新課標下小學數學“空間觀念”的培養和思考

【教學目標】

1.使學生結合具體的實例，探索并發現平面圖形按比例放大后面積的變化規律。進一步加深對圖形放大和縮小的含義以及比例意義的理解。

2.使學生經歷由特殊到一般的學習過程，進一步積累觀察、比較、分析、概括、歸納等活動經驗，感悟歸納的思想和方法，發展數學思考。

【教學重點】

引導學生通過觀察、比較，自主發現“如果把一個圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1”。

【教學難點】

能利用發現的規律解決實際問題。

【教學過程】

一、故事導入，設疑激趣

師：同學們，你們喜歡聽故事嗎？那么我們就來聽一個《阿凡提智斗巴依老爺》的故事。

播放短片：巴依老爺對阿凡提說：“你的土地這么肥沃，來年土地的租金得擴大5倍！”阿凡提沉思片刻，對巴依老爺說：“尊敬的巴依老爺，我答應你，不過土地得按3∶1的比放大。”巴依老爺一聽，暗暗得意：“好！好！就這么定了！”

師：到底誰占了便宜呢？誰來和我們說一說。

生1：把土地按照3∶1的比放大，面積會擴大9倍，而巴依老爺只把租金擴大了5倍，顯然阿凡提占了便宜。

生2：面積是32∶12=9∶1，阿凡提占了便宜。

……

師：看來，面積比與長度比有著密切的聯系。今天這節課，咱們就來研究面積的變化。（板書課題：面積的變化）

（反思：創設《阿凡提智斗巴依老爺》的故事，激發學生學習的積極性，喚醒學生強烈的參與意識。學生調用已有的知識儲備和生活經驗，能發現故事中暗藏的小秘密，從而為接下來探究圖形面積比與長度比之間的關系做鋪墊。）

二、探索長方形面積比與長度比的關系

（一）簡單入手，感知關系

師：數學研究一般從簡單入手，我們先來看一看這兩個長方形，它們的對應邊有什么聯系呢？（出示圖1）

生1：寬和長的比1∶3。

生2：長和寬都擴大了3倍。

生3：大長方形和小長方形對應邊的比是3∶1（板書：對應邊的比3∶1），大長方形是小長方形按照3∶1的比放大后得到的。（板書：按比例放大）

師：那它們的面積又有怎樣的聯系呢？你是怎么想的？

生1：用計算的方法。

師：那你來算一算。（出示圖2）你會用數字說話，真有數學的眼光。誰還有其他的方法嗎？

生2：邊長擴大3倍，面積擴大3的平方倍。

師：你知道的真多！那到底是為什么呢？今天我們就來一起研究。

生3：畫一畫：小長方形拼到大長方形中……

師：我猜你腦海里一定有了這樣一幅圖，看（出示圖3），是不是這樣？

畫一畫 分一分

師：除了結合數據、圖形，你還能結合長方形的面積公式說一說長和寬分別發生了怎樣的變化嗎？

生4：長方形的面積=長×寬，因數（長）和因數（寬）都擴大3倍，積（長方形的面積）擴大9倍。9÷3=3 3÷1=3或大長是小長的3倍，大寬是小寬的3倍……長的比3∶1，寬的比3∶1，3×3=9。

師：你能從長方形的面積公式入手，聯系以前學的積的變化規律，真會融會貫通！（出示圖4）

師總結：結合數據、圖形、公式推理我們都發現了當長方形對應邊的比是3∶1時（師邊指邊說），放大后和放大前長方形的面積比是（9∶1）。（板書：放大后和放大前面積的比9∶1）

師：仔細觀察3∶1和9∶1這兩個比，你又有什么發現呢？

生1∶9是3的平方倍，1是1的平方倍。

師：你找到了數據之間的聯系，數感真強！那誰再來用文字總結一下？

生2：如果把一個長方形按a∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是a2∶1。

師：你能結合字母式把你的發現說出來，真厲害！

（二）大膽猜想，細心驗證

師：是不是所有長方形按比例放大后面積比一定等于對應邊平方的比呢？感覺上是，能馬上下結論嗎？因此這只是我們的一個猜想！（板書：猜想）

師：接下來怎么辦呢？

生：舉例驗證。

師：你不僅說出了自己的想法，還把解決問題的方法告訴了大家，真不錯！

生：驗證。（板書：驗證）

師：怎么驗證呢？

生1：按照2∶1的比放大……

師：我知道你的意思了，你打算按照2∶1的比放大，再算一算是不是？

生2：我們可以把這個長方形按不同的比放大，看一看是否符合這個規律。

師：是啊，我們可以再舉些例子進行驗證。請大家完成研究單一（出示圖5）。

“面積的變化”研究單一

班級： 姓名：

我把長方形按（ ∶1）的比放大：

師：誰來和我們一起分享你舉的例子？

生1：把一個長方形按照幾：1的比放大，放大后與放大前面積的比是幾的平方比1。

師：數學講究簡潔美，誰能說得更簡潔一些？

生2：把一個長方形按照x∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是x2∶1。

師：剛才這位同學結合字母x把規律表示出來，非常簡潔明了！如果用字母n，誰再來說一說。

生3：如果把一個長方形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

師：你一下子就找到了關鍵，真是“火眼金睛”！

生總結：如果把一個長方形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

師：同學們，我們剛才通過舉例進行驗證，這些例子舉得完嗎？如果有“漏網之魚”，萬一有不符合規律的呢？想一想我們還有沒有其他的方法可以驗證。

生說師出示PPT（見圖6）。

師：結合字母式，你發現大長方形和小長方形的面積有什么關系呢？

生：把小長方形的長擴大n倍，寬也擴大n倍，面積就擴大n2倍。

師：（出示圖7）回顧我們剛才學習的內容，我們能舉例驗證，還能結合公式推理進行驗證，通過驗證我們就能總結規律（板書：總結），規律是什么？

生總結（師板書）：如果把一個長方形按n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

師：大家總結得真不錯！

（反思：結合算式、圖形、公式推理等多種方法，發現長方形對應邊和面積之間的聯系。接著學生觀察數據，發現面積比和長度比有著密切的聯系，進而提出猜想，并舉例進行驗證。舉例雖簡易但不能窮盡，教師繼續發問“是否有更嚴密的證明方法”，將學生的思維引向深入。有了前面多種證明方法的鋪墊，學生自然而然地想到能結合公式推理。通過嚴密的公式論證，學生不僅能總結規律，還能培養推理論證能力，鍛煉思維。）

三、探索其他平面圖形面積比與長度比的關系

（一）由長方形想到其他平面圖形

師：剛才我們研究的是長方形，接下來你打算研究什么？

生1：我打算研究圓。

生2：我打算研究平行四邊形、圓、梯形、三角形。

師：你一下子說了這么多，真是個愛探索的孩子。

生3：我打算研究正方形。

師：正方形是一個特殊的長方形，長方形的規律正方形也適用嗎？你可以探究一下哦。

生4：我打算研究不規則圖形。

師：你的想法真獨特！

（二）小組合作，驗證猜想

師：接下來，四人小組合作進行研究，在合作之前請聽活動要求。

活動要求：

1.每組任選一個圖形，研究按比例放大后面積比與對應邊的比之間的關系。

2.選擇舉例或結合公式推理驗證你們小組的猜想。

3.組內交流你的想法，記錄在研究單二上。

師：都討論好了嗎？哪一組上來匯報一下你們的研究成果？

預設1：

生1：選擇一個三角形用數據驗證。

師：你的例子舉得真好！請回座位，還有同樣選擇了三角形，但方法不同的同學嗎？

生2：結合公式推理。

師：解釋得很有條理！請回座位。

師：還有研究其他圖形的嗎？

預設2：

生1：我選擇圓，舉例驗證。

生2：我也選擇圓，結合公式推理驗證。

師：你們不僅會舉例，還能結合公式推理進行驗證，又聯系了比的基本性質的相關知識，很好。

剛才這3組同學分別研究了平行四邊形、三角形、圓，其他同學的研究和他們的發現一樣嗎？那現在，我們最終能得到什么結論呢？

師生共同總結并板書：把一個圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

（三）前后呼應，應用知識

師：回顧一下我們課前的小故事，這兩個人到底誰占便宜了呀？為什么？

學生回答后教師評價。然后說：巴依老爺最近正在修繕莊園，讓我們一起去看一看。（播放錄音）走進莊園，草地上有一個自動灑水裝置。我打算把灑水裝置的射程由3米擴大到6米，灑水面積將擴大幾倍呢？

學生回答后教師播放錄音：接著，請到我的房間來看一看。最初我給這間屋子鋪正方形地磚，正好需要100塊邊長40厘米的地磚。可是最近我打算把地磚的邊長調整為80厘米，現在需要多少塊呢？

學生回答后，教師總結：沒錯，邊長由40cm調整為80cm就擴大了2倍，因此面積就會擴大4倍，所以塊數就要用……

師：是啊！應用剛才的研究成果，我們還能解決實際問題呢！（板書：應用）

（反思：通過多組匯報，師生共同總結規律。學生掌握規律后，教師帶領學生回到課前小故事，利用今天學的知識，學生能高效地解決問題。接著教師讓學生繼續幫助巴伊老爺解決問題，有趣的故事吸引了學生的目光，一個又一個問題被學生一一破解，學生在歡笑中體會學習數學的價值！）

四、大膽猜測，遷移類推

師：根據這個結論，大膽猜一猜，還能提出哪些猜想呢？（同桌互相交流）

生1：把一個圖形按照1∶n的比縮小，縮小后與縮小前面積的比是1∶n2。

師：是啊，把比的前后項換個位置，又能說出一個不一樣的猜想。

生2：把一個圖形按照m∶n的比（放大/縮小）變化，變化后與變化前面積的比是m2∶n2。

師：你真厲害，提出了一個更普遍的猜想。

生3：把一個圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前體積的比是n3∶1。

師：你是根據面積這個詞想到了體積，真會聯想。

生4：把一個圖形按照1∶n的比縮小，縮小后與縮小前體積的比是1∶n3。

師：你能結合前面兩位同學的發言進一步提出猜想，真會學習！

生5：把一個圖形按照m∶n的比變化，變化后與變化前體積的比是m3∶n3。

師：這些都只是我們的猜想，接下來怎么辦？只有通過驗證我們才能總結規律。

（反思：教師讓學生大膽猜測，引導學生從面積想到周長，從平面圖形想到立體圖形。從二維教學聯想到一維和三維。教師從整體出發，讓學生的學習更加完整，感悟智慧的生長。）

五、總結提升

師：通過今天的學習，你有什么收獲呢？

生1：如果把一個圖形按照n∶1的比放大，放大后與放大前面積的比是n2∶1。

生2：我們要認真觀察、比較數據，才能發現規律。

生3：我們在探索規律的時候會經歷“猜想—驗證—總結—應用”這四個過程。

師總結：數學世界充滿了未知，希望同學們在今后的學習中，能多思多想，大膽猜測，細心驗證，得出結論，并應用到我們的日常生活中。

（反思：教師通過教學活動，讓學生充分體驗“猜想—驗證—總結—應用”這四個環節。學生不僅掌握了探索規律的一般方法，還學會了用數學知識解決實際問題。學生的科學素養得以形成，創新意識得以迸發，智慧得到了生長。）

編輯：曾彥慧

作者簡介：李瑩潔（1996—），女，本科，二級教師，研究方向：數學教學。