合理運用錯誤資源 提升學生思維品質

［摘 要］ 在“雙新”背景下，培養(yǎng)學生優(yōu)秀思維品質已成為高中數(shù)學教學的熱點話題. 在教學中，教師要充分理解培養(yǎng)學生思維品質的重要性和必要性，引導學生親歷糾錯、專題訓練、反思總結等活動，并結合學習中存在的問題給予科學的啟發(fā)和指導，以此幫助學生逐步完善知識體系，培養(yǎng)學生優(yōu)秀的思維品質，提升課堂教學有效性. 研究者以函數(shù)教學為例，將函數(shù)學習中的易錯點、重點和難點與學生的思維品質聯(lián)系在一起，提高學生邏輯思維的嚴謹性，提升學生的數(shù)學能力.

［關鍵詞］ 錯誤資源；思維品質；啟發(fā)；指導

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）著重強調培養(yǎng)學生理性思維、批判質疑、勇于探究的科學精神. 為此，教師在教學中需重視培養(yǎng)學生的批判性、嚴謹性和創(chuàng)新性思維品質. 人們常說“數(shù)學是思維的體操”，培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質既是新課標的要求，又是發(fā)展學生的必經(jīng)之路，學生數(shù)學思維品質的優(yōu)劣直接影響著學習效果和教學質量. 在教學中，教師既要重視知識的講授，又要重視學生思維品質的培養(yǎng)，激發(fā)學生學習內驅力，促進學生全面發(fā)展. 邏輯思維嚴謹，解題框架明確，條件清晰、論證嚴謹、結論明確，分類討論不重復、不遺漏，這些正是提高學生解題準確率的關鍵. 無論從教的角度來看，還是從學的角度分析，課堂教學中都應重視學生思維品質的培養(yǎng). 由于高中階段是培養(yǎng)學生思維品質的關鍵時期，因此教師在教學中要合理安排教學活動，預留時間和空間讓學生思考與交流，以此鍛煉學生的理性思維，培養(yǎng)學生良好的學習習慣和優(yōu)秀的思維品質. 筆者將函數(shù)教學與培養(yǎng)學生思維品質相結合，巧妙地應用學習中存在的問題培養(yǎng)學生思維的嚴謹性、批判性和變通性.

在求函數(shù)定義域的3d72dc427bc90394e180b2e13bfaa244ac23521080c140bd77aba73de751980a過程中培養(yǎng)思維品質

函數(shù)的定義域是函數(shù)三要素之一，其直接影響著函數(shù)最值、單調性、奇偶性等各個方面. 由于函數(shù)的定義域看似簡單，因此未引起學生高度重視，導致學生在解題中誤入歧途，最終影響了解題效果. 因此，在函數(shù)教學中，教師應重視函數(shù)定義域對解題的影響，并培養(yǎng)學生思考問題的深度，以提升學生的解題能力.

例1 函數(shù)f（x）=+lg的定義域為______.

本題考查的是對數(shù)和分式等相關知識，題目難度不大. 要使解析式有意義，則

>0，

4-x ≥0，

x≠3，得到答案為（2，3）∪（3，4］. 不過，從學生解題反饋來看，該題準確率未達預期. 分析學生出錯的原因不難發(fā)現(xiàn)，他們忽視了分式有意義的條件“x≠3”而得到錯解（2，4］. 面對學生的錯誤，23553e4280d141930472564d0da2f9869063d7ab43bd75cf83b51a20df8eaa37教師并沒有急于糾正，而是讓給出錯解的學生呈現(xiàn)其解題過程.

生1：==x-2>0，所以x>2. 又4-x≥0，所以x≤4. 所以函數(shù)f（x）的定義域為（2，4］.

師：是嗎？當x-3作為分母時，需要滿足什么條件？

此時學生恍然大悟，訂正了錯誤. 教師讓學生分析錯因，有的學生說是粗心大意造成的，有的學生說解題時忽視了分式有意義的條件，直接約分除掉了分母，從而引發(fā)了錯誤……那么，出現(xiàn)上述錯誤的根源到底是什么呢？筆者認為，主要源于兩點：一是學生對基礎知識的掌握不扎實，二是學生的思維嚴謹性不足. 基于上述情況的發(fā)生，教師在教學中應注意以下幾點.

首先，在備課階段，教師作為課堂的組織者和主導者要精心備課，挑選一些易錯題設“陷阱”，誘導學生犯錯，讓學生分析錯因并找到行之有效的解決策略，以此逐步完善認知體系，培養(yǎng)思維的嚴謹性.

其次，在課堂上，教師不要急于給出結果，而要提供機會給學生思考，并引導學生分析問題的真正成因，以此及時調整教學策略，幫助學生排疑解惑. 值得注意的是，教師面對學生錯誤時，不急于糾正，而是與學生共同見證錯誤，通過啟發(fā)點撥讓學生自主發(fā)現(xiàn)錯誤. 親歷析錯、糾錯過程，學生能獲得清晰認識，有效避免錯誤再犯. 另外，教師要將主動權交給學生，使課堂活躍起來，提高教學效果.

最后，教師要鼓勵學生反思總結，并輔導個別學生，幫助學生掃清障礙，加深理解，促進全員發(fā)展教學目標的落實.

當然，在教學中，若預想錯誤未發(fā)生，表明學生思維嚴謹. 教師可引導學生總結解題注意事項，通過正向強化夯實基礎，培養(yǎng)嚴謹思維，增強解題信心.

例2 函數(shù)f（x）=logx2-log（2-x）的定義域是______.

該題難度不大，易得x2>0，

2-x>0，解得x<2且x≠0，即函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，2）. 該題看似簡單，但出現(xiàn)的錯誤卻不少，教師重點呈現(xiàn)一個比較隱蔽的典型錯誤.

師：大家看一下，這樣求解對嗎？（教師投影展示部分學生的解題過程）

f（x）=logx2-log（2-x）=logx-log（2-x）=log，由>0得0<x<2，所以函數(shù)的定義域為（0，2）.

解題過程給出后，教師讓學生以小組為單位進行討論、辨析，很快學生就發(fā)現(xiàn)了問題的癥結.

生2：若公式logaMn=nlogaM成立，則M>0. 顯然這個解題過程忽視了這一限制條件，所以出現(xiàn)了錯誤.

師：非常好，我們在應用公式解決問題時，切勿忽視其使用條件.

在上述兩個案例的教學中，教師以發(fā)展學生為導向，鼓勵學生自主學習和合作學習，讓學生在思考與交流中主動發(fā)現(xiàn)錯誤、提出錯誤、糾正錯誤，通過經(jīng)歷析錯、糾錯過程深刻且全面地理解知識，培養(yǎng)思維的嚴謹性. 另外，在教學過程中，教師要提供時間讓學生思考和反思，并鼓勵學生歸納總結隱含條件和易錯“陷阱”，以此提高解題準確率.

在解決抽象函數(shù)不等式問題時培養(yǎng)思維品質

抽象函數(shù)不等式問題是高考的重要考點，也是求解難點. 之所以說抽象函數(shù)不等式問題比較難，是因為其涉及的知識點較多，對學生思維能力的要求較高.

例3 已知f（x）是定義在［-2，3）上的增函數(shù)，且f（）<f（），則實數(shù)a的取值范圍是______.

該題看似不難，但涉及的知識點較多，如函數(shù)的定義域、單調性，以及解不等式組等. 歷屆學生反饋該題解答正確率不高，很多學生因為沒有理解抽象函數(shù)的定義域而無從入手. 基于此，為了降低思維難度，增強學生解題信心，教師沒有急于讓學生直接解題，而是互動交流抽象函數(shù)定義域的求解方法，再讓學生解答例3.

教師呈現(xiàn)學生的解題過程，并讓學生自我反思，歸納總結如下問題：①解題時忽略了抽象函數(shù)的定義域限制，出現(xiàn)了不等式羅列不全的情況；②計算能力不強，雖然列出了不等式組，但運算錯誤導致全盤失敗；③缺乏變通性，不能根據(jù)客觀條件的變化而改變解題策略.

教師有必要詳盡剖析學生的解題問題，引導學生歸納總結各類函數(shù)的定義域，并給出相應練習強化訓練，以此加深學生的理解，逐步完善學生的知識體系，提高學生的數(shù)學應用水平，培養(yǎng)學生思維的深刻性和嚴謹性. 對于運算錯誤的情況，教師讓學生進一步分析出錯原因，示范正確的解答過程，并要求學生以小組為單位，通過自主選題的方式進行專項訓練，以此培養(yǎng)學生的運算能力，提高解題準確率. 這樣結合學生的解題問題進行針對性訓練，定能讓學生形成深刻的認識，可以有效地減少或規(guī)避同類錯誤的發(fā)生，提高解題效率，改善學生思維的敏捷性和嚴謹性.

在教學中，教師要利用專項訓練，通過反復、針對性的練習夯實基礎、深化理解、積累經(jīng)驗，幫助學生在解決相似問題時快速形成解題思路，增強信心，培養(yǎng)思維嚴謹性.

在探索復合函數(shù)單調性的過程中培養(yǎng)思維品質

復合函數(shù)y=f［g（x）］由y=f（u）和u=g（x）兩個簡單的函數(shù)復合而成，學好復合函數(shù)對深化函數(shù)概念、發(fā)展思維嚴謹性都有非常重要的意義. 不過，教材對復合函數(shù)的介紹不全，盡管教師在教學中通過習題進行了重點講解，但學生在解決這類問題時仍感到困惑. 基于此，教師應帶領學生系統(tǒng)梳理相關知識、方法和經(jīng)驗，幫助他們克服這一難題，培養(yǎng)他們良好的思維品質.

例4 函數(shù)f（x）=log（x2+2x-3）的遞增區(qū)間是______.

本題是一個復合函數(shù)問題，其主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)和復合函數(shù)“同增異減”的性質等相關知識. 根據(jù)已知易得x2+2x-3>0，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（1，+∞）. 令t=x2+2x-3，則當x∈（-1，+∞）時，t=f（x）為增函數(shù)；當x∈（-∞，-1）時，t=f（x）為減函數(shù). 又y=logt在定義域上是增函數(shù)，由復合函數(shù)“同增異減”的性質可知，函數(shù)f（x）=log（x2+2x-3）的遞增區(qū)間為（1，+∞）.

例4的難度不大，但綜合性較強，學生或不理解復合函數(shù)“同增異減”的性質，或沒有掌握“函數(shù)的單調區(qū)間在定義域內”這一限制條件，導致解題時或無從入手，或出現(xiàn)各種各樣的錯誤. 在教學中，教師針對學生的問題，深度剖析復合函數(shù)“同增異減”的性質，以及函數(shù)的定義域和單調性，助學生掃除知識障礙，找到解題突破口. 在此基礎上，教師結合教學實際進行變式訓練，以此加深學生對知識的理解，幫助學生積累解題經(jīng)驗，提高學生思維的批判性和嚴謹性. 解題后，教師以抽象函數(shù)和復合函數(shù)為背景，設計綜合性練習，以此拓展學生的思維.

例5 已知函數(shù)f（x）是定義在［-4，4］上的奇函數(shù)，且對任意x，x∈［0，4］都有<0，則函數(shù)y=f（x2+4x-1）的遞減區(qū)間是______.

該題的綜合性較強，若學生能夠順利解決問題，既體現(xiàn)學生具有扎實的基本功，又體現(xiàn)學生良好的思維嚴謹性. 在解題過程中，當學生遇到阻礙時，教師要有意識地帶領學生將陌生的問題拆分成他們熟悉的，以此通過緩坡度的問題幫助學生消除阻礙，引導學生找到解決問題的突破口；當學生掌握基礎知識、基本經(jīng)驗和基本方法后，教師又要有意識地帶領學生綜合問題，以此提高學生綜合應用能力，培養(yǎng)學生良好的思維品質.

結束語

學好數(shù)學離不開學生思維品質的培養(yǎng). 教師作為課堂教學的組織者和引導者，肩負著培養(yǎng)學生思維品質的重任. 然培養(yǎng)學生的思維品質不是一朝一夕就能實現(xiàn)的，也不是靠灌輸就能達成的，而需要在日常教學中不斷地滲透. 函數(shù)教學作為高中數(shù)學教學的重點內容，其貫穿高中數(shù)學教學始終，因此其自然成了培養(yǎng)學生思維品質的重要素材. 在函數(shù)教學中，教師要充分地利用好學生在學習中出現(xiàn)的各種錯誤資源，以期借助錯誤，誘發(fā)思考，培養(yǎng)學生良好的思維品質.

在教學中，教師要正視錯誤、尊重錯誤. 當學生在解題中出現(xiàn)問題時，教師不要急于評價，應預留時間讓學生去思考、去探索，自主尋找思維中存在的漏缺，并采用有效措施進行針對性修補，規(guī)避同樣錯誤再次發(fā)生，以此培養(yǎng)學生良好的思維品質.

另外，教師作為一線工作者，要充分認識到培養(yǎng)學生思維品質的重要性和必要性，并基于本班學情創(chuàng)設針對性訓練，以此幫助學生消除困惑，掃清障礙，逐步完善認知體系，提高數(shù)學應用能力. 當然，為了更好地組織教學，教師要吃透教材，精心挑選練習，充分預設學生在學習中可能出現(xiàn)的各種問題，嚴格把關解題步驟，以此幫助學生形成正確的解題策略，逐步改善學生的思維品質.

總之，在高中數(shù)學教學中，教師要重視培養(yǎng)學生優(yōu)秀的思維品質，充分挖掘并合理利用課堂教學中的各種錯誤資源，以此增強學生的學習動力，夯實基礎，讓學生學會思考、學會探索、學會學習，促進學生全面發(fā)展.