“自行車里的數學”教學實踐及反思

一、教學目標

1.了解自行車的基本結構及內在原理。

2.理解自行車速度與車輪直徑、前后齒輪的齒數、鏈條的運轉等因素的關系。

3.運用數學模型解決有關自行車速度的問題。

4.提出及解決與自行車速度相關的數學問題。

二、教學過程

（一）激趣導入

師：咱們班有誰會騎自行車嗎？

生1：老師，我會騎自行車。

師：你能給大家分享一下自行車的基本知識及結構嗎？

生1：自行車有車輪、踏板、把手、座位等部分，還有鏈條及齒輪。

師：非常好！你說得很對。我們來看一下關于自行車的圖片。

【教師通過多媒體設備展示自行車的圖片】

師：請大家看這張圖片，這是一輛普通自行車。同學們看到了車輪、踏板、把手、座位等部分了嗎？還有沒有其他值得注意的地方？

生2：看到了。我發現還有一條鏈條及兩個齒輪。

師：很好！你觀察得很仔細。確實，鏈條及齒輪是自行車中非常重要的部分。它們幫助我們轉動車輪，使自行車能夠行駛。有誰知道鏈條及齒輪的作用嗎？

生3：我知道鏈條把踏板及齒輪連接起來，當我們踩踏板時，鏈條會帶動齒輪轉動，進而帶動車輪轉動，使自行車行駛。

師：看來大家對自行車都有一定的了解，那么我們這節課就深入探究一下自行車中的數學知識。

（二）初步探究

【教師推出事先準備好的一輛自行車】

師：現在，我想請幾位同學通過測量來找出自行車蹬一圈能走的距離。我需要一位同學幫我踩踏板，另一位同學來測量車輪轉的圈數，并在起點及終點做好記號。請兩位同學上來協助一下。

【隨機挑選兩名學生上臺來進行測量，其他學生注意觀察自行車在行進時什么在動，思考自行車為什么能往前走】

師：通過實際測量和悉心的觀察，大家有沒有了解自行車蹬一圈能走的距離呢？

生1：2.2米左右。

師：很好，這是我們通過實際測量出來的結果，那如果不轉動車輪進行測量，你們如何得出自行車轉動一圈往前轉動的距離呢？

生2：可以測量自行車的半徑，然后通過2πr進行計算。

師：很好，這是我們前面學習過的圓的周長計算公式。

（三）分組討論

師：現在請各小組討論：自行車蹬一圈的距離可能會與什么有關？具體又是什么樣的關系呢？

生1：跟自行車車圈的大小有關，應該是與車輪的周長有關。

生2：跟前齒輪和后齒輪轉動的圈數有關。

……

師：很好，同學們觀察得很細致，也很全面。跟車圈的周長相關，也就是跟車輪的直徑或者半徑相關，對不對？

生（合）：對。

師：自行車蹬一圈走的距離與前齒輪和后齒輪轉動的圈數相關，大家想想，這具體又是什么關系呢？

生3：前齒輪的轉動帶動后齒輪的轉動，前齒輪大，后齒輪小，前齒輪轉一圈，后齒輪會轉好幾圈。

生4：后齒輪轉動一圈，后車圈就隨之轉動一圈。

師：對，下面同學們可以討論一下：前齒輪的轉動和后齒輪的轉動之間存在什么樣的關系？

組1：前齒輪和后齒輪通過鏈條連接，鏈條是一扣一扣的，也就是說，前齒輪轉動一扣，后齒輪也會轉動一扣，那前后齒輪的轉動關系就應該跟前齒輪和后齒輪的扣數相關。

組2：我們剛才觀察了自行車前后齒輪的齒數，前齒輪的齒數是36，后齒輪的齒數是16，也就是說，前齒輪轉動一圈，后齒輪就要轉動2.25圈，車圈也就轉動2.25圈。

師：非常好，同學們不僅觀察入微，還計算得非常精準。比較了前齒輪和后齒輪之間轉動圈數的差異，大家說說，前后車輪之間的轉動存在什么樣的差異呢？

生5：前車輪和后車輪之間轉動的圈數是一樣的。

師：那為什么前齒輪的轉動是后齒輪的2.25倍，而后車圈的轉動卻和前車圈的轉動一樣呢？

生6：因為自行車是后車輪轉動帶動前車輪轉動，兩個車圈的轉動圈數是一致的，要不然自行車怎么跑呀？

師：很好，同學們沒有被前后齒輪“轉”暈，認為前車輪的轉動圈數是后車輪轉動的2.25倍。同學們再想一想，前后齒輪轉動的時候，它們轉動的齒輪數是否一致？

生（合）：一樣。

師：為什么？

生7：因為前后齒輪都是通過同一根鏈條連接，鏈條轉動應保持前后均衡，否則就會出現過緊或者過松的情況。

師：很好，但是我們還是要經過實際認證，看看你們的判斷結果是否正確。

【教師將自行車推到教室中央，然后劃定起點，讓自行車車輪轉動一圈，讓學生分別數一數前齒輪和后齒輪轉動的齒數分別是多少】

生8：老師，后齒輪數不用數，因為車輪轉動一圈，后齒輪也要轉動一圈。前面我們已經知道后齒輪數是16，所以肯定還是16。

師：非常好，但我們還是要保持嚴謹的實驗作風，分別數一下，驗證你們的想法是否正確。

【教師轉動自行車，讓學生分別數一數前后齒輪轉動的齒數】

師：同學們數清楚了嗎，前齒輪和后齒輪分別轉動多少齒數？

生9：后齒輪轉動15。

生10：后齒輪轉動16，不可能是15。

生11：前齒輪轉動15。

生12：不可能，前齒輪轉動16。（學生意見不一）

師：看來同學們的意見存在分歧，這下同學們是不是也能夠發現我們理論上的認知和實際操作之間存在的差距。

生13：老師，其實我們不用數前齒輪和后齒輪的轉動齒數，只需要數一數前后齒輪鏈條轉動的扣數也是可以的。

師：很好的想法，但是前面同學們遇到的問題還是要解決。接下來咱們分為四組，兩個小組分別數前齒輪和后齒輪轉動的扣數，另外兩個小組還是分別數前后齒輪轉動的齒數，怎么樣？

生14：我們還需要找到一種方法，能夠避免同學們在數前齒輪、后齒輪齒數的時候又出現分歧。

師：沒錯，那應該怎么解決這個問題呢？

生15：咱們可以進行標記，如在轉動齒輪的第一個齒上分別標上顏色，這樣在車輪轉動一圈之后，數一數這個齒距離原來位置輪齒之間的齒數就可以了。

師：好辦法，就這么辦。

【按照學生提供的思路，教師在齒輪上面標注顏色之后繼續轉動自行車，然后讓四個小組分別數數并匯報結果。】

組1：前齒輪鏈條總共轉動15扣。

組2：后齒輪鏈條總共轉動15扣。

組3：前齒輪齒數總共轉動16齒。

組4：后齒輪齒數總共轉動16齒。

師：很好，這次我們得出了和前面推理一樣的結論。那么通過這個事情，你們有什么心得體會？

生17：實踐出真知，很多時候我們想的和實際做起來還是存在差距。

師：在以后的學習、生活乃至工作中，你們也會遇到類似的情形，這個時候一定要進行實踐檢驗，遇到問題想辦法解決。

（四）課堂練習

師：接下來，老師就要用實際題目來考驗你們了。注意，老師要加大問題難度了。

（學生情緒高漲，躍躍欲試）

師：請同學們用公式的形式將前齒輪齒數、后齒輪齒數和前齒輪轉動的圈數、后齒輪轉動的圈數表示出來。

生：需要用字母的形式嗎？

師：可以用字母的形式，也可以直接用純文字的形式。

第一組討論情況：

生1：自行車運行一定的長度，前齒輪和后齒輪轉動的齒數一樣，但是前齒輪和后齒輪轉動的圈數不一樣。

生2：對，關鍵就是要找出這二者之間的關系。

生3：假如前齒輪轉動16齒，后齒輪也轉動16齒，前齒輪轉動16/36圈，后齒輪轉動1圈，這樣是不是就把前齒輪、后齒輪的轉動齒數和轉動圈數具象化了，咱們只需要按圖索驥，找出其中的關系就行。

生4：好辦法，這下咱們不是從自行車齒輪找關系了，咱們直接從這組數字中找關系。

第二組討論情況：

生1：假設前齒輪齒數是a，后齒輪齒數是b，那么b/a就等于16/36。

生2：然后呢？

生3：然后就是設定后齒輪轉動1圈，我們直接計算出前齒輪轉動的圈數就可以了。

生4：我們設定前齒輪轉動c圈，后齒輪轉動d圈。那就應該是……

第三組討論情況：

生1：這個問題應該怎么著手？

生2：這個簡單，只需要找出他們之間存在的等量關系就行了。

生1：等量關系是什么？

生3：等量關系就是前齒輪轉動的齒數和后齒輪轉動的齒數是一致的。如果說前后齒輪轉動齒數為a，那a/16就是后齒輪轉動的圈數。

生4：對，a除以36就是前齒輪轉動的圈數……

（學生討論結束后，各小組匯報自己的討論結果）

組1：我們得出的結論是前齒輪轉動1圈，后齒輪轉動n圈，n乘以后齒輪的齒數就是前齒輪轉動1圈的齒數。

組2：我們設定前齒輪齒數為a，后齒輪轉動齒數為b，前齒輪轉動圈數為c，后齒輪轉動圈數為d，最終得出的結論是b×d=a×c。

組3：我們得出的結論是前齒輪轉動的齒數乘以前齒輪轉動的圈數等于后齒輪轉動的齒數乘以后齒輪轉動的圈數。

師：很好，各個小組都得出了正確的結論。老師知道，這個結果并不是你們一次性得出的，而是在初始思路的基礎上不斷調整和修正后得出的。這也印證了前面我們說的，遇到困難要轉換方法，進而解決困難。

（五）靈活運用

師：既然同學們已經知道了前齒輪和后齒輪齒數與前齒輪、后齒輪轉動圈數之間的關系，那我們就來進行實際運用。

一輛自行車的車輪直徑是0.5米，前齒輪有48個齒，后齒輪有16個齒，自行車向前行駛一圈前進多少米？

生1：應該是1.57米？

師：看看，不少同學得不出結論，還有部分學生得出結論又不敢肯定，一道小小的數學題就揭露了你們學習的結果。

生2：老師，這個是不是跟我們今天學習的內容沒有關系？

師：怎么沒有關系，不都是自行車里的數學嗎？

生3：這道題用不到我們今天學習的齒輪齒數和圈數的結論。

師：終于有人明白過來了，但是老師也沒說這道題需要用到今天學到的結論呀。這道題之所以給出前后齒輪的齒數，就是為了迷惑你們，結果你們還真被迷惑住了。無論這道題是考周長還是考齒輪齒數、圈數，都是我們已經學習過的知識，你們要能夠破開這層迷霧。

生4：老師再來一道，保證快速做對。

一輛自行車的車輪直徑是0.8米，前齒輪有28個齒，后齒輪有14個齒，蹬一圈自行車前進多少米？

生4：這不是跟剛才一樣的題目嗎？

師：大家先計算結果，給出答案。

生5：自行車前行2.512米。

師：同學們仔細審題，這兩道題一樣嗎？

（教師將兩道題目同時顯示在多媒體屏幕上）

生6：一個是自行車向前行駛一圈，一個是蹬一圈。

生7：一個是計算自行車車圈的周長，一個是計算自行車周長乘以轉動的圈數。

師：對，重新計算。

生5：5.024米。

師：很好，你們說說這兩個自行車哪個跑得快？

生8：哪個跑得快，那得看誰騎吧？

師：同一個人在相同時間內用同樣的力量蹬車騎行，沒有風的情況下。想一想，可以同桌討論。

生9：跑得快主要看自行車車圈的周長和轉動的圈數。

生10：對，很明顯，第二輛自行車車圈的周長更長。但是還要結合轉動圈數的快與慢。

生11：是的，第二輛自行車的齒數少，那它轉動一圈的速度就應該更快。

生12：這么一結合，無論是從自行車車圈的周長還是轉動速度來看，都是第二輛自行車的轉動速度更快……

師：同學們得出結論了嗎？

生13：第二輛自行車跑得快。

師：為什么？

生13：因為第二輛自行車的齒輪數少，它轉動一圈的時間就少，而且第二輛自行車車圈的直徑長，轉動一圈行駛的距離更遠，所以從哪個角度來看，在同等條件下，第二輛自行車的行駛速度快于第一輛自行車。

師：沒錯，這跟我們生活中的什么很類似？

生14：變速自行車。

師：對，那你們現在能明白變速自行車為什么行駛速度更快了嗎？

生15：明白了。在同樣車圈周長的情況下，前齒輪轉動一圈，通過調節不同齒數的后齒輪就能夠讓它轉動不同的圈數，后齒輪齒數越少，自行車的行駛速度就會越快。

師：非常好。現在大家明白了吧，自行車里面的數學知識真是不少。

（六）作業設計

小明騎著他的自行車，前齒輪有48個齒，后齒輪有18個齒，車輪直徑為70厘米。假設他蹬一圈車輪轉了4圈，他騎了多遠？請計算出結果，并解答這樣的問題：如果前后齒輪的齒數不變，但車輪直徑增加到80厘米，蹬一圈車輪也轉了4圈，結果會怎樣變化？

【在設計作業時，教師要考慮學生的能力水平，并根據教學目標及內容進行合理的安排，確保作業有助于學生鞏固所學知識，并提高他們的學習興趣及思維能力。同時，教師應鼓勵學生將數學與實際生活聯系起來，培養他們的觀察力及解決問題的能力。】

三、課后反思

（一）優點

通過提問和討論，學生積極參與課堂，提高了他們的學習興趣和動手能力。通過展示自行車圖片和實物測量，學生更加直觀地理解了自行車的結構和原理。

通過實際測量和數據記錄，學生將理論知識應用于實際問題，提升了他們的理解和應用能力。

（二）需要改進的地方

1.課堂上有些環節的時間分配不夠合理，特別是在討論和測量環節，部分小組需要更多時間完成任務。下次可以控制時間分配，確保每個環節都能充分展開。

2.在匯報和總結環節，學生的反饋和總結有些簡單，部分小組的討論結果不夠深入。教師可以考慮增加引導性問題，幫助學生更好地總結和反饋。

編輯：溫雪蓮