2024年高考數學新課標Ⅰ卷第16題的深度剖析和教學思考

［摘 要］ 文章從代數和幾何兩個視角對2024年高考數學新課標Ⅰ卷第16題的解法進行分析，提出注重試題研究，構建解析幾何問題的思維框架；注重多想少算，深化先幾何后代數的思維習慣；注意通性通法，強化解析化思維的主元優選意識.

［關鍵詞］ 高考數學；解析幾何；教學思考

真題再現

（2024年高考數學新課標Ⅰ卷第16題）已知A（0，3）和P

3，

為橢圓C：+=1（a>b>0）上兩點.

（1）求C的離心率；

（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程.

試題分析 試題以橢圓為載體，綜合考查橢圓的標準方程、橢圓的離心率、直線與橢圓的位置關系、三角形的面積公式、點到直線的距離公式等必備知識；著重考查直觀想象能力、數學運算能力等關鍵能力；突出考查理性思維等學科素養. 新課標Ⅰ卷調整了解析幾何題的位置，提高了試題的靈活性，減少了死記硬背和機械刷題的引導，鼓勵學生發散思維，打破唯一答案的限制.

解法分析

試題第（1）問體現了高考試題的“低起點”，突出對基礎知識的考查；試題第（2）問體現了高考試題的“多層次”，突出對理性思維的考查. 下文重在討論試題第（2）問的解法.

1. 視角1：代數主導

將幾何關系“△ABP的面積為9”轉化為代數關系的主要策略是：將兩點間的距離確定為三角形的“底”，另外一點到底邊的距離確定為三角形的“高”. 具體求解時可以直線PB為主導，即將直線PB的斜率作為主元設取未知數；也可以直線AB為主導，即將直線AB的斜率作為主元設取未知數；還可以直線AP為主導，即將點B的坐標作為主元設取未知數. 具體解法如下：

（1）“線切入”的主元選擇

解法1 將直線PB的斜率作為主元設取未知數.

若l的斜率不存在，則l：x=3，B

3，-

，PB=3，A到PB的距離d=3，此時S=×3×3=≠9，不滿足條件.

若l的斜率存在，設PB：y-=k（x-3），P（x，y），B（x，y）. 聯立直線l和橢圓C的方程，得y=k（x-3）

+，

+

=1，消除y得（4k2+3）x2-（24k2-12k）x+36k2-36k-27=0. 由韋達定理得

x

+x

=，

x

x

=，所以PB==.

又點A到直線PB的距離d=，所以S=··=9，整理得4k2-8k+3=0，解得k=或. 經檢驗，符合Δ>0. 所以l：y=x或y=x-3，即l：3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法2 將直線AB的斜率作為主元設取未知數.

若直線AB的斜率不存在，則B（0，-3），S=×6×3=9，符合題意，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0.

若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+3. 聯立直線AB和橢圓C的方程，得y=kx+3，

+

=1，消除y得（4k2+3）x2+24kx=0，解得x=0或x=.

令x=，則y=，B

，

，所以k==-，直線AP的方程為y=-x+3，即x+2y-6=0.

又點B到直線PA的距離d==，AP==，所以S=··=9，整理得2k=3. 所以k=. 經檢驗，符合Δ>0. 所以B

-3，-

. 所以直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

（2）“點切入”的主元選擇

解法3 將點B的坐標作為主元設取未知數.

設B（x，y），點B在橢圓C上，則+=1.

由已知得k==-，則直線AP的方程為y=-x+3，即x+2y-6=0. 所以點B到直線PA的距離d==.

因為AP==，所以S=··=9，整理得

x

+2y-6=12，則

x

+2y-6=12，

+

=1，解得

x=-3，

y

=-，或

x=0，

y=-3，即B（0，-3）或

-3，-

.

當B（0，-3）時，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0；

當B

-3，-

時，直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法4 將點B的坐標（橢圓的參數方程）作為主元設取未知數.

設B（2cosθ，3sinθ），其中θ∈［0，2π），同解法3一樣得到直線AP的方程為x+2y-6=0，所以點B到直線AP的距離d=. 又AP=，所以S=··=9，整理得

2cosθ+6sinθ-6

=12. 結合cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ

=-，

sinθ

=-或cosθ=0，

sinθ=-1.所以B（0，-3）或

-3，-

. 下同解法3.

2. 視角2：幾何主導

以“△ABP的面積為9”為幾何關系，其中A（0，3）和P

3，

是△ABP的兩個頂點，幾何主導視角，需要盡可能利用好已知定點A，P的信息. 若觀察到AP定長，則△ABP在邊AP上的高為定值，即點B的運動軌跡是與直線AP平行且距離為的直線，進而先求點B的坐標，再求直線PB的方程；若觀察到△AOP的面積為，即9的一半，則可用對稱性直接求出點B的坐標，再求直線PB的方程.具體解法如下：

解法5 以點B的運動軌跡為切入視角.

因為A（0，3），P

3，

，所以AP==，所以k==-，直線AP的方程為y=-x+3，即x+2y-6=0. 設點B到直線AP的距離為d，由S=

AP

·d=9，得d==.

將直線AP沿著與AP垂直的方向平移個單位即可得到滿足條件的點B的軌跡（如圖2所示）. 設點B的軌跡（直線）方程為x+2y+C=0，則=，解得C=6或C=-18.

當C=6時，聯立

+

=1，

x+2y+6=0，解得x=0，

y=-3或x=-3，

y=-，即B（0，-3）或

-3，-

.

當B（0，-3）時，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0；

當B

-3，-

時，直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

當C=-18時，聯立

+

=1，

x+2y-18=0，得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，該直線與橢圓無交點.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

解法6 以△APB與△AOP的面積關系為切入視角.

觀察可得△AOP的面積為，所以S=2S.

由圖3可知，點B所在的直線與直線PA關于坐標原點對稱.

因為點B在橢圓C上，所以由橢圓的對稱性可得點B的坐標為（0，-3）或

-3，-

.

當B（0，-3）時，直線l的方程為y=x-3，即3x-2y-6=0；

當B

-3，-

時，直線l的方程為y=x，即x-2y=0.

綜上所述，直線l的方程為3x-2y-6=0或x-2y=0.

教學思考

1. 注重試題研究，構建解析幾何問題的思維框架

解析幾何試題是溝通幾何與代數的重要學習媒介. 在教學中，教師應基于真題研究，從代數、幾何兩個角度引導學生積極思考，逐步形成思維框架，幫助學生積累數學活動經驗，并將這些經驗文本化. 圖4概括了上文所述的6種解法，提煉出“代數視角的主元選擇、幾何視角的經驗積累、代數與幾何匯集后的解題邏輯、目標關系出現后的問題求解”的幾何解答題的思維框架. 在教學中，教師要積極引導學生應用思維框架自主探索解題思路，學會科學思考.

2. 注重多想少算，深化先幾何后代數的思維習慣

“數”與“形”是解析幾何的本質體現，幾何是緣起，也是歸宿.在解析幾何問題求解過程中“代數好想不好算，幾何好算不好想”，教學要引導學生充分挖掘題目隱藏的幾何條件，努力實現代數表征的簡潔表達，以實現運算量的大幅降低. 因此，教學中要注重培養學生的作圖能力. 圖形是應用數形結合思想的基礎，也是培養學生幾何圖形分析能力的關鍵. 培養良好作圖能力后，選題要盡可能保障每個題目都能從幾何或代數視角進行求解，以深化“先幾何后代數”的思維習慣的培養.

3. 注意通性通法，強化解析化思維的主元優選意識

解析化思維作為解析幾何問題的通性通法，與運算能力緊密相關，指向學生數學運算素養的培養. 運算對象的明晰和運算程序的設計是影響解析幾何運算量的關鍵環節. 教學時要引導學生思考不同研究對象對應的不同變量的關系表征，初步判斷運算量的大小，進而篩選出運算量較小的解題思路. 因此，教師要不斷引導學生從主元的角度切入，培養學生優選主元的意識.