多同學對于“無限”這一概念難以理解，因為他們在中學學的數列和函數都是有限的、具體的；極限的ε精確定義多達28種，面對這么多的字母表達的內容學生非常容易混淆[1]。這樣會使一些學生剛入學就對高等數學失去信心，由此暴露出了我們的初等數學與高等數學之間的銜接性教學存在問題。

第二，中學階段學習初等數學時，課堂上知識點多但難度小，往往會做大量的習題訓練，以應付考試。學生通過做一個知識點對應的多種“換湯不換藥”題目來提高考試成績。這是中學階段學生提高數學成績的有效手段。且不論這種方式的對錯，但如果學生進入高等院校后仍以應試思維來學習，那么伴隨而來的是只懂做題套路，不懂其概念。這不符合高等院校培養創新型人才的教學目標，不利于發現適合科研的高等人才。進入高等院校后，學習“極限”概念時，重點是能夠掌握正確的思維方式，目標在于利用“極限”作為工具探究連續、導數、定積分以及微分等問題。而且高等院校里面一門課，總是連著上兩節以上，每節課相較于中學來說，內容豐富度大大提升，加上高等院校的教師不像中學階段那般有諸多條規來管教學生，導致有些新生可能一下子適應不了這種節奏，無法對課堂上所有內容充分理解和運用，喪失學習高等數學的積極性，進而影響了后面的學習。

第三，學生從初中時的兩天一小考，三天一大考，到高中的每天考一次試，習慣了用考試來檢驗自己是否掌握了知識點。但在高等院校里并沒有像中學那樣頻繁地考試。更多的學校，一個學期只有一次期末考試，所以很多學生無法清楚地了解自己是否真正掌握了該知識點及其擴展，同時也很容易忘記概念的運用。

第四，在科技發展日新月異的今天，一些老師的教學手段老套，教學案例陳舊，教學課件單調，無法吸引學生眼球。極限對于學生而言，本來就是一個抽象的概念，且學生還在適應課堂的節奏，此時若仍使用大量板書來講述各種定理的推導過程，便會顯得枯燥無味、晦澀難懂。

二 “極限”的銜接性教學措施

針對大一新生在學極限時存在的問題，我們采取以下四個措施。

（一） 向學生描繪“極限”對高等數學的重要性

極限是高等數學中十分重要的內容之一，是探究連續、導數、定積分以及微分等內容的理論基礎和研究工具，因此“極限”的思想在高等數學中的地位，就好比汪洋里的燈塔，雖然不是整道題的全部，但卻是解決各種問題時的思考方向，是眾多數學專業學子的必備知識。無論是高等數學哪個版本的課本，幾乎都是先介紹“極限”概念和講解如何求“極限”。由此可見，把握好對新生關于“極限”的教學，對今后高等數學其他內容的教學具有深遠的影響，也與學生對連續、導數、不定積分、定積分以及微分等內容的學習，及數學專業課有關聯的知識是否能正常理解與靈活掌握，息息相關。

我國古代就已經出現了極限的思想，例如“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”。大概意思是，將一尺的木棍取半，第二天又將半尺的大棍取半，則可以取到無窮無盡也取不完。這句話出自道家思想家莊周的著作《莊子·天下篇》，本是想對先秦其他學術進行批評式論述，但也向世間展示了極限的思想。公元前三世紀，希臘數學家阿基米德的窮竭法已具備極限理論的雛形，而畢達哥拉斯學派關于不可公度量的發現，以及在關于數與無限這兩個概念的定義中就已經孕育了微積分學的關于“無窮”的思想方法[2]。

盡管“極限”的思想由來已久，然而，在隨后的漫長歲月中卻沒有什么進展，到了十七世紀，有許多科學問題急需解決，這些問題對數學提出了更高的要求，由此產生了許多新的數學思想，其中最重要的發明之一就是牛頓和萊布尼茲創立的微積分[3]。

眾多初等數學不能詳細解釋的問題，我們運用“極限”的思想便可以生動說明，如怎么求曲線弧長與曲體的體積等。這些通過后面的學習，學生可以知道，利用定積分可以求曲邊梯形的面積，利用二重積分和三重積分可以求曲頂柱體的體積和質量，而定積分、二重積分、三重積分的基礎便是極限。

最后，教學活動是教師的教和學生的學，這兩者之間相互作用、相互依存、相互制約和相互影響。教學是一種雙邊活動，教學任務的完成，首先決定于教師，學生的學是在教師的引導下進行的，但教是為學而存在的，教師的主導作用是以“學”為落腳點，學是學生自己獨立自主的活動，教師是無法包辦代替的[4]。所以，無論學生在學習“極限”概念時遇到什么困難，最終都只能依靠自身的能力渡過難關，從而克服困難，老師的作用往往只能是引導。于此而言，向學生描繪“極限”對高等數學的重要性顯得十分重要，因為這樣可以讓學生重視“極限”概念的學習，進而提高學生的自覺性，達到一個引導的效果。

（二） 將“極限”的概念具體化，讓課堂生動化

高等數學中很多知識都是抽象化的，“極限”也不例外。因為抽象化有利于看清事物的本質，方便科學研究，但這也讓學生與概念間產生了距離。因為學生無法從現實生活中找到該概念的應用，腦海中沒有具體的形象，這樣便會對“極限”這一概念產生陌生感。這也是高等院校所學的高等數學與中學所學的初等數學間的區別。

作為教師，想要做好銜接性教學，忌諱的就是一直講概念，一直向學生推導定理的證明過程，照本宣科。更忌諱的是，學生表示疑惑時，繼續按照課本的理論再講一遍。這樣不但加深學生的疑惑，而且也會降低學生在課堂上的效率。我們應該將“極限”的概念具體化。如使用類比法向學生們展示“極限”概念在他們所學過的知識中的運用。例如物理中求瞬時速度，高中數學求扇形弧長、扇形面積等問題。

又如向學生們講述數學家遇見問題及解決問題的過程，這樣可以更好地切入課堂，提高課堂的趣味性。例如介紹我國古代杰出的數學家劉徽于魏景元四年（公元263年）注《九章算術》時，訂正了圓周率（圓的周長與其直徑之比）是“周三徑一”之誤的過程：劉徽在計算圓周率的過程中，首先遇到的難處是要計算圓的周長，再計算圓的周長與其直徑之比，因為圓周是一條封閉曲線[5]。在面對直線時，我們可以利用工具將其長度測量出來，但我們如何測量出一條曲線的長度？在今天看來再簡單不過的問題，卻在當時是不亞于攀登珠穆朗瑪峰的難題。而劉徽最后發明并使用了“割圓術”來計算弧長。此時我們可以介紹“割圓術”來調動課堂。首先，作圓的內接正六邊形，其周長記為a1；然后平分每個邊所對的弧，逐漸將邊數遞增，作圓的內接n邊形。周長分別記為a1，a2，a3，……最后發現無論邊長遞增到多少，圓的內接正多邊形都是直邊形，面對直線時，古人已經有技術將其測量出來，所以便可間接將圓的周長求出。

通過這兩個例子，向學生們講述了我國古代數學家化曲為直的過程，讓學生對極限有了初步的構思。通過這種方法，可以很大程度地避免了一味地向學生灌輸概念，從而調動課堂的積極性，讓學生參與其中。在學生有了初步構思后，便可以開始講抽象概念。在講完概念后，讓學生們現場做例題，及時發現學生們對概念的認知錯誤，加以改正，從而使學生正確理解概念并能運用。如學生很多時候會忽略“極限”是趨于某個值，而不是等于它。當然，對于一些重難點，如兩個重要極限、等價無窮小量等更應如此。

就好比有些學生在運用等價無窮小量代換來計算極限時，并沒有注意所求極限因式間的符號是乘號還是加號，又或者用x0代替x，沒有注意當x→0時，x0是否趨向于0。

示例：求極限x6 sin時，學生往往會犯如下的理解錯誤

=x6 sin=x6·==0。

在這個例子當中，學生應該想到的是“無窮小量乘有界函數的結果為0”這個性質，而不是利用等價無窮小量代換來計算極限。作為教師，應該及時糾正學生的錯誤理解，這樣學生在以后求極限或運用極限去求其他內容的時候，才不會犯錯。

同時可以改變教學方法，將多媒體帶入課堂也是個很好的方法。蘇霍姆林斯基說：“教育如果不想方設法使學生情緒高昂和智力振奮的內心狀態，而只是不動感情腦力勞動，就會帶來疲倦。[6]”在上述所說的化曲為直或者類比的方法時，若采用板書的形式，將會浪費較多時間，從而使課堂又回歸到枯燥無味的狀態，違背了講這些內容的初衷。而且對教師的繪畫能力有較高的要求，所以我們可以采用使用多媒體的方法，比如用幾何畫板制作出所講內容的動態圖形，或借助Matlab的作圖功能，通過觀察數列圖形的變化，我們可以求出數列極限，理解數列極限概念的幾何意義[7]。又或者用已做好的PPT來展示直觀的圖形，從而更好說明事理。在這里，我們必須對當代學生有一定的了解。當代學生生長在互聯網極其發達的時代，他們時刻沖浪于互聯網的前端，引領著時代的潮流。所以，教師使用PPT等工具展示課件時，要適當引入一些潮流事物，不宜以大量文字作為基底，可以鏈接一些生活中與極限有關的短視頻及案例，減少學生對極限的陌生感。

其次，雖然說“極限”的概念對于學生十分抽象，需要老師大下功夫，但仍有一些學生可以事先很好地掌握了極限。若由此作為基礎，則可以嘗試翻轉課堂。“翻轉課堂”譯自Flipped Classroom，是指在教學過程中將學習的主動權由教師轉移到學生，教師不再占用大部分的課堂時間講授知識，而是讓學生重新調整課堂內外的學習時間和方式，在課后通過視頻、播客、微信等載體完成自主學習。教師將課堂上更多的時間用在與學生的討論和交流上，用講授法和協作法來滿足學生的個性化學習需要[8]。在翻轉課堂內，已理解極限概念的學生，能以同齡人幾乎同樣的思維，向其他同學來描述“極限”的概念。他們能以同齡人都聽得懂的新詞，加深未懂學生的了解程度。例如筆者曾聽學生說的有趣案例：求極限就像煮粥，當米趨于0時，就幾乎是水，當米趨于∞時，就成爆米花了。這樣的例子或許不太嚴謹，但總歸會比老師講得更生動有趣些，更能讓其他同學透徹地理解，能更好提高課堂的趣味性，進而提高課堂的效率。

總而言之，作為老師，上課時應運用一切手段提高課堂的活躍度，調動學生，吸引學生，提高學生課堂學習的積極性。

（三） 課后工作要做足

許多高等院校想僅僅通過課堂上的例題就讓學生掌握“極限”，但事實證明僅靠課堂上這一點例題是不夠的，而且一些學生剛從中學升到高等院校，不適應高等院校自學的狀態，缺乏自律性。可“極限”這一概念，無論是對高等數學以后的課程，或者是其他數學專業課程，都十分重要。學習數學若不及時復習鞏固，不做一定量的練習，容易給下一步學習造成被動。長此以往，問題就會更加嚴重，所以教師在大一新生初學“極限”這一概念時，一定要做好課后工作，如布置課后作業。布置課后作業時需注意挑選一些學生容易犯錯誤的題目，以及一些比較困難的題目，如利用迫斂性求出極限。借此來鞏固學生所學的知識點，進而確保學生初期的學習工作順利展開。同時讓學生們有不懂的問題時，可以在企業微信上提問。教師看到問題后，現場作答或收集完成后放到課堂上一起解決。將疑問化解在學生心存求學之時，更能激發學生對高等數學的向往。在講完極限這一章節后，還要引導學生們梳理出極限的有關知識點，教會學生們做思維導圖，及時進行總結歸納，這個步驟在極限的教學中不可忽視。因為許多大一學生沒有養成復習的習慣，同時他們也并沒有徹底掌握極限的思想。所以，教師引導學生對極限進行總結歸納，做思維導圖，有利于學生梳理極限這一章節的教學過程，便于日后復習。而當代大學生大都十分擅長各種電子軟件的操作，這對學生繪制思維導圖提供了極大的便利。對不太精通的同學，教師可以重點關注，教會其使用電子軟件來繪制思維導圖。例如教師可在課堂的最后，利用一點剩余時間來演示在電腦中如何使用PPT、Xmind等軟件快速地制作思維導圖。

（四） 后續課堂上反復溫習與擴展

在教學連續、積分等課堂上，可以抽一小部分時間來鞏固和擴展極限的內容。這樣做的好處有：一是可以作為一個很好的切入點進入后面的學習。高等數學的教學中，無論是積分還是連續抑或是多元積分等的計算都是基于極限的基礎。例如在證明連續時，就要先證明極限存在并相等。所以，教師除了利用現實中的例子進行情境導入外，還可以考慮通過復習極限來進入課程。在此過程中，能幫助學生重溫“極限”的概念、計算等知識點，這樣也方便后續教學的流暢度。二是讓學生了解自身對極限的掌握程度，從而彌補考試少，學生不能自知的缺點。絕大多數大一新生不能擺脫應試思維，考試考到哪就學到哪，不把時間放在課堂沒有的內容上。但高等院校的學習，更強調自學，強調自我提升。由此一來，學生若不自行改變，老師也不加以糾正，那么高等院校的教學對最終培養出來的學生幾乎無用。所以，教師通過課堂上對“極限”的溫習與擴展，可令學生認清自身水平，進而激發學生自主實習的興趣。三是加強學生的自信心。除了上述的學生外，肯定存在一些學習性強的學生。他們通過一些短視頻、推文、經驗帖等，已經掌握了適合自身的自學計劃，明確了自我提升的目標，同時他們還可能擁有較強的尋找學習資料的能力。對于這部分已經掌握學習技巧，適應高等院校學習生活的學生來說，教師通過課堂上對“極限”的溫習與擴展，可以增強學生的自我認同感。此過程在鼓勵學生繼續走適合自己的學習道路的同時，為培養更高質量的創新性人才埋下伏筆。

三 結束語

極限對數學眾多專業課的重要程度不言而喻，只有將極限學好才有機會學好后面的課程，所以教師應該尤其注重大一新生“極限”概念的教學。第一，教師在了解到學生學習極限存在的問題之后，上課前應備課充分，準備多一些通俗易懂的例子；第二，結合課程思政，講極限的思想方法和極限的數學故事，提高學生的積極性；第三，想辦法改造課堂，吸引學生注意力，提高學生學習的自覺性；第四，注意課后的工作，以帶動新生回歸學習的正軌。

參考文獻：

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[8] 石少廣，張蕾，馬萌.基于翻轉課堂理念的《數學分析》課程教學模式研究——以數列極限為例[J].創新教育研究，2016，4（3）：69-73.