核心素養背景下過程性教學的實踐與研究

［摘 要］ 近年來，隨著信息技術的發展，心理學與數學學科飛速崛起，掀起了新一輪的數學課程改革熱潮. 過程性教學在這種背景下應運而生，研究者以“兩角差的余弦公式”教學為例，分別從以下四方面展開教學與分析：創設情境，感知知識形成過程；由“根知識”，揭露結論探究過程；延遲判斷，展示學生的思維過程；關注小結，暴露學生的反思過程.

［關鍵詞］ 核心素養；過程性教學；課程改革

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）提出：數學教學以發展數學核心素養為目標，該目標在教學活動的開展與知識的應用過程中逐步形成與發展而來. 自此，過程性教學成了教育界熱議的焦點. 實踐證明，過程性教學是落實核心素養的基礎，需教師結合學情與教情創設具有一定創新意義的活動，讓學生從實際問題中抽象出數學模型，并應用邏輯推理解決問題，獲得思考與分析問題的能力. 本文以“兩角差的余弦公式”為例，具體踐行過程性教學.

創設情境，感知知識形成過程

新課標指出，數學教學應注重培養學生的數學核心素養，通過合理的情境設置激發學生思維，促進他們深入理解數學知識. 過程性教學依賴于情境的運用，這些情境應基于知識的發生和發展來設計. 過程性教學能讓學生體驗到數學學習是一件輕松、愉悅、自然、親切的事情，并能從情境體驗中自主提煉數學思想方法，為形成良好的數學能力奠定基礎.

實踐表明，僅僅依賴教材進行“注入式”教學會使學生感到數學枯燥. 相反，根據學生的認知、心理和學習偏好設計情境，讓學生經歷觀察、猜想和驗證，有助于他們清晰理解知識的形成和發展.

教學“兩角差的余弦公式”，若從開門見山到直接挑明向量的數量積問題，再到直接呈現或推導公式，帶給學生的學習體驗就是：這個公式純屬“副產品”，并沒有太多實際意義，而且得來也不費勁，沒有必要深入研究. 至于“為什么要探索該公式？”“怎樣想到向量法的？”這些都無法呈現出來.

顯然，上述教學流程并不能滿足學生思維發展的實際需要，學生若對公式沒有做到“知其然且知其所以然”，在應用時難免出現各種問題. 為此，筆者從學情與公式特點出發，借助學生熟悉的三角板作為課堂情境素材.

活動要求：取出課前準備好的一副三角板，將手中的兩個三角板拼接一起，形成各種度數的角.

問題1 一副三角板可以拼出哪些度數的角？每個拼接而來的角具備哪些特點？

生：可以拼成90°，75°，15°，120°…的角，拼接而來的每一個角的度數都是15°的倍數.

問題2 有沒有辦法求出拼接而來的所有角的余弦值？

問題3 從最基本的角開始分析，思考cos15°的值是多少.

教學分析 課堂開始，根據學生情況和知識特性創設情境，遵循特定流程：數學工具引出課題—動手操作—提問討論. 即將學生所熟悉的三角板作為情境素材，帶領學生沿著知識形成的過程搭建思維“腳手架”. 學生親歷操作，可調動學習參與的積極性，感知15°角的由來，如用45°角減掉30°角，為后續求cos15°的值時，將問題轉化為cos（45°-30°）做鋪墊. 設計后兩個問題旨在引起學生認知沖突，使他們意識到無法直接得出結論，從而激發其內在學習需求，產生探究欲和學習動機，為后續學習打下情感基礎.

值得注意的是，該情境雖然揭露了15°角的由來，但接下來的探索必然碰到一些未知的新問題，教師應帶領學生正視新的問題，激發學生的挑戰欲，構建以學生為中心、鼓勵積極思維的教學模式，這對發展學生的數學創新意識、思維能力、推理能力等具有重要意義.

由“根知識”，揭露結論探究過程

“根知識”屬于對上、下位學習原理形象化的表達方法，指學生原有的認知結構，即在新知學習前，學生掌握了的與新知相關的知識、解題方法、思路與策略等. 任何數學知識都不是孤立存在的，每項知識都有屬于它的應用范圍，知識間又存在一定的內在聯系，且每項新知的產生都源于舊知.

為了有效揭露數學結論是怎么形成的，尤其是一些特殊化的結論，教師可從學生的“根知識”出發，充分了解學生已有的認知水平與學習經驗，以此為基礎設計探究活動，能更好地激發學生的潛能，讓每一個學生都能在探究過程中獲得長足進步.

接著上述教學環節來看，教師拋出“求cos15°”的問題，對學生而言這是一個處于未知領域的問題. 因此，接下來教學應基于學生的“根知識”進行，幫助他們深入理解cos15°的結論.

問題4 之前大家接觸過一些特殊三角的函數值，還記得當時是怎樣獲得這些值的嗎？（借助單位圓求解）

師：求cos15°的值，能否采用之前的方法呢？請大家嘗試用三角板拼出15°角，并將其置于單位圓內，以小組合作交流的方式探討cos15°的值.

問題5 觀察圖1，能收獲什么？

面對上述問題，學生運用所掌握的知識進行分析：因為=（cos45°，sin45°），=（cos30°，sin30°），·=1·1·cos（45°-30°）=cos15°，·=cos30°cos45°+sin30°sin45°，所以cos15°=cos30°cos45°+sin30°sin45°=.

問題6 能否獲得cos（120°-45°）的值？

對學生而言，問題4、問題5的探索為問題6的解決奠定了思維與方法基礎，結合問題4、問題5的探索策略，學生迅速利用單位圓和向量數量積進行類比分析，獲得cos75°的值.

當學生探索出上述幾個問題的結論后，經討論，總結出兩個特殊情況下的兩角差余弦公式：cos（45°-30°）=sin30°sin45°+cos30°cos45°，cos（120°-45°）=cos45°cos120°+sin45°sin120°.

教學分析 學生在探索和交流中學會了從無知到有知，從不會解決問題到主動尋找解決方案，這標志著學力的提升，并為學習其他知識提供了方法. 對于問題4與問題5的設計，均以“根知識”作為思維基礎，揭露了cos15°的求解過程. 其中，單位圓與向量數量積都是學生的知識基礎. 基于學生的知識體系探索新知，從建構主義理論來說再合適不過了. 學生的認知結構是探索未知的強大工具，一旦確定了探索方向，問題解決便順理成章.

陶行知先生提出：知識的學習應將學生已有的學習經驗作為學習的“根”，由經驗而獲得的知識作為學習的“枝”，其實別人已有的知識也能成為促進我們學習的依據. 筆者在本節課采用過程性教學設計，以學生的“根知識”為基礎，幫助學生構建新舊知識間的聯系，讓學生從深層次理解、感受與內化新知，逐漸完善認知結構，體驗學習帶來的愉悅，為樹立正向的數學觀奠定基礎.

延遲判斷，展示學生的思維過程

課堂中常存在這樣一種現象：教師利用一切時間授課，盡可能為學生多講幾道題目，但學生只能就題論題，遇到實際問題時只會依葫蘆畫瓢，無法從真正意義上理解解題的核心思想，更談不上舉一反三. 究其主要原因在于學生沒有吃透解題方法，沒有認清問題本質，無法觸類旁通.

為了改變這一現狀，教師在解題教學中應改變觀念，注重“少而精”，而非“講得多”，為學生創造更多獨立思考和合作的機會，鼓勵他們親自參與探究，創造積極的探索體驗，實現深度學習. 延遲判斷能給學生提供寬闊的交流與展示平臺，讓學生感知問題本質與核心.

問題4至問題6的解決，使學生總結出兩個公式. 為加深學生的理解，教學應圍繞將未知轉化為已知、提高知識實用性等策略進行.

問題7 這兩個式子的提煉給我們后續解決實際問題奠定了基礎，如果要將它們推廣應用，該如何一般化呢？

有的學生提出猜想：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ. 為了驗證這個猜想是否正確，教師帶領學生操作幾何畫板，通過變化α，β的值，讓學生直觀感知cos（α-β）與cosαcosβ+sinαsinβ的關系. 通過數據來看，不論α，β的值如何變化，cos（α-β）與cosαcosβ+sinαsinβ始終是相等的.

問題8 幾何畫板雖然表明它們恒等，但怎樣推理證明呢？

結合類比思想，依然借助單位圓與向量數量積來分析：如圖2所示，因為=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），·=1·1·cos（α-β），·=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

雖然α-β不一定是向量與的夾角，但余弦函數是周期為2π的偶函數，可斷定α-β的余弦值必然與這兩個向量夾角的余弦值相等，因此α，β可為任意角.

教學分析 此環節，教師若急于求成，直接將兩角差的余弦公式與證明展示給學生，學生雖然有所收獲，但實際應用時則會出現各種問題. 延遲判斷方法，將學生置身于探索過程中，可讓學生一直處于積極思考的狀態. 因此，延遲判斷讓學生通過猜想和驗證來體驗向量與三角函數的聯系，這對提高他們的歸納和類比能力很重要.

過程性教學告訴我們，數學教學嚴禁將知識“灌輸”給學生，教學中應避免過早評價，特別是在介紹新概念、定理或公式時，應推遲結論，給予學生足夠時間思考，以展現思維過程，促進學力提升.

關注小結，暴露學生的反思過程

課堂小結是一節課的點睛之筆，師生通過小結可檢驗課堂教學是否達到了既定的教學目標. 然而，部分教師將課堂小結視為一個可有可無的環節，認為它只是在形式上走過場，這導致每節課的小結都大同小異. 殊不知，真正意義上的課堂小結應是豐富多彩的，是課堂的亮點之一，也是暴露學生反思過程的重要手段. 尤其是過程性教學背景下的課堂小結，需突出教學重點與難點，還要帶領學生梳理知識點、數學思想方法、證明思路等，這些都是發展數學學科核心素養的基礎.

本節課，可從以下三點進行小結：①要求學生說說探究公式的一般過程（特殊→猜想→證明）；②說說公式應用的注意事項；③變換公式中角的形式，如β=-α，可得什么結論？

教學分析 學生對公式探究歷程的回顧，是掌握一般方法的過程，對培養學生的探究與反思習慣具有重要意義；注意事項的總結，回歸到公式本身，關注公式特點，為具體應用奠定基礎.

總之，過程性教學符合新課程改革，幫助學生清晰理解知識的形成和演變，確保他們不僅知道是什么，還明白為什么. 在實際應用時，教師應致力于探索與創興的模式，創設學生感興趣的情境與合理的問題，引發學生主動探究與合作交流，讓學生自主發現知識本質與探索規律，此為發展數學學科核心素養的根本.