經歷探究過程，深刻理解定理

［摘 要］ 教學“平面向量基本定理”時，教師需要明確教學目標，結合學情確定教學策略，制定課堂教學方案. 通過整體采用“情境設問、體驗探究、過程引導”的教學方式，讓學生經歷探究過程，深刻理解定理.

［關鍵詞］ 平面向量；基本定理；教學探索

數學定理在高中數學中十分常見，涉及方程、不等式、函數、圓錐曲線等知識模塊. 教學大綱強調定理教學，要求教師在教學中揭示定理的生成與發展. 對此，教師可運用“知識探究”模式，設計活動讓學生自主研究定理生成過程，感悟思想內涵. 下面本文解讀“平面向量基本定理”章節，探索教學方案.

關于定理的教學解讀

“平面向量基本定理”是高中數學的重要章節，其知識核心揭示了平面向量間的基本關系，為后續向量研究奠定基礎，其中的轉化思想是高中學習重點，能提升學生的核心素養.

充分研讀教材內容，分析學情后，可以發現該知識板塊有兩大教學難點：一是雖然學生之前學過平面向量的概念、線性運算、數量積等知識，但對向量關系的理解依然停留在“一維”層面，即只知道簡單的“相等”“相反”“共線”等，對平面向量基本定理所描述的“二維”層面較陌生；二是平面向量基本定理涉及線性運算，其運算過程類似于“分解”，其概念相對抽象，學生難以理解把握.

針對上述學情，教學中教師需要慎重處理，可采用“情境設問、體驗探究、過程引導”的教學方式來引導學生逐步探索. 教師先合理設計情境問題，即構建與學生聯系緊密或學生較熟悉的問題情境；然后設計多樣的探究活動，引導學生通過觀察歸納總結定理，并在這一過程中充分利用信息技術的便利優勢呈現分解過程，幫助學生直觀理解定理.

教學需要注意兩點，一是合理設問引導，啟發學生思考，推進課堂；二是重視定理發現與證明，滲透思想方法，有機結合核心素養.

關于定理的教學構建

“平面向量基本定理”教學分為三大環節：情境引入、探索生成和運用強化.

環節1 情境引入，帶來思考.

該環節是關于平面向量基本定理的課堂引入，難點是學生對“二維”知識較陌生. 教師可用“力的分解”設計問題情境引導學生思考.

教學預設：物理學中，受力分析是解題的關鍵，力的分解是核心方法. 分解過程需結合情境變化. 圖1①中的物體放在光滑的水平面上，圖1②中的物體放在光滑的斜面上，兩個物體均受到同等拉力F的作用（假設拉力方向與接觸面不平行）.

思考1：試運用物理知識合理分解拉力，應如何作圖？保留作圖過程.

思考2：大家在分解拉力時使用了怎樣的向量運算法則？請加以說明.

教學引導：引導學生回顧運用物理知識分解力的規律法則，得出圖2所示的方案. 學生需要關注兩點：一是分解的方向性；二是分解后力的大小（用長度表示）.

教學說明：將力的分解引入課堂，貼近學生生活，助其理解定理實際背景. 后續可用類比法，將“力”替換為“向量”. 思考平面內兩非零向量是否可在對應平面內分解，實現課堂過渡.

環節2 情境探究，生成定理.

該環節探究平面向量基本定理的概念生成，建議類比力的分解，引導學生分解向量，并利用信息技術展示同一平面內向量不同分解方案的過程.

（1）情境探究

教學預設：選取平面內的任意兩個不共線的向量e1，e2，假設向量a與e1，e2都不共線，試將a按e1，e2的方向分解，如圖3①所示.

活動探索：如何按指定方向分解不共線向量？請各小組思考方案.

設問：若在平面內任取一點O，作=e1，=e2，=a，將a按e1，e2的方向分解，如圖3②所示，你發現了什么？

教學引導：先讓學生分組探究思考，互相交流成果后進行教學引導. 教學引導分兩步進行：

第一步，以向量a為對角線，根據e1，e2所在直線作平行四邊形，用平行四邊形法則找到向量a在e1，e2方向上的分向量，如圖4所示.

第二步，根據共線向量定理，將兩個分向量分別寫成λe1，λe2的形式，其中λ，λ都是確定且唯一的實數，則a=λe1+λe2.

在此基礎上，學生進一步思考兩個問題：①當a是零向量時，a還能用a=λe1+λe2表示嗎？②若向量a與e1或e2共線，則a=λe1+λe2還成立嗎？學生獨自驗證兩種特殊向量表示的可行性，加深知識理解.

（2）定理生成

完成上述探究后，教師借助信息技術，直觀展示同一平面內任意向量a關于e1，e2的分解過程，如圖5所示.

思考：對比力的分解過程和向量的分解過程，可以發現什么共同特點？

教學引導：學生歸納概括共同特點，即給定兩個“方向”，就能夠分解向量，并且這種分解方式是唯一的，同時明確為兩個“不共線的向量”. 在此基礎上給出平面向量基本定理，同時解釋定理中的三大要點：不共線、存在性、唯一性.

教學說明：該環節包括情境探究和定理生成，兩者結合實現定理由實際向數學的轉化. 整個過程融合活動探究、設問引導、信息技術展示，通過敘述和解釋，引導學生深入思考.

環節3 初步應用，知識強化.

前面兩個環節通過實例和數形結合生成平面向量基本定理. 本環節指導學生初步應用，強化知識. 問題設計應難易適中，適度拓展.

問題1：同一平面內基底唯一嗎？基底中允許有零向量嗎？

問題2：如圖6所示，AD是三角形ABC的中線，試用，表示；若E是線段BC上靠近B的三等分點，試用，表示.

教學引導：問題1是關于平面向量基本定理的進一步抽象概括，問題2則是關于平面向量基本定理的初步應用，兩個問題旨在讓學生明晰平面向量基本定理的本質與內涵. 對于問題2，學生通過幾何解析，結合平面向量基本定理，可得=+，=+.

問題3：觀察=+與=+中兩基底的系數，你發現了什么？再分別觀察B，C，D，以及B，C，E的位置關系，你又發現了什么？試討論并總結你的發現.

探究：若在直線BC上有一點M，滿足=t（t∈R），試用，表示.

教學引導：學生進一步探究平面向量基本定理中的共線情形，得到=（1-t）+t，生成三點共線結論（若點A，B，C三點共線，且滿足=t（t∈R），點P是平面上的任意一點，則=（1-t）+t成立）.

教學說明：該環節深入解讀定理，提供應用指導，有助于學生理解和掌握. 在教學中，教師應注重定理辨析和思維引導，使學生明確平面向量基本定理的應用性質. 引出向量共線定理的目的是讓學生體會向量共線定理與平面向量基本定理之間的聯系.

關于定理教學的思考

在定理教學中，教師需要圍繞“理解”開展教學設計，編排課堂環節，進行理解性探究，關注學生的理解能力，引導學生理解性學習. 新課標要求教師關注學生的思維發展，并以學生為主體開展教學探究. 在平面向量基本定理的探究中，教師以物理學對力的研究作為課堂引入，逐步講解向量分解，結合圖象探索定理. 整個過程充分調用有效資源，幫助學生理解定理，把握本質內涵.

定理教學過程包含三個環節：一是情境創設，二是定理探究，三是定理應用. “定理探究”是核心環節，教師需創設問題情境促進師生互動，讓學生經歷發現、猜想、歸納、總結定理的過程，理解定理條件與結論之間的關系，發掘定理內涵.