基于直觀想象能力發(fā)展的立體幾何教學(xué)研究

［摘 要］ 幾何直觀感知是形成與發(fā)展理性思維的基礎(chǔ)，而理性思維的形成與發(fā)展又是催生空間想象力的關(guān)鍵，直接影響直觀想象能力的發(fā)展. 因此，幾何教學(xué)對(duì)提升學(xué)生直觀想象能力至關(guān)重要. 研究者以“直線與平面垂直的判定”為例，從教學(xué)分析、教學(xué)過(guò)程與教學(xué)思考三方面，探究直觀想象能力在立體幾何教學(xué)中的發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 直觀想象；幾何教學(xué)；線面垂直

直觀想象是指通過(guò)幾何直觀與空間想象來(lái)感知事物具體的形態(tài)與變化，用圖形理解并解決問(wèn)題的過(guò)程. 高中階段的立體幾何教學(xué)側(cè)重分析事物的空間形態(tài)、位置關(guān)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過(guò)直觀感知和推理論證探索空間圖形，以發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間想象素養(yǎng). 究竟該如何實(shí)施立體幾何課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力呢？

教學(xué)分析

1. 問(wèn)題分析

學(xué)生在本節(jié)課前接觸過(guò)線線垂直，掌握了直線與平面平行的定義與性質(zhì)，并有操作、觀察、抽象、總結(jié)等學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 因此，學(xué)生具備一定的幾何直觀、空間想象和推理論證等能力，且對(duì)直線與平面垂直有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn). 但在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，仍存在一些共性問(wèn)題：

（1）通過(guò)折紙活動(dòng)抽象直線與平面垂直的判定定理，理解定義中的“任一條直線”和判定定理中的“兩條相交直線”的內(nèi)涵，用“有限”替代“無(wú)限”，讓不少學(xué)生感到困惑.

（2）學(xué)生雖然具備一定的空間想象與推理論證能力，但都不夠成熟. 在直線與平面垂直的定義與判定定理的研究中，學(xué)生無(wú)法靈活選擇平面內(nèi)的兩條相交直線來(lái)推導(dǎo)直線與平面的垂直關(guān)系. 同時(shí)對(duì)于證明直線與直線垂直，選取與直線垂直的平面作為輔助也沒(méi)有清晰思路.

從上述問(wèn)題來(lái)看，可確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)在于：探索并抽象直線與平面垂直判定定理，實(shí)現(xiàn)定義與判定定理在解決線面垂直問(wèn)題時(shí)相互轉(zhuǎn)化.

2. 條件分析

支持本節(jié)課教學(xué)的工具有多媒體課件、表示直線的鉛筆、表示平面的課本、三角板和彩色三角形卡紙.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 提煉定義

（1）聯(lián)系生活，提出問(wèn)題

課堂伊始，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧直線與平面平行的相關(guān)知識(shí)與研究方法. 展示升國(guó)旗的圖片，要求學(xué)生說(shuō)一說(shuō)旗桿與地面存在怎樣的位置關(guān)系. 基于學(xué)生回答，要求學(xué)生自主分析直線與平面垂直的定義.

設(shè)計(jì)意圖 舊知回顧為新知探索奠定方法基礎(chǔ)，學(xué)生通過(guò)觀察現(xiàn)實(shí)生活圖片，初步感知直線與平面的垂直關(guān)系，并在好奇心的驅(qū)使下，積極參與本節(jié)課探索活動(dòng). 這是一個(gè)承上啟下的引入環(huán)節(jié)，揭露本節(jié)課的研究主題.

（2）活動(dòng)探索，初步感知

如圖1所示，將三角板的一條直角邊BC緊貼桌面豎立起來(lái)，觀察三角板的另一條直角邊AB與桌面的位置關(guān)系. 如果圍繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，該三角板的AB邊與BC邊是否一直為垂直關(guān)系？轉(zhuǎn)動(dòng)中，若將BC邊理解為桌面上不同的直線，由此可得到什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生親歷實(shí)驗(yàn)過(guò)程，初步感知直線與平面的垂直關(guān)系. 在此基礎(chǔ)上，教師可借助多媒體展示實(shí)驗(yàn)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解三角形邊與桌面的位置關(guān)系，為提煉直線與平面垂直的定義夯實(shí)基礎(chǔ).

（3）提煉定義，形成概念

學(xué)生親歷操作與觀察，并結(jié)合多媒體演示過(guò)程，自主提煉直線與平面垂直的定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線l與平面α互相垂直.

為了深化學(xué)生對(duì)定義的理解，教師可提出如下問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考：①說(shuō)說(shuō)定義中有哪些關(guān)鍵詞；②若將“任意一條直線”更換成“無(wú)數(shù)條直線”是否合理？③嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言描述直線與平面垂直的定義.

設(shè)計(jì)意圖 操作與思考的有機(jī)融合，不僅促使學(xué)生自主提煉定義，還深化學(xué)生對(duì)定義的理解. 尤其是問(wèn)題②的提出，可讓學(xué)生辯證認(rèn)識(shí)直線與平面垂直的定義，為規(guī)范表達(dá)和靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

2. 抽象判定定理

（1）創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題引領(lǐng)

問(wèn)題1 如果用定義來(lái)判定直線與平面垂直，能夠在實(shí)操中完成嗎？

問(wèn)題2 能否通過(guò)證明某直線垂直于某平面內(nèi)的有限條直線，確定該直線與該平面垂直？

設(shè)計(jì)意圖 意在啟發(fā)學(xué)生思維，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，再次激發(fā)學(xué)生對(duì)線面垂直的探討興趣，為接下來(lái)深入探究線面垂直判定定理奠定基礎(chǔ).

（2）實(shí)驗(yàn)操作，探究分析

如圖2所示，取一張三角形卡紙ABC，沿著AD翻折，翻折后將卡紙豎立在桌面上，使DC，BD緊貼于桌面.

①折痕AD與桌面垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？（小組合作交流）

③如圖3所示，若將折痕AD理解為直線l，將CD，BD理解為直線m，n，將桌面理解為平面α，為確保直線l與平面α垂直，條件是什么？

④如圖4所示，改變圖3中的直線m，n的位置，確保在l⊥m，l⊥n的條件下，直線l依然與平面α垂直嗎？

設(shè)計(jì)意圖 第①問(wèn)意在引導(dǎo)學(xué)生從新的角度來(lái)分析直線與平面垂直的定義，即若直線l與平面α內(nèi)的一條直線不是垂直的，就能確定直線l與平面α不垂直. 第②問(wèn)意在引發(fā)學(xué)生合作交流，讓學(xué)生在和諧氛圍中自主發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，折痕AD所在直線與桌面所在平面α垂直（見(jiàn)圖5）. 第③問(wèn)意在發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，學(xué)生通過(guò)此問(wèn)的探索，獲得結(jié)論“如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直”，這對(duì)發(fā)展學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、周密的推理能力具有重要意義. 探索此問(wèn)時(shí)，教師還可以追問(wèn)道：如果m，n是兩條平行直線，能判定直線l與平面α垂直嗎？第④問(wèn)意在引發(fā)學(xué)生明確：若要判定一條直線與平面垂直，關(guān)鍵在于能夠在該平面內(nèi)找到兩條相交直線與該直線垂直.

（3）歸納總結(jié)，理解定理

教師帶領(lǐng)學(xué)生從文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)角度分別表示線面垂直判定定理，而后提出如下問(wèn)題：①線面垂直判定定理中的關(guān)鍵詞有哪些？②應(yīng)用線面垂直判定定理的核心是什么？

設(shè)計(jì)意圖 此設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生理解線面垂直判定定理的應(yīng)用條件，感受線面垂直向線線垂直的轉(zhuǎn)化.

3. 練習(xí)訓(xùn)練，知識(shí)拓展

練習(xí)1 如圖6所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，邊長(zhǎng)為1，且PA=1，PD=，PA⊥CD.

（1）求證：PA與平面ABCD垂直；

（2）求證：BD⊥PC.

證明 （1）根據(jù)題設(shè)條件可得PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD. 又PA⊥CD，AD∩CD=D，所以PA與平面ABCD垂直.

（2）連接AC. 因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD. 由（1）可知PA與平面ABCD垂直，且BD?平面ABCD，所以PA⊥BD. 又AC∩PA=A，所以BD與平面PAC垂直. 又PC?平面PAC，所以BD⊥PC.

練習(xí)2 如圖7所示，已知☉O的直徑為AB，PA與☉O所在平面垂直，點(diǎn)M是圓周上的任意點(diǎn)，且AN⊥PM，垂足為N.

（1）求證：NA與平面BMP垂直；

（2）如果AQ⊥PB，Q為垂足，求證：NQ⊥PB.

證明 （1）由于AB為☉O的直徑，因此AM⊥BM. 由于PA與平面BMA垂直，因此PA⊥BM. 又PA∩AM=A，所以BM與平面PAM垂直. 因?yàn)锳N?平面PAM，所以BM⊥AN. 由AN⊥PM，PM∩BM=M，可得AN與平面BMP垂直.

（2）由（1）問(wèn)可知，AN與平面BMP垂直，結(jié)合PB?平面BMP，可得PB與平面ANQ垂直. 又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.

設(shè)計(jì)意圖 上述兩個(gè)練習(xí)意在引導(dǎo)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化與融合新舊知識(shí)，感知轉(zhuǎn)化思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要性. 通過(guò)積極思考與討論，實(shí)現(xiàn)不同層級(jí)的發(fā)展.

4. 歸納總結(jié)，完善認(rèn)知

師：說(shuō)說(shuō)你們?cè)诒竟?jié)課中學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想.

學(xué)生回顧直線與平面垂直的定義與判定定理，并從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想三方面展開(kāi)分析，構(gòu)建思維導(dǎo)圖（如圖8所示）.

設(shè)計(jì)意圖 該過(guò)程旨在培養(yǎng)學(xué)生歸納、總結(jié)與反思能力，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀角度審視學(xué)習(xí)成果，鞏固知識(shí)，為發(fā)展核心素養(yǎng)打基礎(chǔ).

教學(xué)思考

教師從明暗雙線展開(kāi)教學(xué)，明線為直線與平面垂直的定義、判定定理及應(yīng)用情況；暗線是上述過(guò)程所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸思想. 從直線與平面垂直的定義到判定定理的探究，展現(xiàn)了從抽象到具體的轉(zhuǎn)化，揭示了從空間到平面的化歸，凸顯了線線垂直與線面垂直的關(guān)系.

課程遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—?dú)w納總結(jié)”的流程，通過(guò)緊密相連的活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生思維向縱深發(fā)展. 課堂貫徹“以生為本”理念，從旗桿問(wèn)題的引入到直線與平面垂直的定義和判定定理的探索，鼓勵(lì)學(xué)生自主思考、合作研究. 在和諧民主的氛圍中，學(xué)生積極參與，鍛煉直觀想象素養(yǎng).

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)是一種藝術(shù). 教師應(yīng)更新教學(xué)理念，緊跟時(shí)代，基于學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)方案，這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展能力的重要途徑.